Multivariable chain rule and directional derivatives

Öncəki videoda

çoxdəyişənli zəncir qaydasının

vektor formasına baxmışdıq.

Xatırlamaq üçün
deyək ki,

f adında funksiyamız var. Bu funksiya

100 ölçülü fəzada
yerləşir.

Siz bunu təsəvvür edə
bilərsiniz, amma mənim üçün

100 ölçülü fəza fikirləşmək çətindir.

Sadəcə düşünək ki,

100 ölçülü ərazimiz var.

Daha aydın başa düşmək üçün

ikiölçülü fikirləşə bilərsiniz.

Skalyar qiymətləri olan funksiyamız var.

Yəni, nəticələr ədəd
sırasından ibarətdir.

Bu sıranı

f-in alınan qiymətləri kimi düşünək.

Daha sonra onu vektorial
qiymətləri olan

funksiya şəklində
göstəririk.

Funksiya bir t ədədini götürüb

onu yüksək ölçülü fəzaya daxil edir.

Fərz edək ki, tək t dəyişənindən

yüksək ölçülü fəzaya gedirik.

Fəza isə vektorlarla doludur.

Sonra bir dəyişəni

bir ədədə çeviririk.

Beləliklə, v-ni

f-in alınan qiyməti kimi yazırıq.

Deməli, f v-dən və t-dən ibarətdir.

Bizə isə onun törəməsini tapmaq lazımdır.

Bu ifadənin necə alındığına

baxmışdıq.

f-in qradienti,

v-nin t-dən asılılıq funksiyası,

skalyar hasil

və v-nin vektorlaşmış törəməsi.
Bildiyimiz kimi

v-ni tapmaq üçün hər bir
elementin törəməsi götürülür.

Beləliklə, bunun

t-yə görə törəməsini tapmaq üçün

hər bir elementin
törəməsini hesablayırıq.

dx1 dt, dx2 dt və bunu d yüzüncü element

dt-yə qədər davam edirik.

Nəticədə bu, çoxdəyişənli

zəncir qaydasının
vektorlaşmış formasıdır.

İndi isə bunun

istiqamətli törəməyə
necə bənzədiyinə baxaq.

İstiqamətli törəmə barədə

olan videonu izləməmisinizsə,
xatırlamaq üçün

baxa bilərsiniz. f-in daxil

olan qiymətlərindəyik
və özümüzü bir növ

v vektoru boyunca itələyirik.

v-ni əvvəl istifadə etdiyimə

görə buna m deyək. Deməli, bu,

funksiya deyil, vektordur.

Yəqin ki, f-in alınan qiymətin

nə qədər dəyişdiyi də bizə maraqlıdır.

Bunu istiqamətli törəmənin köməyi ilə

tapa bilərik. İstiqamətli törəməni

f-in m istiqamətində
yaza bilərik.

f-in istiqamətli törəməsi üçün

başlanğıc nöqtə təyin etmək
lazımdır. Gəlin bunu

p nöqtəsi
adlandıraq. p yüzölçülü

bir vektordur.

Bunu hesablamaq üçün

f-in qradientini götürürük.
Bunu göstərmək üçün

əvvəldə delta işarəsini yazırıq.

Beləliklə, f-in qradientini

həmin başlanğıc nöqtəsində, yəni

p başlanğıc vektoru ilə hesablayırıq.

Aydın olmağı üçün deyək ki,

p başlanğıc nöqtəmizin vektorudur.

Lakin itələmənin başlanğıc

nöqtəsi m-dir.

Bu ifadə ilə itələmənin

istiqamətini göstərən vektor m-in

skalyar hasilini hesablayırıq.

Amma bu, əsasən,

çoxdəyişənli zəncir
qaydasına

bənzəyir. Lakin v-nin vektor qiymətinin

törəməsi əvəzinə m istifadə etdik.

Bunu t-nin törəməsi istiqamətində

istiqamətli törəmə adlandıra bilərik.

Bu, bir qədər çaşdırıcı səslənə bilər.

f-in törəməsi istiqamətində
istiqamətli törəmə,

bunun hansı nöqtədə götürülməsi və

istiqamətli törəmənin
hansı nöqtədə götürülməsidir.

Deməli, bu v-nin alındığı yerdir.

Beləliklə, belə bir yığcam ifadə alınır.

Digər tərəfdən bunu v-nin t-dən asılılığı

kimi də düşünə bilərik. Buna görə
bu hissəni bir qədər pozaq.

V-nin t-dən asılılığı göstərir ki,

t-nin dəyişməsi müəyyən yol üzrə

hərəkətə səbəb olur.

Buradakı hər bir çıxış nöqtəsi

vektoru, v-nin t-dən asılılığını və
onun törəməsini göstərir.

Bəs bu törəmə nəyi göstərir?

Bu, hərəkətin toxunan
vektorudur. Bilirik ki,

bu fəzada hərəkətinizin
toxunan vektoru

istiqamətində irəliləyirik.

V-nin t-dən asılılığının törəməsini

v-nin t-yə görə törəməsi kimi hesablayırıq.

Niyə bu cür olduğuna

baxaq. Niyə v-nin t-dən

asılılığının törəməsi
istiqamətində yönəlmiş

istiqamətli törəmənin
çoxdəyişənli zəncir qaydası ilə

əlaqəsi mövcuddur?

Biz bu ifadədə dt hesablayanda

t kiçik irəliləmə edir
və t-nin qiymətində

kiçik dəyişiklik baş verir.

Bizə isə bundan sonra ifadənin

necə dəyişəcəyi maraqlıdır.

Verilmiş nöqtədə t-nin kiçik itələnməsi

v-nin t-dən asılılığının törəməsinin
dəyişməsinə səbəb olur.

Bu, vektor qiymətli

törəməni bütünlüklə izah edir.

t-ni bir qədər
dəyişsək, fəzada

necə hərəkət etdiyimizi göstərəcək.

Soruşa bilərsiniz ki: "Mən bu vasitəçi

100 ölçülü fəzada bir qədər
hərəkət etdim. Bu,

çoxdəyişənli f funksiyasının

xüsusiyyətinə görə f-in

alınan qiymətinə
necə təsir edir?"

İstiqamətli törəmə bunu nəzərdə tutur.

Deyilir ki, müəyyən vektor
istiqamətində irəliləyirik.

Burada v-nin t-dən asılılığının
törəməsini yazıram.

Ümumiyyətlə, biz m vektoru istiqamətində

itələnmə barədə danışmışdıq.

Daha vacibi isə v-nin t-dən

asılılığının törəməsidir.

Əgər sürətlə hərəkət etsəniz,

dəyişmə də daha böyük olacaq. Beləliklə,

v-nin t-dən asılılığının törəməsinin
böyük olmağı yaxşıdır.

İstiqaməli törəmə f-in dəyişməsini

getdiyiniz vektor boyunca

istiqamətləndirici vektorun

nisbəti kimi göstərir.

İstiqamətli törəmə üçün digər işarə isə

delta f böl

delta m-dir.

Əsasən, itələmənin vektor boyunca

ölçüsünü vektorun özünün
nisbəti kimi götürüb

sonra alınan qiymətdə
dəyişikliyi nəzərə alırıq.

Nəticədə nisbəti
götürürük.

Düşünürəm ki, bu üsul çoxdəyişənli

zəncir qaydasını anlamaq
üçün yaxşı yoldur.

Çünki, v-nin t-dən asılılığını,

müəyyən yolda irəlilədiyimizi,

sürətin istiqaməti və

qiymətini düşünürük.

Beləliklə, irəliləməmiz

f funksiyasının nəticəsinin
dəyişməsini göstərir.

Ümid edirəm ki, bu,
istiqamətli törəməni

eləcə də çoxdəyişənli zəncir

qaydasını daha yaxşı
anlamağa kömək etdi.

Kiçik və maraqlı izahlardan biri idi.