Разложение на множители суммы кубов

В этом видео показано, как разложить сумму кубов на множители по формуле сокращенного умножения.

Это видео - русская версия видео «Factoring Sum of Cubes» Академии Хана (http://www.khanacademy.org/video?v=Touv2APcBRw). Перевод и дублирование выполнены командой проектов «Edukit» (http://www.edukit.org.ua) и «Study Planner» (http://www.studyplanner.org).

This video is a Russian dubbed version of the Khan Academy video "Factoring Sum of Cubes" (http://www.khanacademy.org/video?v=Touv2APcBRw). The translation and sampling are made by the "Edukit" (http://www.edukit.org.ua) and "Study Planner" team (http://www.studyplanner.org).

Наша страница на Facebook - http://www.facebook.com/KhanAcademyRussian

Здравствуйте!

Нам нужно разложить на множители

27 х в шестой степени плюс 125.

Очень интересное задание.

И единственный способ его выполнить –

это разложить на множители по формуле.

А вот по какой формуле,

я вам сейчас покажу.

И эту формулу,

как и многие другие формулы сокращенного умножения,

вы должны запомнить.

Предположим, вам нужно

а в квадрате минус аb плюс b в квадрате умножить на а плюс b.

Чему это будет равно?

Мы умножаем, следовательно,

ставим соответствующий знак.

Умножаем сначала b на верхнее выражение.

b умножить на b в квадрате равно b в кубе,

b умножить на минус аb равно минус а b в квадрате,

b умножить на а в квадрате равно а в квадрате b.

Теперь умножим верхнее выражение на а.

а умножить на b в квадрате равно а b в квадрате,

а умножить на минус а b равно минус а в квадрате b,

и, наконец, а умножить на а в квадрате равно а в кубе.

Давайте теперь сложим это все.

У нас есть а в квадрате b

и минус а в квадрате b,

они в сумме дают 0 – вычеркиваем.

Также у нас есть минус а b в квадрате

и а b в квадрате.

Их мы тоже вычеркиваем.

В итоге остается только а в кубе плюс b в кубе.

Значит, мы можем сказать,

что сумму кубов а в кубе плюс b в кубе

мы можем разложить на такие множители:

а плюс b умножить на а в квадрате минус аb и плюс b в квадрате.

Это одна из формул сокращенного умножения.

Если перед вами сумма кубов,

то вы ее можете разложить

на сумму корней кубических и на это выражение.

Только что я показала,

что эта формула на самом деле работает.

А теперь давайте применим ее к нашему выражению.

Понятно, что 27 – это 3 в кубе.

3 в кубе равно 27.

х в шестой степени –

это тоже куб х в квадрате.

Если мы возведем х в шестой степени

в степень 1/3, то это будет х в квадрате.

Значит, первый член нашего выражения

мы можем записать как 3 х в квадрате и еще в кубе.

А что касается второго члена,

то 125 – это 5 в кубе.

Значит, плюс 5 в кубе.

Возможно, вам это сложно понять.

Вот что получится, если мы умножим

3 х в квадрате на 3 х в квадрате и на 3 х в квадрате?

Это то же самое,

что и 3 умножить на 3 умножить на 3

умножить на х в квадрате умножить на х в квадрате и умножить на х в квадрате.

Вот эта часть произведения равна 27,

а х в квадрате умножить на х в квадрате равно х в четвертой степени,

и умножить на х в квадрате равно х в шестой степени.

Или можно поступить по-другому:

мы можем в отдельности возвести каждый множитель в куб.

3 в кубе равно 27,

а х в квадрате и еще в кубе…

мы возводим степень в степень,

следовательно, нам нужно перемножить показатели.

Это будет х в степени 2*3,

то есть х в шестой степени.

Теперь очевидно, что перед нами сумма кубов,

и мы можем разложить эту сумму на множители

по вот этой формуле.

Это будет 3 х в квадрате (это а)…

давайте я здесь подпишу: это а, а это b.

Итак, а+b, в данном случае это

3 х в квадрате плюс 5 умножить…

на а в квадрате,

а а в квадрате –

это 3 х в квадрате, и все это еще в квадрате.

Давайте в сторонке посчитаем, чему это равно:

3 х в квадрате и еще в квадрате равно 9 х в четвертой степени.

Значит, здесь мы записываем:

умножить на 9 х в четвертой степени

минус произведение а и b,

то есть минус произведение 5 и 3 х в квадрате.

Значит, минус 15 х в квадрате.

И, наконец, плюс b в квадрате.

b равно 5, значит, плюс 5 в квадрате, или плюс 25.

Еще раз уточню, b – это не 5 в кубе,

b – это только основание 5, которое мы возводим в куб.

Соответственно, и здесь а – это 3 х в квадрате.

Вот мы и справились с заданием.

На этом уроке я не буду объяснять,

почему трехчлен во вторых скобках

мы разложить на множители не можем,

поэтому поверьте мне на слово,

что это действительно так.

Ну что же, вот так мы можем разложить сумму кубов.

Надеюсь, все было понятно.

До скорых встреч!