Jednostavne jednačine

Recimo da imamo jednačinu - sedam puta x da je jednako četrnaest.

Pre nego što i pokušamo da rešimo ovu jednačinu,

ono što želim da uradim jeste da malo razmislim o tome šta to sve u stvari znači.

Sedam x jednako četrnaest,

potpunu je ista stvar reći i sedam puta x - da to napišem ovako -
sedam puta x jednako je četrnaest.

Sad, možda vi možete ovo da rešite iz glave.

Možete bukvalno proći kroz tabelu množenja sa 7.

Kažete, pa 7 puta 1 jednako je 7, tako da to neće proći.

7 puta 2 je jednako 14, tako da 2 ovde radi posao.

Tako ćete moći odmah da je rešite.

Odmah bi mogli, samo isprobavanjem raznih brojeva,

da kažete - hej, pa ovo će biti 2.

Ali ono što ćemo raditi u ovom snimku jeste da razmislimo

kako da ovakav problem rešimo na sistemski način.

Ono što ćemo videti jeste da kako ove jednačine

budu postajale sve komplikovanije, nećemo više moći

da razmislimo i rešimo ih iz glave.

Stoga je veoma važno da, pod jedan, razumete kako da

radite sa ovim jednačinama, ali je još važnije da

razumete šta one stvarno predstavljaju.

Ovo bukvalno govori da je 7 puta x jednako 14.

U algebri mi ne pišemo "puta", odnosno znak za množenje.

Kada napišete dva broja jedan pored drugog, ili broj pored

promenljive kao što je ovde slučaj, to jednostavno znači da ih

vi množite.

To je samo skraćivanje, skraćeni zapis.

I uopšte, ne koristimo znak za množenje zato što

je zbunjujeće, jer je x najčešća promenljiva

koja se koristi u algebri.

I ako bi napisao da je 7 puta x jednako 14, ako bi napisao

znak za množenje ili moje x malo drugačije, moglo bi da izgleda

kao xx ili puta puta.

Tako da uglavnom kada radite sa jednačinama,

a pogotovo ako je jedna od promenljivih x, vi

ne bi koristili tradicionalni znak za množenje.

Možete koristiti nešto kao što je ovo - možete koristi tačku da

predstavite množenje.

Tako da možete da imate 7 puta x jednako je 14.

Ali ovo je i dalje malo neobično.

Ako imate nešto pomnoženo sa promenljivom

napisaćete samo 7x.

To bukvalno znači 7 puta x.

Sad, da bi razumeli kako možete da radite sa ovom jednačinom

kako bi ste je rešili, hajde da je vizualizujemo.

Dakle, 7 puta x, šta je to?

To je ista stvar - samo ću prepisati tu

jednačinu, ali ću je prepisati u vizuelnom obliku.

Dakle, 7 puta x.

To bukvalno znači x dodato na sebe 7 puta.

To je definicija množenja.

Dakle, to je bukvalno x plus x plus x plus x plus x - da vidimo,

to je 5 x-eva - plus x plus x.

Dakle, to što imamo jeste bukvalno 7 x-eva.

To je 7x, što imamo.

Hajde da prepišem to ispod.

Ono što imamo jeste 7x.

Ova jednačina nam govori da je 7x jednako sa 14.

Samo govori da je ovo jednako sa 14.

Hajde da nacrtam 14 predmeta ovde.

Recimo da imam 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

9, 10, 11, 12, 13, 14.

Dakle, bukvalno govorimo da je 7x jednako sa 14 nečega.

Ovo su identične izjave.

Sad, razlog zbog kojeg sam to nacrtao na ovaj način jeste da bi

vi zaista shvatili šta ćemo uraditi kada

podelimo obe strane sa 7.

Hajde da obrišem ovo ovde.

Standardni korak kada god - opa, ovo nisam hteo da uradim,

hajde da ovo uradim, da nacrtam taj poslednj krug.

Tako da uopšte, kada god uprošćavate jednačinu na koef...

- koeficijent je samo broj koji množi

promenljivu.

Dakle, neki broj koji množi promenljivu, ili možemo to nazvati i kao

koeficijent pomnožen promenljivom jednak je

nečemu drugom.

Ono što treba da uradite jeste da obe strane podelite sa 7 u

ovom slučaju, odnosno, da podelite obe strane sa koeficijentom.

Dakle, ako podelite obe strane sa 7, šta dobijate?

7 pomnoženo sa nečim što je podeljeno sa 7 će jednostavno biti

to početno nešto.

Sedmice se poništavaju, a 14 podeljeno sa 7 je 2.

Dakle, vaše rešenje će biti da je x jednako 2.

Ali, samo da učinim veoma opipljivim u vašim glavama ono što

se ovde dešava, kada mi delimo obe strane

jednačine sa 7, mi bukvalno delimo obe strane sa 7.

Ovo je jednačina.

I govori da je ovo jednako tome.

Sve što uradim levoj strani moram da uradim i desnoj.

Ako otpočnu kao jednake, ne mogu da izvršim operaciju samo

na jednoj strani i da i dalje budu jednake.

One su bile ista stvar.

Tako da ako podelim levu stranu sa 7, hajde da ih podelim

u sedam grupa.

Dakle, tu je sedam x-eva, dakle to su jedan, dva tri,

četiri, pet, šest, sedam.

Dakle, to je jedna, dve, tri, četiri, pet, šest, sedam grupa.

Sad, ako ih podelim u sedam grupa, takođe hoću

da podelim i desnu stranu u sedam grupa.

Jedan, dva, tri, četiri, pet, šest, sedam.

Ako je cela ova stvar ista kao i cela ova stvar, onda je svaki

od ovih malih parčića na koje smo ih izdelili, ovih sedam parčića,

svaki će biti jednak.

Dakle, može se reći da je ovo parče isto kao i ovo parče.

Ovo parče je jednako ovom parčetu - oni su

svi jednaki parčići.

Ovde ima sedam parčića, sedam parčića je i ovde.

Dakle, svaki x mora biti jednak sa dva ova predmeta.

Dakle, dobijamo da je x jednako, u ovom slučaju - u ovom slučaju

smo imali predmete iscrtane tako da su tu dva od

njih. X je jednako 2.

Hajde da sad uradimo još par primera kako bi

stvarno shvatili da ovde radimo sa jednačinom,

i da bi svaku operacija koju uradite na jednoj strani jednačine

trebali da uradite i na drugoj.

Hajde da malo skrolujem na dole.

Recimo da imam, recimo da imam da je 3x jednako sa 15.

Još jednom, vi bi ovo mogli da uradite iz glave.

Vi kažete da je ovo govori da je 3 pomnoženo sa nekim

brojem jednako sa 15.

Možete krenuti kroz vašu tabelu množenja sa 3 i tako provaliti rezultat.

Ali ako ste želeli da ovo uradite sistematski, a

dobro je da to razumete sistematski, recimo OK, ovo

sa lave strane jednačine je jednako sa ovim sa desne strane.

Šta treba da uradim sa ovim na levoj strani

da bi tu ostalo samo x?

Pa, da bi tu ostalo samo x, moram to podeliti sa 3.

A kompletna motivacija zašto to radim jeste da 3 pomnoženo

sa nečim što je podeljeno sa 3, trojke će se poništiti, i sve što

će mi ostati jeste x.

Sad, 3x je bilo jednako sa 15.

Ako delim levu stranu sa 3, a želim da jednakost

i dalje važi, ja takođe moram da podelim i desnu stranu sa 3.

I šta nam sad to daje?

Pa, leva strana, ostaće nam samo

x, tako da ostaje samo x.

I onda desna strana, šta je 15 podeljeno sa 3?

Pa, to je samo 5.

Sad, takođe ste mogli ovu jednačinu rešiti na malo

drugačiji način, iako su u stvari isti.

Ako počnem sa 3x koji su jednaki sa 15, možete reći da, hej Sal,

umesto da delim sa 3, ja isto tako mogu da se otarasim trojke,

mogu da ostanem samo sa x, ako pomnožim obe strane

ove jednačine sa 1/3.

Tako da, ako pomnožim obe strane jednačine sa 1/3

to bi trebalo takođe da prođe.

Vi kažete, gledaj - 1/3 od 3 je 1.

Kada samo pomnožite ovaj deo ovde, 1/3 puta

3, to je samo 1, 1x.

1x je jednako sa 15 puta 1/3, is equal to 5.

A 1 pomnoženo sa x je ista stvar kao i samo x, tako da je ovo ista

stvar kao i reći x je jednako sa 5.

I ovo su u stvari isti načini za rešavanje.

Ako podelite obe strane sa 3, to je isto što i

množenje obe strane jednačine sa 1/3.

Hajde da uradimo još jednu, i napravićemo je da bude

malo komplikovanija.

I izmeniću malo i promenljivu.

Hajde da kažemo da imam 2y plus 4y da je jednako sa 18.

Sad je odjednom malo teže da

ovo izračunam iz glave.

Kažemo da će 2 puta nešto plus 4 puta to isto

nešto biti jednako sa 18.

Malo je teže razmišljati o tome koji bi to broj mogao biti.

Možete da ih isprobate.

Recimo da ako je y jednako 1, bilo bi 2 puta 1 plus 4 puta 1,

pa to ne odgovara.

Ali hajde da razmislio kako to možemo uraditi sistemski.

Možete da nastavite da pogađate i možda ćete jednom

i pogoditi odgovor, ali kako da ovo uradite sistemski.

Hajde da to vizualizujemo.

Ako imam dva y-na, šta to znači?

To bukvalno znači da imam dva y dodata jedan na drugi.

Dakle, to je bukvalno y plus y.

I onda na to dodajem 4 y.

Na to dodajem četiri y, što je bukvalno četiri

y dodato jedno na drugo.

Dakle to je y plus y plus y plus y.

A to sve treba da bude jednako 18.

Dakle to je jednako sa 18.

Sad, koliko y imam ovde sa leve strane?

Koliko y imam?

Imam jedan, dva, tri, četiri, pet, šest y.

Dakle, možete uprostiti ovo sa 6y je jednako sa 18.

I ako malo razmislite o tome ima potpunog smisla.

Dakle ovo ovde, 2y plus 4y jeste 6y.

Dakle, 2y plus 4y je 6y, što imam potpuno smisla.

Ako imam 2 jabuke i još 4 jabuke, imaću

ukupno 6 jabuka.

Ako imam 2 y plus 4 y, imaću 6 y.

Sada to treba da bude jednako sa 18.

I sada, nadam se, razumemo kako ovo da uradimo.

Ako imam 6 puta nešto da je jednako 18, ako podelim obe

strane ove jednačine sa 6, rešiću to nešto.

Dakle, podelimo levu stranu sa 6, i podelimo

desnu stranu sa 6.

I ostaje nam da je y jednako 3.

Možete to i da isprobate.

To je ono što je kul kod jednačina.

Uvek možete da proverite i vidite da li ste dobili tačan odgovor.

Hajde da vidimo kako se to radi.

2 puta 3 plus 4 puta 3 je jednako čemu?

2 puta 3, to je 6.

I onda 4 puta 3 je 12.

6 plus 12 je, stvarno, jednako sa 18.

Dakle uspelo je.