Ukažme si trošku složitější příklad na Snellův zákon.
Mám tu člověka stojícího na kraji bazénu.
V ruce má laserové ukazovátko
a svítí s ním z výšky 1,7 metrů nad hladinou bazénu.
Svítí tak, že paprsek letí 8,1 metrů, než dopadne na hladinu.
Pak se světlo láme dovnitř. Vstupuje do pomalejšího prostředí.
Když si vzpomenete na analogii s autem, vnější kola budou nad vodou trochu déle,
proto budou rychlejší.
Takže se láme dovnitř a dopadne do určitého bodu na dno bazénu.
V zadání je, že bazén je tři metry hluboký.
Chceme zjistit, jak daleko je bod, do kterého paprsek dopadne.
Takže jaká je tato vzdálenost?
Abychom to zjistili, musíme určit, jaká vzdálenost je zde,
pak musíme určit, jak velké je toto a obě vzdálenosti sečíst.
Můžeme určit tuto vzdálenost k místu dopadu paprsku na hladinu,
a pak určit tuto dodatečnou vzdálenost.
Doufejme, že to s troškou trigonometrie a Snellovým zákonem dokážeme.
Začněme tím nejjednodušším, určeme tuto délku.
To by se nám později mohlo hodit.
Takže určeme tuto vzdálenost podél hladiny.
Délku hladiny až k místu, kde se laserový paprsek dotýká vody.
Zavede nás to k užití Pythagorovy věty.
Toto je pravý úhel.
Tady je přepona. Takže tato vzdálenost, nazvěme ji „x“.
„x“ na druhou plus 1,7 metrů na druhou se rovná 8,1 metrů na druhou.
Podle Pythagorovy věty.
„x“ na druhou plus 1,7 metrů na druhou se rovná 8,1 metrů na druhou.
Od obou stran odečtěme 1,7 na druhou
„x“ na druhou se rovná 8,1 metrů na druhou mínus 1,7 metrů na druhou.
Chceme to řešit pro „x“, „x“ bude rovnat kladné odmocnině tohoto,
protože nás zajímají jen kladné vzdálenosti.
„x“ se rovná odmocnině z 8,1 na druhou mínus 1,7 na druhou.
Vezměme si na to kalkulačku, takže „x“ se bude rovnat
odmocnině z 8,1 na druhou minus 1,7 na druhou.
A to je asi 7,92.
Takže „x“ je přibližně 7,92. To je „x“.
Teď určíme tuto dodatečnou vzdálenost,
přičteme ji k „x“, tím dostaneme tuto délku. Zkusme zjistit, jak na to.
Zamysleme se nad tím, jaké jsou úhly dopadu a lomu.
Spusťme kolmici k rozhraní, to znamená k hladině.
Zde máme náš úhel dopadu.
Připomeňme si, že ve Snellově zákoně vystupuje sinus tohoto úhlu.
Zapišme si, co nás vlastně zajímá.
Víme, že zde je úhel dopadu.
Tady máme úhel lomu.
Známe i index lomu pro toto prostředí -je to vzduch.
Index lomu pro vzduch krát sinus „théta 1“,
přesně podle Snellova zákona,
krát úhel dopadu se rovná indexu lomu vody
krát sinus „théta 2“, což je krát sinus úhlu lomu.
Hodnoty indexů můžeme najít v této tabulce.
Tento příklad i obrázky jsem vlastně vzal z „ck12.org flexbook“.
Pokud chceme osamostatnit „théta 2“,
nebo když známe „théta 2“, můžeme osamostatnit toto.
Použijeme k tomu trošku trigonometrie.
Vlastně stačí znát sinus „théta 2“, abychom to vyřešili.
V obou případech vlastně zjistíme tento úhel
a potom s troškou trigonometrie můžeme určit tuto délku.
Abychom určili tento úhel, musíme určit sinus „théta 1“.
Dosaďme všechny hodnoty.
Index lomu vzduchu je 1,00029
krát sinus „théta“.
Možná se ptáte, jak zjistíme sinus „théta“, když neznáme ten úhel.
Ale vzpomeňte si na základní trigonometrické funkce.
Sinus je protilehlá ku přeponě.
Pokud chceme znát tento úhel, najděme zde pravoúhlý trojúhelník.
protilehlá ku přeponě je poměr této strany ku přeponě.
Tato délka je stejná jako „x“, což je 7,92.
Takže sinus „théta 1“ bude její protilehlá strana ku přeponě.
To vychází z definice sinu.
Úhel „théta 1“ nepotřebujeme vůbec znát.
Bude to 7,92 lomeno 8,1.
A to se rovná indexu lomu světla ve vodě, což je 1,33. Napíši to modře.
krát sinus „théta 2“.
Pokud chceme určit théta dva, vydělíme obě strany rovnice 1,33.
Udělám to tady, když obě strany vydělím1,33 dostaneme
1,00029 krát 7,92 děleno 8,1 děleno 1,33.
A to se rovná sinu théta dva.
Spočítejme to na kalkulačce.
Máme 1,00029 krát 7,92.
Můžu sem vložit druhý výsledek, aby to bylo bez zaokrouhlení,
a pak to vydělit 1,33 a pak znova vydělit 8,1.
A to, co nám vyjde se rovná sinu „théta 2“.
Takže to zapíši. 0,735 se rovná sinu „théta 2“.
Můžeme spočítat arkus sinus této rovnice, abychom dostali „théta 2“.
„Théta 2“ se rovná inverznímu sinu této hodnoty.
Proto musím vzít inverzní hodnotu posledního výsledku.
A dostáváme, že „théta 2“ je 47,34 stupňů. Teď jsme určili „théta 2“.
Musíme použít trošku trigonometrie, abychom spočítali,
abychom vlastně určili tuto délku.
Známe tento úhel.
Chceme určit protilehlou stranu tohoto úhlu.
Známe odvěsnu, která má délku tři metry.
Jaká trigonometrická funkce zahrnuje odvěsnu?
Tangens. Tangens je protilehlá ku odvěsně.
Víme, že tangens 47,34 stupňů se rovná této protilehlé straně.
Nazvěme ji „y“.
Výsledek bude „y“ lomeno přepona délky tři metry.
Abychom osamostatnili „y“, vynásobíme obě strany trojkou.
Dostaneme 3 krát tangens 47,34 stupňů se rovná „y“.
Vezměme si na to kalkulačku.
3 krát tangens 47,35 stupňů. Vložím tam přesný výsledek.
Tři krát tento tangens je 3,255.
Takže tato vzdálenost „y“ se rovná 3,255 metrů.
Máme zjistit, jaká je tato celková vzdálenost.
Což je „x“ plus „y“, „y“ je těch 3,255
„x“ bylo 7,92.
Zde použiji zaokrouhlenou hodnotu.
Takže to bude 7,92 plus náš výsledek.
Dostaneme 11,18 metrů.
Pokud to opravdu chceme zaokrouhlit, můžeme napsat 11,2, ale zůstaňme u 11,18.
Toto je vzdálenost, kterou jsme hledali,
bod na dně bazénu, kam svítí laser,
je z této strany bazénu přibližně 11,18 metrů od kraje.
Snad se vám tenhle příklad bude hodit. Je trošku zamotaný.
Ale nejhorší na něm je ta trigonometrie
a zjistit, že nepotřebujete znát tenhle úhel,
protože víte jak určit sinus tohoto úhlu.
Ten úhel vlastně spočítat teď.
Znáte jeho sinus, takže můžete spočítat arkus sinus.
To ale je zbytečné.
Už známe sinus tohoto úhlu díky trigonometrii.
Můžeme to použít do Snellova zákona a určit tento úhel.
Když známe tento úhel, tak s troškou trigonometrie
určíme tuto dodatečnou vzdálenost.