Druhý příklad na Snellův zákon

Ukažme si trošku složitější příklad
na Snellův zákon.

Mám tu člověka stojícího
na kraji bazénu.

V ruce má laserové ukazovátko

a svítí s ním z výšky 1,7 metrů
nad hladinou bazénu.

Svítí tak, že paprsek letí 8,1 metrů,
než dopadne na hladinu.

Pak se světlo láme dovnitř.
Vstupuje do pomalejšího prostředí.

Když si vzpomenete na analogii s autem,
vnější kola budou nad vodou trochu déle,

proto budou rychlejší.

Takže se láme dovnitř a dopadne
do určitého bodu na dno bazénu.

V zadání je, že bazén
je tři metry hluboký.

Chceme zjistit, jak daleko
je bod, do kterého paprsek dopadne.

Takže jaká je tato vzdálenost?

Abychom to zjistili, musíme určit,
jaká vzdálenost je zde,

pak musíme určit, jak velké
je toto a obě vzdálenosti sečíst.

Můžeme určit tuto vzdálenost
k místu dopadu paprsku na hladinu,

a pak určit tuto
dodatečnou vzdálenost.

Doufejme, že to s troškou trigonometrie
a Snellovým zákonem dokážeme.

Začněme tím nejjednodušším,
určeme tuto délku.

To by se nám později mohlo hodit.

Takže určeme tuto
vzdálenost podél hladiny.

Délku hladiny až k místu, kde se
laserový paprsek dotýká vody.

Zavede nás to k užití
Pythagorovy věty.

Toto je pravý úhel.

Tady je přepona. Takže tato
vzdálenost, nazvěme ji „x“.

„x“ na druhou plus 1,7 metrů na druhou
se rovná 8,1 metrů na druhou.

Podle Pythagorovy věty.

„x“ na druhou plus 1,7 metrů na druhou
se rovná 8,1 metrů na druhou.

Od obou stran odečtěme
1,7 na druhou

„x“ na druhou se rovná 8,1 metrů na druhou
mínus 1,7 metrů na druhou.

Chceme to řešit pro „x“,
„x“ bude rovnat kladné odmocnině tohoto,

protože nás zajímají
jen kladné vzdálenosti.

„x“ se rovná odmocnině z 8,1 na druhou
mínus 1,7 na druhou.

Vezměme si na to kalkulačku,
takže „x“ se bude rovnat

odmocnině z 8,1 na druhou
minus 1,7 na druhou.

A to je asi 7,92.

Takže „x“ je přibližně 7,92. To je „x“.

Teď určíme tuto
dodatečnou vzdálenost,

přičteme ji k „x“, tím dostaneme
tuto délku. Zkusme zjistit, jak na to.

Zamysleme se nad tím,
jaké jsou úhly dopadu a lomu.

Spusťme kolmici k rozhraní,
to znamená k hladině.

Zde máme náš úhel dopadu.

Připomeňme si, že ve Snellově zákoně
vystupuje sinus tohoto úhlu.

Zapišme si, co nás vlastně zajímá.

Víme, že zde je úhel dopadu.

Tady máme úhel lomu.

Známe i index lomu pro toto
prostředí -je to vzduch.

Index lomu pro vzduch
krát sinus „théta 1“,

přesně podle Snellova zákona,

krát úhel dopadu
se rovná indexu lomu vody

krát sinus „théta 2“, což je krát
sinus úhlu lomu.

Hodnoty indexů můžeme
najít v této tabulce.

Tento příklad i obrázky jsem
vlastně vzal z „ck12.org flexbook“.

Pokud chceme
osamostatnit „théta 2“,

nebo když známe „théta 2“,
můžeme osamostatnit toto.

Použijeme k tomu
trošku trigonometrie.

Vlastně stačí znát sinus „théta 2“,
abychom to vyřešili.

V obou případech vlastně
zjistíme tento úhel

a potom s troškou trigonometrie můžeme
určit tuto délku.

Abychom určili tento úhel,
musíme určit sinus „théta 1“.

Dosaďme všechny hodnoty.

Index lomu vzduchu je 1,00029

krát sinus „théta“.

Možná se ptáte, jak zjistíme
sinus „théta“, když neznáme ten úhel.

Ale vzpomeňte si na základní
trigonometrické funkce.

Sinus je protilehlá ku přeponě.

Pokud chceme znát tento úhel,
najděme zde pravoúhlý trojúhelník.

protilehlá ku přeponě je poměr
této strany ku přeponě.

Tato délka je stejná jako „x“,
což je 7,92.

Takže sinus „théta 1“ bude její
protilehlá strana ku přeponě.

To vychází z definice sinu.

Úhel „théta 1“ nepotřebujeme
vůbec znát.

Bude to 7,92 lomeno 8,1.

A to se rovná indexu lomu světla ve vodě,
což je 1,33. Napíši to modře.

krát sinus „théta 2“.

Pokud chceme určit théta dva,
vydělíme obě strany rovnice 1,33.

Udělám to tady, když obě strany
vydělím1,33 dostaneme

1,00029 krát 7,92
děleno 8,1 děleno 1,33.

A to se rovná sinu théta dva.

Spočítejme to na kalkulačce.

Máme 1,00029 krát 7,92.

Můžu sem vložit druhý výsledek,
aby to bylo bez zaokrouhlení,

a pak to vydělit 1,33
a pak znova vydělit 8,1.

A to, co nám vyjde se rovná
sinu „théta 2“.

Takže to zapíši.
0,735 se rovná sinu „théta 2“.

Můžeme spočítat arkus sinus této
rovnice, abychom dostali „théta 2“.

„Théta 2“ se rovná
inverznímu sinu této hodnoty.

Proto musím vzít inverzní hodnotu
posledního výsledku.

A dostáváme, že „théta 2“ je 47,34 stupňů.
Teď jsme určili „théta 2“.

Musíme použít trošku trigonometrie,
abychom spočítali,

abychom vlastně určili tuto délku.

Známe tento úhel.

Chceme určit protilehlou
stranu tohoto úhlu.

Známe odvěsnu,
která má délku tři metry.

Jaká trigonometrická funkce
zahrnuje odvěsnu?

Tangens.
Tangens je protilehlá ku odvěsně.

Víme, že tangens 47,34 stupňů
se rovná této protilehlé straně.

Nazvěme ji „y“.

Výsledek bude „y“ lomeno
přepona délky tři metry.

Abychom osamostatnili „y“,
vynásobíme obě strany trojkou.

Dostaneme 3 krát
tangens 47,34 stupňů se rovná „y“.

Vezměme si na to kalkulačku.

3 krát tangens 47,35 stupňů.
Vložím tam přesný výsledek.

Tři krát tento tangens je 3,255.

Takže tato vzdálenost „y“
se rovná 3,255 metrů.

Máme zjistit, jaká je
tato celková vzdálenost.

Což je „x“ plus „y“,
„y“ je těch 3,255

„x“ bylo 7,92.

Zde použiji zaokrouhlenou hodnotu.

Takže to bude 7,92
plus náš výsledek.

Dostaneme 11,18 metrů.

Pokud to opravdu chceme zaokrouhlit,
můžeme napsat 11,2, ale zůstaňme u 11,18.

Toto je vzdálenost,
kterou jsme hledali,

bod na dně bazénu, kam svítí laser,

je z této strany bazénu přibližně
11,18 metrů od kraje.

Snad se vám tenhle příklad
bude hodit. Je trošku zamotaný.

Ale nejhorší na něm
je ta trigonometrie

a zjistit, že nepotřebujete
znát tenhle úhel,

protože víte jak určit
sinus tohoto úhlu.

Ten úhel vlastně spočítat teď.

Znáte jeho sinus, takže
můžete spočítat arkus sinus.

To ale je zbytečné.

Už známe sinus tohoto
úhlu díky trigonometrii.

Můžeme to použít do Snellova
zákona a určit tento úhel.

Když známe tento úhel,
tak s troškou trigonometrie

určíme tuto dodatečnou vzdálenost.