1
00:00:00,490 --> 00:00:04,010
Ukažme si trošku složitější příklad
na Snellův zákon.

2
00:00:04,021 --> 00:00:08,220
Mám tu člověka stojícího
na kraji bazénu.

3
00:00:08,390 --> 00:00:11,440
V ruce má laserové ukazovátko

4
00:00:11,440 --> 00:00:18,760
a svítí s ním z výšky 1,7 metrů
nad hladinou bazénu.

5
00:00:18,910 --> 00:00:24,380
Svítí tak, že paprsek letí 8,1 metrů, 
než dopadne na hladinu.

6
00:00:24,530 --> 00:00:29,010
Pak se světlo láme dovnitř.
Vstupuje do pomalejšího prostředí.

7
00:00:29,010 --> 00:00:33,510
Když si vzpomenete na analogii s autem,
vnější kola budou nad vodou trochu déle,

8
00:00:33,510 --> 00:00:34,620
proto budou rychlejší.

9
00:00:34,640 --> 00:00:40,150
Takže se láme dovnitř a dopadne
do určitého bodu na dno bazénu.

10
00:00:40,150 --> 00:00:42,920
V zadání je, že bazén
je tři metry hluboký.

11
00:00:42,940 --> 00:00:49,970
Chceme zjistit, jak daleko 
je bod, do kterého paprsek dopadne.

12
00:00:49,970 --> 00:00:56,640
Takže jaká je tato vzdálenost?

13
00:00:56,660 --> 00:01:03,940
Abychom to zjistili, musíme určit,
jaká vzdálenost je zde,

14
00:01:03,960 --> 00:01:08,110
pak musíme určit, jak velké
je toto a obě vzdálenosti sečíst.

15
00:01:08,140 --> 00:01:13,920
Můžeme určit tuto vzdálenost
k místu dopadu paprsku na hladinu,

16
00:01:13,940 --> 00:01:16,770
a pak určit tuto 
dodatečnou vzdálenost.

17
00:01:17,050 --> 00:01:22,340
Doufejme, že to s troškou trigonometrie
a Snellovým zákonem dokážeme.

18
00:01:22,400 --> 00:01:26,100
Začněme tím nejjednodušším, 
určeme tuto délku.

19
00:01:26,580 --> 00:01:29,350
To by se nám později mohlo hodit.

20
00:01:29,350 --> 00:01:33,970
Takže určeme tuto 
vzdálenost podél hladiny.

21
00:01:33,980 --> 00:01:38,550
Délku hladiny až k místu, kde se
laserový paprsek dotýká vody.

22
00:01:39,560 --> 00:01:42,260
Zavede nás to k užití 
Pythagorovy věty.

23
00:01:42,620 --> 00:01:44,860
Toto je pravý úhel.

24
00:01:44,860 --> 00:01:50,970
Tady je přepona. Takže tato
vzdálenost, nazvěme ji „x“.

25
00:01:51,190 --> 00:01:56,000
„x“ na druhou plus 1,7 metrů na druhou
se rovná 8,1 metrů na druhou.

26
00:01:56,020 --> 00:01:57,670
Podle Pythagorovy věty.

27
00:01:57,670 --> 00:02:03,860
„x“ na druhou plus 1,7 metrů na druhou
se rovná 8,1 metrů na druhou.

28
00:02:04,110 --> 00:02:06,970
Od obou stran odečtěme 
1,7 na druhou

29
00:02:06,970 --> 00:02:12,980
„x“ na druhou se rovná 8,1 metrů na druhou
mínus 1,7 metrů na druhou.

30
00:02:13,260 --> 00:02:16,640
Chceme to řešit pro „x“,
„x“ bude rovnat kladné odmocnině tohoto,

31
00:02:16,670 --> 00:02:19,200
protože nás zajímají 
jen kladné vzdálenosti.

32
00:02:19,230 --> 00:02:27,380
„x“ se rovná odmocnině z 8,1 na druhou
mínus 1,7 na druhou.

33
00:02:27,410 --> 00:02:31,140
Vezměme si na to kalkulačku,
takže „x“ se bude rovnat

34
00:02:31,850 --> 00:02:42,630
odmocnině z 8,1 na druhou
minus 1,7 na druhou.

35
00:02:42,640 --> 00:02:49,530
A to je asi 7,92.

36
00:02:50,050 --> 00:03:02,390
Takže „x“ je přibližně 7,92. To je „x“.

37
00:03:02,390 --> 00:03:05,880
Teď určíme tuto 
dodatečnou vzdálenost,

38
00:03:05,980 --> 00:03:10,830
přičteme ji k „x“, tím dostaneme
tuto délku. Zkusme zjistit, jak na to.

39
00:03:10,930 --> 00:03:17,720
Zamysleme se nad tím, 
jaké jsou úhly dopadu a lomu.

40
00:03:17,740 --> 00:03:21,740
Spusťme kolmici k rozhraní, 
to znamená k hladině.

41
00:03:22,070 --> 00:03:29,770
Zde máme náš úhel dopadu.

42
00:03:30,480 --> 00:03:34,380
Připomeňme si, že ve Snellově zákoně
vystupuje sinus tohoto úhlu.

43
00:03:34,410 --> 00:03:36,400
Zapišme si, co nás vlastně zajímá.

44
00:03:36,440 --> 00:03:39,500
Víme, že zde je úhel dopadu.

45
00:03:40,000 --> 00:03:43,150
Tady máme úhel lomu.

46
00:03:43,390 --> 00:03:48,450
Známe i index lomu pro toto
prostředí -je to vzduch.

47
00:03:48,450 --> 00:03:56,600
Index lomu pro vzduch
krát sinus „théta 1“,

48
00:03:56,600 --> 00:03:58,370
přesně podle Snellova zákona,

49
00:03:58,370 --> 00:04:08,380
krát úhel dopadu 
se rovná indexu lomu vody

50
00:04:08,400 --> 00:04:16,470
krát sinus „théta 2“, což je krát 
sinus úhlu lomu.

51
00:04:16,780 --> 00:04:21,970
Hodnoty indexů můžeme 
najít v této tabulce.

52
00:04:22,000 --> 00:04:26,290
Tento příklad i obrázky jsem
vlastně vzal z „ck12.org flexbook“.

53
00:04:27,130 --> 00:04:29,690
Pokud chceme 
osamostatnit „théta 2“,

54
00:04:29,710 --> 00:04:32,480
nebo když známe „théta 2“, 
můžeme osamostatnit toto.

55
00:04:32,480 --> 00:04:34,330
Použijeme k tomu 
trošku trigonometrie.

56
00:04:34,330 --> 00:04:41,220
Vlastně stačí znát sinus „théta 2“,
abychom to vyřešili.

57
00:04:41,250 --> 00:04:46,220
V obou případech vlastně 
zjistíme tento úhel

58
00:04:46,220 --> 00:04:51,130
a potom s troškou trigonometrie můžeme
určit tuto délku.

59
00:04:51,350 --> 00:04:57,890
Abychom určili tento úhel, 
musíme určit sinus „théta 1“.

60
00:04:58,060 --> 00:05:00,690
Dosaďme všechny hodnoty.

61
00:05:00,730 --> 00:05:11,670
Index lomu vzduchu je 1,00029

62
00:05:11,810 --> 00:05:13,790
krát sinus „théta“.

63
00:05:13,790 --> 00:05:17,080
Možná se ptáte, jak zjistíme 
sinus „théta“, když neznáme ten úhel.

64
00:05:17,080 --> 00:05:23,380
Ale vzpomeňte si na základní
trigonometrické funkce.

65
00:05:23,430 --> 00:05:25,660
Sinus je protilehlá ku přeponě.

66
00:05:25,660 --> 00:05:32,950
Pokud chceme znát tento úhel, 
najděme zde pravoúhlý trojúhelník.

67
00:05:32,960 --> 00:05:40,070
protilehlá ku přeponě je poměr 
této strany ku přeponě.

68
00:05:40,070 --> 00:05:46,720
Tato délka je stejná jako „x“,
což je 7,92.

69
00:05:47,060 --> 00:05:52,830
Takže sinus „théta 1“ bude její
protilehlá strana ku přeponě.

70
00:05:52,830 --> 00:05:55,450
To vychází z definice sinu.

71
00:05:55,760 --> 00:06:01,830
Úhel „théta 1“ nepotřebujeme
vůbec znát.

72
00:06:01,850 --> 00:06:13,940
Bude to 7,92 lomeno 8,1.

73
00:06:13,960 --> 00:06:32,380
A to se rovná indexu lomu světla ve vodě,
což je 1,33. Napíši to modře.

74
00:06:32,440 --> 00:06:35,880
krát sinus „théta 2“.

75
00:06:35,880 --> 00:06:41,470
Pokud chceme určit théta dva,
vydělíme obě strany rovnice 1,33.

76
00:06:41,470 --> 00:06:47,350
Udělám to tady, když obě strany
vydělím1,33 dostaneme

77
00:06:47,350 --> 00:07:06,000
1,00029 krát 7,92
děleno 8,1 děleno 1,33.

78
00:07:06,030 --> 00:07:12,970
A to se rovná sinu théta dva.

79
00:07:13,010 --> 00:07:19,590
Spočítejme to na kalkulačce.

80
00:07:19,610 --> 00:07:25,830
Máme 1,00029 krát 7,92.

81
00:07:26,320 --> 00:07:35,250
Můžu sem vložit druhý výsledek, 
aby to bylo bez zaokrouhlení,

82
00:07:35,520 --> 00:07:43,970
a pak to vydělit 1,33
a pak znova vydělit 8,1.

83
00:07:44,220 --> 00:07:51,920
A to, co nám vyjde se rovná
sinu „théta 2“.

84
00:07:51,940 --> 00:08:00,750
Takže to zapíši. 
0,735 se rovná sinu „théta 2“.

85
00:08:00,900 --> 00:08:04,910
Můžeme spočítat arkus sinus této
rovnice, abychom dostali „théta 2“.

86
00:08:04,910 --> 00:08:09,200
„Théta 2“ se rovná 
inverznímu sinu této hodnoty.

87
00:08:10,160 --> 00:08:15,770
Proto musím vzít inverzní hodnotu
posledního výsledku.

88
00:08:17,550 --> 00:08:34,440
A dostáváme, že „théta 2“ je 47,34 stupňů.
Teď jsme určili „théta 2“.

89
00:08:34,460 --> 00:08:38,120
Musíme použít trošku trigonometrie, 
abychom spočítali,

90
00:08:38,120 --> 00:08:40,660
abychom vlastně určili tuto délku.

91
00:08:40,880 --> 00:08:44,150
Známe tento úhel.

92
00:08:44,340 --> 00:08:49,300
Chceme určit protilehlou 
stranu tohoto úhlu.

93
00:08:49,380 --> 00:08:52,950
Známe odvěsnu, 
která má délku tři metry.

94
00:08:52,950 --> 00:08:55,990
Jaká trigonometrická funkce
zahrnuje odvěsnu?

95
00:08:56,000 --> 00:09:00,483
Tangens. 
Tangens je protilehlá ku odvěsně.

96
00:09:00,503 --> 00:09:11,845
Víme, že tangens 47,34 stupňů
se rovná této protilehlé straně.

97
00:09:11,847 --> 00:09:14,490
Nazvěme ji „y“.

98
00:09:14,760 --> 00:09:20,110
Výsledek bude „y“ lomeno 
přepona délky tři metry.

99
00:09:20,330 --> 00:09:26,080
Abychom osamostatnili „y“, 
vynásobíme obě strany trojkou.

100
00:09:26,250 --> 00:09:34,090
Dostaneme 3 krát 
tangens 47,34 stupňů se rovná „y“.

101
00:09:34,750 --> 00:09:36,440
Vezměme si na to kalkulačku.

102
00:09:36,730 --> 00:09:43,150
3 krát tangens 47,35 stupňů.
Vložím tam přesný výsledek.

103
00:09:43,810 --> 00:09:48,470
Tři krát tento tangens je 3,255.

104
00:09:48,470 --> 00:09:58,480
Takže tato vzdálenost „y“ 
se rovná 3,255 metrů.

105
00:09:58,500 --> 00:10:01,610
Máme zjistit, jaká je 
tato celková vzdálenost.

106
00:10:02,100 --> 00:10:07,100
Což je „x“ plus „y“,
„y“ je těch 3,255

107
00:10:07,100 --> 00:10:09,460
„x“ bylo 7,92.

108
00:10:09,770 --> 00:10:11,810
Zde použiji zaokrouhlenou hodnotu.

109
00:10:11,810 --> 00:10:19,300
Takže to bude 7,92
plus náš výsledek.

110
00:10:19,300 --> 00:10:22,010
Dostaneme 11,18 metrů.

111
00:10:22,010 --> 00:10:28,990
Pokud to opravdu chceme zaokrouhlit,
můžeme napsat 11,2, ale zůstaňme u 11,18.

112
00:10:28,990 --> 00:10:35,020
Toto je vzdálenost, 
kterou jsme hledali,

113
00:10:35,020 --> 00:10:42,240
bod na dně bazénu, kam svítí laser,

114
00:10:42,250 --> 00:10:54,560
je z této strany bazénu přibližně
11,18 metrů od kraje.

115
00:10:54,560 --> 00:10:58,080
Snad se vám tenhle příklad 
bude hodit. Je trošku zamotaný.

116
00:10:58,080 --> 00:11:00,680
Ale nejhorší na něm 
je ta trigonometrie

117
00:11:00,680 --> 00:11:02,970
a zjistit, že nepotřebujete
znát tenhle úhel,

118
00:11:02,970 --> 00:11:05,800
protože víte jak určit 
sinus tohoto úhlu.

119
00:11:05,800 --> 00:11:07,500
Ten úhel vlastně spočítat teď.

120
00:11:07,520 --> 00:11:10,340
Znáte jeho sinus, takže
můžete spočítat arkus sinus.

121
00:11:10,340 --> 00:11:11,620
To ale je zbytečné.


122
00:11:11,620 --> 00:11:14,940
Už známe sinus tohoto
úhlu díky trigonometrii.

123
00:11:14,970 --> 00:11:18,790
Můžeme to použít do Snellova
zákona a určit tento úhel.

124
00:11:18,870 --> 00:11:21,390
Když známe tento úhel, 
tak s troškou trigonometrie

125
00:11:21,390 --> 00:11:23,760
určíme tuto dodatečnou vzdálenost.