Multivariable chain rule and directional derivatives

Əvvəlki videoda

çoxdəyişənli zəncir qaydasının

vektor formasını təqdim etmişdim.

Xatırlamaq üçün
deyək ki,

bizim f adında
funksiyamız var. Bu funksiya

100 ölçülü fəzada
yerləşir.

Siz bunu təsəvvür edə
bilərsiniz, amma mənim üçün

100 ölçülü fəza fikirləşmək çətindir.

Sadəcə düşünün ki,

100 ölçülü ərazimiz var.

Daha aydın başa düşmək üçün

ikiölçülü fikirləşə bilərsiniz.

Skalyar qiymətləri olan funksiyamız var.

Yəni, nəticələr ədəd sırasından
ibarətdir.

Mən bu sıranı

f-in nəticəsi kimi düşünəcəm.

Daha sonra onu vektorial
qiymətləri olan

funksiya şəklində
göstəririk.

Funksiya bir t ədədini götürüb

onu yüksək ölçülü fəzaya daxil edir.

Düşünürsünüz ki, tək t dəyişənindən

yüksək ölçülü fəzaya gedirsiniz.

Fəza isə vektorlarla doludur.

Sonra bir dəyişəni

bir ədədə çevirirsiniz.

Beləliklə, siz

v-ni f-in nəticəsi kimi yazardınız.

Deməli, f v-dən və t-dən ibarətdir.

Bizə isə onun törəməsini tapmaq lazımdır.

Sizə bu ifadənin necə alındığını

izah etmişdim.

f-in qradiyenti,

v-in t-dən asılılıq funksiyası,

skalyar hasil,

və v-in vektorlaşmış törəməsi.
Bildiyiniz kimi

v-ni tapmaq üçün hər bir elementin
törəməsi götürülür.

Beləliklə, bunun

t-ə görə törəməsini tapmaq üçün

hər bir elementin törəməsini
hesablayırsınız.

dx1 dt, dx2 dt və bunu d yüzüncü element dt-ə

qədər davam edirik.

Nəticədə bu, çoxdəyişənli

zəncir qaydasının vektorlaşmış
formasıdır.

İndi isə sizə bunun

istiqamətli törəməyə necə bənzədiyini
göstərmək istəyirəm.

İstiqamətli törəmə barədə

olan videonu izləməmisinizsə
xatırlamaq üçün

baxa bilərsiniz. Ümumiyyətlə,

siz f-in girişindəsiniz
və özünüzü bir növ

v vektoru boyunca itələyirsiniz.

v-ni əvvəl istifadə etdiyimə

görə bunu m adlandıracam. Deməli, bu

funksiya deyil, vektordur.

Yəqin ki, sizə f-in çıxış qiymətinin

nə qədər dəyişdiyi maraqlıdır.

Bunu istiqamətli törəmənin köməyi ilə

tapa bilərik. İstiqamətli törəməni

f-in m istiqamətində yaza
bilərsiniz.

f-in istiqamətli törəməsi üçün

başlanğıc nöqtə təyin etmək lazımdır və
gəlin bunu

bunu p nöqtəsi adlandıraq.
p yüzölçülü vektor kimi

bir vektordur.

Bunu hesablamaq üçün

f-in qradiyentini götürürsünüz.
Bunu göstərmək üçün

əvvəldə nabla simvolunu yazırıq.

Beləliklə, f-in qradiyentini

həmin başlanğıc nöqtəsində, yəni

p başlanğıc vektoru ilə hesablayırıq.

Aydın olması üçün deyim ki,

p başlanğıc nöqtəmizin vektorudur.

Lakin itələmənin başlanğıc

nöqtəsi m-dir.

Siz bu ifadə və itələmənin

istiqamətini göstərən vektor m-in

skalyar hasilini hesablayırsınız.

Amma bu ,əsasən,

çoxdəyişənli zəncir
qaydasına

bənzəyir. Lakin v-in vektor qiymətinin

törəməsi əvəzinə m istifadə etdik.

Siz bunu t-in törəməsi istiqamətində

istiqamətli törəmə adlandıra bilərsiniz.

Bu bir qədər çaşdırıcı səslənə bilər.

F-in törəməsi istiqamətində
istiqamətli törəmə,

bunun hansı nöqtədə götürülməsi və

istiqamətli törəmənin hansı nöqtədə
götürülməsidir.

Deməli, bu v-in çıxışının
olduğu yerdir.

Beləliklə, belə bir yığcam ifadə alınır.

Digər tərəfdən bunu v-in t-dən asılılığı

kimi də düşünə bilərsiniz. Buna görə
bu hissəni bir qədər pozaq.

V-in t-dən asılılığı göstərir ki,

t-in dəyişməsi müəyyən yol üzrə

hərəkətə səbəb olur.

Buradakı hər bir çıxış nöqtəsi

vektoru, v-in t-dən asılılığını və
onun törəməsini göstərir.

Bəs bu törəmə nəyi göstərir?

Bu, hərəkətin toxunan vektorudur.
Bilirsiniz ki,

siz bu fəzada hərəkətinizin toxunan
vektoru

istiqamətində irəliləyirsiniz.

V-in t-dən asılılığının törəməsini

v-in t-ə görə törəməsi kimi hesablayırıq.

Mən niyə bu cür olduğunu

göstərmək istəyirəm. Niyə v-in t-dən

asılılığının törəməsi istiqamətində
yönəlmiş

istiqamətli törəmənin çoxdəyişənli
zəncir qaydası ilə

əlaqəsi mövcuddur?

Biz bu ifadə dt hesablayanda

t kiçik irəliləmə edir və
t-in qiymətində

kiçik dəyişiklik baş verir.

Bizə isə bundan sonra ifadənin

necə dəyişəcəyi maraqlıdır.

Verilmiş nöqtədə t-in kiçik itələnməsi

v-in t-dən asılılığının törəməsinin
dəyişməsinə səbəb olur.

Bu, vektor qiymətli

törəməni bütünlüklə izah edir.

Siz t-ni bir qədər dəyişsəniz, bu,
fəzada

necə hərəkət etdiyinizi göstərəcək.

Sonra siz soruşursunuz: "Mən bu vasitəçi

100 ölçülü fəzada bir qədər
hərəkət etdim. Bu,

çoxdəyişənli f funksiyasının

xüsusiyyətinə əsaslanaraq

f-in çıxışına necə
təsir edir?"

İstiqamətli törəmə də bunu nəzərdə tutur.

Deyilir ki, siz müəyyən vektor
istiqamətində irəliləyisiniz.

Burada v-in t-dən asılılığının
törəməsi yazıram.

Ümumiyyətlə, biz m vektoru istiqamətində

itələnmə barədə danışmışdıq.

Daha vacibi isə v-in t-dən

asılılığının törəməsidir.

Əgər sürətlə hərəkət etsəniz,

dəyişmə də daha böyük olacaq. Beləliklə,

v-in t-dən asılılığının törəməsinin
böyük olması faydalıdır.

İstiqaməli törəmə f-in dəyişməsini

getdiyiniz vektor boyunca

istiqamətləndirici vektorun

nisbəti kimi göstərir. Aydındır?

İstiqamətli törəmə üçün digər qeyd

qismən f həmin vektorun da

qismən olduğunu göstərir.

Əsasən, itələmənin vektor boyunca

ölçüsünü vektorun özünün
nisbəti kimi götürüb

daha sonra çıxışda dəyişikliyi
nəzərə alırsınız.

Nəticədə nisbəti
götürürsünüz.

Düşünürəm ki, bu üsul çoxdəyişənli

zəncir qaydasını anlamaq
üçün yaxşı yoldur.

Çünki, siz v-in t-dən asılılığını,

müəyyən yolda irəlilədiyinizi,

və sürətin istiqaməti və

qiymətini düşünürsünüz.

Beləliklə, sizin irəliləməniz

f funksiyasının nəticəsinin dəyişməsini
göstərir.

Ümid edirəm ki, bu,
istiqamətli törəməni

eləcə də çoxdəyişənli zəncir

qaydasını daha yaxşı
anlamağa kömək etdi.

Bu, kiçik və gözəl şərhlərdən biri idi.