WEBVTT 00:00:00.490 --> 00:00:04.010 Ukažme si trošku složitější příklad na Snellův zákon. 00:00:04.021 --> 00:00:08.220 Mám tu člověka stojícího na kraji bazénu. 00:00:08.390 --> 00:00:11.440 V ruce má laserové ukazovátko 00:00:11.440 --> 00:00:18.760 a svítí s ním z výšky 1,7 metrů nad hladinou bazénu. 00:00:18.910 --> 00:00:24.380 Svítí tak, že paprsek letí 8,1 metrů, než dopadne na hladinu. 00:00:24.530 --> 00:00:29.010 Pak se světlo láme dovnitř. Vstupuje do pomalejšího prostředí. 00:00:29.010 --> 00:00:33.510 Když si vzpomenete na analogii s autem, vnější kola budou nad vodou trochu déle, 00:00:33.510 --> 00:00:34.620 proto budou rychlejší. 00:00:34.640 --> 00:00:40.150 Takže se láme dovnitř a dopadne do určitého bodu na dno bazénu. 00:00:40.150 --> 00:00:42.920 V zadání je, že bazén je tři metry hluboký. 00:00:42.940 --> 00:00:49.970 Chceme zjistit, jak daleko je bod, do kterého paprsek dopadne. 00:00:49.970 --> 00:00:56.640 Takže jaká je tato vzdálenost? 00:00:56.660 --> 00:01:03.940 Abychom to zjistili, musíme určit, jaká vzdálenost je zde, 00:01:03.960 --> 00:01:08.110 pak musíme určit, jak velké je toto a obě vzdálenosti sečíst. 00:01:08.140 --> 00:01:13.920 Můžeme určit tuto vzdálenost k místu dopadu paprsku na hladinu, 00:01:13.940 --> 00:01:16.770 a pak určit tuto dodatečnou vzdálenost. 00:01:17.050 --> 00:01:22.340 Doufejme, že to s troškou trigonometrie a Snellovým zákonem dokážeme. 00:01:22.400 --> 00:01:26.100 Začněme tím nejjednodušším, určeme tuto délku. 00:01:26.580 --> 00:01:29.350 To by se nám později mohlo hodit. 00:01:29.350 --> 00:01:33.970 Takže určeme tuto vzdálenost podél hladiny. 00:01:33.980 --> 00:01:38.550 Délku hladiny až k místu, kde se laserový paprsek dotýká vody. 00:01:39.560 --> 00:01:42.260 Zavede nás to k užití Pythagorovy věty. 00:01:42.620 --> 00:01:44.860 Toto je pravý úhel. 00:01:44.860 --> 00:01:50.970 Tady je přepona. Takže tato vzdálenost, nazvěme ji „x“. 00:01:51.190 --> 00:01:56.000 „x“ na druhou plus 1,7 metrů na druhou se rovná 8,1 metrů na druhou. 00:01:56.020 --> 00:01:57.670 Podle Pythagorovy věty. 00:01:57.670 --> 00:02:03.860 „x“ na druhou plus 1,7 metrů na druhou se rovná 8,1 metrů na druhou. 00:02:04.110 --> 00:02:06.970 Od obou stran odečtěme 1,7 na druhou 00:02:06.970 --> 00:02:12.980 „x“ na druhou se rovná 8,1 metrů na druhou mínus 1,7 metrů na druhou. 00:02:13.260 --> 00:02:16.640 Chceme to řešit pro „x“, „x“ bude rovnat kladné odmocnině tohoto, 00:02:16.670 --> 00:02:19.200 protože nás zajímají jen kladné vzdálenosti. 00:02:19.230 --> 00:02:27.380 „x“ se rovná odmocnině z 8,1 na druhou mínus 1,7 na druhou. 00:02:27.410 --> 00:02:31.140 Vezměme si na to kalkulačku, takže „x“ se bude rovnat 00:02:31.850 --> 00:02:42.630 odmocnině z 8,1 na druhou minus 1,7 na druhou. 00:02:42.640 --> 00:02:49.530 A to je asi 7,92. 00:02:50.050 --> 00:03:02.390 Takže „x“ je přibližně 7,92. To je „x“. 00:03:02.390 --> 00:03:05.880 Teď určíme tuto dodatečnou vzdálenost, 00:03:05.980 --> 00:03:10.830 přičteme ji k „x“, tím dostaneme tuto délku. Zkusme zjistit, jak na to. 00:03:10.930 --> 00:03:17.720 Zamysleme se nad tím, jaké jsou úhly dopadu a lomu. 00:03:17.740 --> 00:03:21.740 Spusťme kolmici k rozhraní, to znamená k hladině. 00:03:22.070 --> 00:03:29.770 Zde máme náš úhel dopadu. 00:03:30.480 --> 00:03:34.380 Připomeňme si, že ve Snellově zákoně vystupuje sinus tohoto úhlu. 00:03:34.410 --> 00:03:36.400 Zapišme si, co nás vlastně zajímá. 00:03:36.440 --> 00:03:39.500 Víme, že zde je úhel dopadu. 00:03:40.000 --> 00:03:43.150 Tady máme úhel lomu. 00:03:43.390 --> 00:03:48.450 Známe i index lomu pro toto prostředí -je to vzduch. 00:03:48.450 --> 00:03:56.600 Index lomu pro vzduch krát sinus „théta 1“, 00:03:56.600 --> 00:03:58.370 přesně podle Snellova zákona, 00:03:58.370 --> 00:04:08.380 krát úhel dopadu se rovná indexu lomu vody 00:04:08.400 --> 00:04:16.470 krát sinus „théta 2“, což je krát sinus úhlu lomu. 00:04:16.780 --> 00:04:21.970 Hodnoty indexů můžeme najít v této tabulce. 00:04:22.000 --> 00:04:26.290 Tento příklad i obrázky jsem vlastně vzal z „ck12.org flexbook“. 00:04:27.130 --> 00:04:29.690 Pokud chceme osamostatnit „théta 2“, 00:04:29.710 --> 00:04:32.480 nebo když známe „théta 2“, můžeme osamostatnit toto. 00:04:32.480 --> 00:04:34.330 Použijeme k tomu trošku trigonometrie. 00:04:34.330 --> 00:04:41.220 Vlastně stačí znát sinus „théta 2“, abychom to vyřešili. 00:04:41.250 --> 00:04:46.220 V obou případech vlastně zjistíme tento úhel 00:04:46.220 --> 00:04:51.130 a potom s troškou trigonometrie můžeme určit tuto délku. 00:04:51.350 --> 00:04:57.890 Abychom určili tento úhel, musíme určit sinus „théta 1“. 00:04:58.060 --> 00:05:00.690 Dosaďme všechny hodnoty. 00:05:00.730 --> 00:05:11.670 Index lomu vzduchu je 1,00029 00:05:11.810 --> 00:05:13.790 krát sinus „théta“. 00:05:13.790 --> 00:05:17.080 Možná se ptáte, jak zjistíme sinus „théta“, když neznáme ten úhel. 00:05:17.080 --> 00:05:23.380 Ale vzpomeňte si na základní trigonometrické funkce. 00:05:23.430 --> 00:05:25.660 Sinus je protilehlá ku přeponě. 00:05:25.660 --> 00:05:32.950 Pokud chceme znát tento úhel, najděme zde pravoúhlý trojúhelník. 00:05:32.960 --> 00:05:40.070 protilehlá ku přeponě je poměr této strany ku přeponě. 00:05:40.070 --> 00:05:46.720 Tato délka je stejná jako „x“, což je 7,92. 00:05:47.060 --> 00:05:52.830 Takže sinus „théta 1“ bude její protilehlá strana ku přeponě. 00:05:52.830 --> 00:05:55.450 To vychází z definice sinu. 00:05:55.760 --> 00:06:01.830 Úhel „théta 1“ nepotřebujeme vůbec znát. 00:06:01.850 --> 00:06:13.940 Bude to 7,92 lomeno 8,1. 00:06:13.960 --> 00:06:32.380 A to se rovná indexu lomu světla ve vodě, což je 1,33. Napíši to modře. 00:06:32.440 --> 00:06:35.880 krát sinus „théta 2“. 00:06:35.880 --> 00:06:41.470 Pokud chceme určit théta dva, vydělíme obě strany rovnice 1,33. 00:06:41.470 --> 00:06:47.350 Udělám to tady, když obě strany vydělím1,33 dostaneme 00:06:47.350 --> 00:07:06.000 1,00029 krát 7,92 děleno 8,1 děleno 1,33. 00:07:06.030 --> 00:07:12.970 A to se rovná sinu théta dva. 00:07:13.010 --> 00:07:19.590 Spočítejme to na kalkulačce. 00:07:19.610 --> 00:07:25.830 Máme 1,00029 krát 7,92. 00:07:26.320 --> 00:07:35.250 Můžu sem vložit druhý výsledek, aby to bylo bez zaokrouhlení, 00:07:35.520 --> 00:07:43.970 a pak to vydělit 1,33 a pak znova vydělit 8,1. 00:07:44.220 --> 00:07:51.920 A to, co nám vyjde se rovná sinu „théta 2“. 00:07:51.940 --> 00:08:00.750 Takže to zapíši. 0,735 se rovná sinu „théta 2“. 00:08:00.900 --> 00:08:04.910 Můžeme spočítat arkus sinus této rovnice, abychom dostali „théta 2“. 00:08:04.910 --> 00:08:09.200 „Théta 2“ se rovná inverznímu sinu této hodnoty. 00:08:10.160 --> 00:08:15.770 Proto musím vzít inverzní hodnotu posledního výsledku. 00:08:17.550 --> 00:08:34.440 A dostáváme, že „théta 2“ je 47,34 stupňů. Teď jsme určili „théta 2“. 00:08:34.460 --> 00:08:38.120 Musíme použít trošku trigonometrie, abychom spočítali, 00:08:38.120 --> 00:08:40.660 abychom vlastně určili tuto délku. 00:08:40.880 --> 00:08:44.150 Známe tento úhel. 00:08:44.340 --> 00:08:49.300 Chceme určit protilehlou stranu tohoto úhlu. 00:08:49.380 --> 00:08:52.950 Známe odvěsnu, která má délku tři metry. 00:08:52.950 --> 00:08:55.990 Jaká trigonometrická funkce zahrnuje odvěsnu? 00:08:56.000 --> 00:09:00.483 Tangens. Tangens je protilehlá ku odvěsně. 00:09:00.503 --> 00:09:11.845 Víme, že tangens 47,34 stupňů se rovná této protilehlé straně. 00:09:11.847 --> 00:09:14.490 Nazvěme ji „y“. 00:09:14.760 --> 00:09:20.110 Výsledek bude „y“ lomeno přepona délky tři metry. 00:09:20.330 --> 00:09:26.080 Abychom osamostatnili „y“, vynásobíme obě strany trojkou. 00:09:26.250 --> 00:09:34.090 Dostaneme 3 krát tangens 47,34 stupňů se rovná „y“. 00:09:34.750 --> 00:09:36.440 Vezměme si na to kalkulačku. 00:09:36.730 --> 00:09:43.150 3 krát tangens 47,35 stupňů. Vložím tam přesný výsledek. 00:09:43.810 --> 00:09:48.470 Tři krát tento tangens je 3,255. 00:09:48.470 --> 00:09:58.480 Takže tato vzdálenost „y“ se rovná 3,255 metrů. 00:09:58.500 --> 00:10:01.610 Máme zjistit, jaká je tato celková vzdálenost. 00:10:02.100 --> 00:10:07.100 Což je „x“ plus „y“, „y“ je těch 3,255 00:10:07.100 --> 00:10:09.460 „x“ bylo 7,92. 00:10:09.770 --> 00:10:11.810 Zde použiji zaokrouhlenou hodnotu. 00:10:11.810 --> 00:10:19.300 Takže to bude 7,92 plus náš výsledek. 00:10:19.300 --> 00:10:22.010 Dostaneme 11,18 metrů. 00:10:22.010 --> 00:10:28.990 Pokud to opravdu chceme zaokrouhlit, můžeme napsat 11,2, ale zůstaňme u 11,18. 00:10:28.990 --> 00:10:35.020 Toto je vzdálenost, kterou jsme hledali, 00:10:35.020 --> 00:10:42.240 bod na dně bazénu, kam svítí laser, 00:10:42.250 --> 00:10:54.560 je z této strany bazénu přibližně 11,18 metrů od kraje. 00:10:54.560 --> 00:10:58.080 Snad se vám tenhle příklad bude hodit. Je trošku zamotaný. 00:10:58.080 --> 00:11:00.680 Ale nejhorší na něm je ta trigonometrie 00:11:00.680 --> 00:11:02.970 a zjistit, že nepotřebujete znát tenhle úhel, 00:11:02.970 --> 00:11:05.800 protože víte jak určit sinus tohoto úhlu. 00:11:05.800 --> 00:11:07.500 Ten úhel vlastně spočítat teď. 00:11:07.520 --> 00:11:10.340 Znáte jeho sinus, takže můžete spočítat arkus sinus. 00:11:10.340 --> 00:11:11.620 To ale je zbytečné. 00:11:11.620 --> 00:11:14.940 Už známe sinus tohoto úhlu díky trigonometrii. 00:11:14.970 --> 00:11:18.790 Můžeme to použít do Snellova zákona a určit tento úhel. 00:11:18.870 --> 00:11:21.390 Když známe tento úhel, tak s troškou trigonometrie 00:11:21.390 --> 00:11:23.760 určíme tuto dodatečnou vzdálenost.