Compound Inequalities

Pojďme si vypočítat pár příkladů
na složené nerovnice.

Není to nic jiného než několik
nerovnic spojených dohromady.

Hned si to ukážeme.

První příklad zní: minus 5 je menší nebo
rovno x minus 4, což je menší než 13.

Máme tu vlastně spojené dvě nerovnice,
dvě podmínky pro x.

x minus 4 musí být větší nebo rovno
minus 5.

A zároveň musí být x minus 4
menší nebo rovno 13.

Tuto složenou nerovnost
můžeme přepsat jako:

Minus 5 je menší nebo rovno x minus 4,

a zároveň x minus 4
je menší nebo rovno 13.

Vyřešíme každou nerovnici zvlášť
a pak to dáme dohromady.

Výsledná množina totiž
musí splňovat obě nerovnice.

Nejdříve vyřešme každou zvlášť.

V té první můžeme k obou stranám
rovnice přičíst 4.

Na levé straně máme minus 5 plus 4,
což je minus 1

Tedy minus 1 je menší nebo rovno x.

Tyto čtyřky se odečetly
a nám na pravé straně zbylo jen x.

Tuto část lze tedy zjednodušit na
minus 1 je menší nebo rovno x.

Nebo jinak řečeno x musí být
větší nebo rovno minus 1.

Přehozením stran a nerovnítka
získáme x je větší nebo rovno minus 1.

Tyto dva zápisy říkají to samé
mají jen přehozené strany.

Pojďme se teď věnovat druhé podmínce,
označím jí zeleně.

Přičteme 4 k oběma
stranám v této nerovnici.

Na levé straně nám zbyde jen x.

Na pravé straně sečteme 13 a 4,
což se rovná 17.

Vyšlo nám, že x je menší nebo rovno 17.

Máme tu teď dvě podmínky,
x je větší nebo rovno minus 1

a x je menší nebo rovno 17.

Můžeme je napsat zase zpátky
do složené nerovnosti.

Vyplývá nám z toho,
že x je menší nebo rovno 17,

a zároveň větší nebo rovno minus 1.

Řešení musí splňovat obě tyto podmínky.

Pojďme si to nakreslit na číselnou osu.

Na této číselné ose vyznačím tady 17,
tady je 18 a můžeme pokračovat.

Tady bude 0, jen naznačím čísla uprostřed.

Tady potom bude minus 1, minus 2.

Máme dáno,
že x je větší nebo rovno minus 1.

Tedy začneme v bodě minus 1,
vybarvím ho, protože je tam i to rovnítko.

Z bodu minus 1 jdu doprava,
ale nemůžu jít do nekonečna.

Mám to omezené tou 17,
x musí být menší nebo rovno 17.

Může to být rovno 17, nebo menší než 17.

Tato oranžově vyznačená množina
představuje řešení naší soustavy nerovnic.

Zkusme to ještě zapsat jako interval.

Zapíšu krajní body, kterými jsou
minus 1 a 17.

Protože se to může rovnat minus 1,
napíšu u ní hranatou závorku.

To samé platí pro 17.

Takto můžeme zapsat
řešení pomocí intervalu.

Zkusíme jiný příklad.

Vymyslím nějaký dobrý příklad.

Řekněme, že máme minus 12...

...trochu pozměním
ten předchozí příklad...

Minus 12 je méně než 2 minus 5x
a to je menší nebo rovno 7.

Chci tu teď vyřešit příklad z jedním větší
než a jedním větší nebo rovno znaménkem.

V příkladníku, ze kterého čerpám,
je i tady znaménko rovná se,

ale úmyslně ho tam teď nedávám, abychom
si mohli zkusit tuto situaci.

Nejdříve si to zase rozdělíme
na dvě nezávislé rovnice.

Nejdříve si napíšeme tuto první nalevo.

Máme tu, že minus 12
je menší než 2 minus 5x.

Tohle musí být splněno,
ale zároveň tu máme druhou nerovnici.

Označím ji jinou barvou,
tato nerovnice musí být též splněna.

2 minus 5x musí být menší nebo rovno 7
a ještě navíc větší než minus 12.

Tedy píšu: A zároveň platí,
že 2 minus 5x je menší nebo rovno 7.

Pojďme tyto dvě nerovnice vyřešit,
stejně jako jsme vyřešili ty minulé.

Tady můžeme přesunout 2 na druhou stranu.

To uděláme odečtením dvojky od obou stran.

Pokud odečteme 2 z obou stran,
na levé straně nám zůstane minus 14,

a to je méně než, toto se odečte,
takže méně než minus 5x.

Pojďme teď celou rovnici
vydělit číslem minus 5.

Nesmíme nikdy zapomenout,

že při dělení či násobení záporným číslem
otáčíme znaménko nerovnosti.

Když obě strany vydělíme minus 5,

dostaneme minus 14 děleno (minus 5) nalevo
a napravo zbyde jen x.

Protože minus 5x děleno (minus 5)
je x.

A nerovnítko se nám
obrátí na druhou stranu.

Minusy se nám pokrátí, výsledkem je tedy
14 lomeno 5 je větší než x.

Můžeme to přepsat na x je menší než
14 lomeno 5.

Kolik to vlastně je?
Je to 2 a 4 pětiny.

X je menší než 2 a 4 pětiny.

Přepsal jsem zlomek na smíšené číslo.

Pojďme se pustit
do druhé, fialové, nerovnice.

Stejně jako minule, odečtěme 2
od obou stran nerovnice.

Pokud chcete, můžete nerovnice řešit
zároveň, ale pak je to trochu zmatek.

Doporučuji řešit každou zvlášť,
abyste zbytečně nechybovali.

Když tedy odečteme dvojku od obou stran
nerovnice, nalevo zůstane jen minus 5x.

Pak tam máme menší nebo rovno
7 minus 2, což je 5.

Obě strany nerovnice vydělíme minus 5.

Nalevo nám zbyde x, napravo vypočítáme
5 děleno (minus 5), což je minus 1.

Zase dělíme záporným číslem, proto zase
otáčíme znaménko nerovnosti.

Teď to bude větší nebo rovno.

Dostali jsme dvě podmínky.

X je menší než 2 a 4 pětiny, a zároveň
je větší nebo rovno minus 1.

Můžem to napsat do intervalu.

X musí být větší nebo rovno minus 1, čímž
máme vytvořenou spodní hranici intervalu.

A také to musí být menší
než 2 a 4 pětiny.

Povšimněte si, že tady je kulatá závorka,
to je proto, že je tu pouze menší než.

To jsem vám chtěl ukázat, co se změní,
pokud tam chybí to rovnítko.

Nebo to můžeme napsat i takto:

x je menší než 2 a 4 pětiny, což
je to samé jako toto, s otočením stran.

A to musí ještě být větší nebo rovno minus 1.

Tyto dva zápisy vyjadřují totéž.

Ještě to znázorním i na číselné ose.

Bude to vypadat nějak takto.

Tady vyznačím minus 1, tady 2 a 4 pětiny.

Víme, že to, co chceme, je uprostřed.

Tady můžu vyznačit 0.

Musíme mít číslo větší nebo rovno minus 1.

Může to být i minus 1, anebo čísla větší.

Ale zároveň to číslo musí
být větší než 2 a 4 pětiny.

Samotné číslo 2 a 4 pětiny
zahrnout nemůžeme.

X se totiž nemůže rovnat 2 a 4 pětinám.

Ale může být menší než tato hodnota.

Začneme tedy na 2 a 4 pětiny a vezmeme
všechna čísla až do minus 1.

Minus 1 zahrneme, protože u něj máme
znaménko menší nebo rovno.

V těchto dvou příkladech jsme si ukázali,
jak vyřešit průnik dvou nerovnic.

Tedy případ, kdy musí být
obě nerovnice zároveň splněny.

Teď si ukážeme druhý případ,
sjednocení.

Budeme řešit například tyto nerovnice.

4x minus 1 je větší nebo rovno 7

nebo 9x lomeno 2 je menší než 3.

Hledané x musí splňovat
jednu nebo druhou nerovnici.

V předchozích příkladech bylo zadání jiné,
museli být splněny obě nerovnice.

Tady je to mnohem mírnější,
stačí aby byla splněna jedna podmínka.

Pojďme si zase vyřešit každou zvlášť
a potom uděláme sjednocení řešení.

Vlastně zkombinujeme x, která
splňují jednu, či druhou nerovnici.

V první nerovnici můžeme přičíst 1
k oběma stranám.

Nalevo nám zbydou jen 4x, a to je větší
než 7 plus 1, což je 8.

Teď vydělím obě strany čtyřkou.

Dostaneme x je větší nebo rovno 2.

Nebo, a teď se pustíme do druhé nerovnice.

Co dostanu, když celou nerovnici vynásobím
dvěma devítinami?

Celou rovnici vynásobím 2 devítinami.

Je to zlomek, ale je kladný,
takže znaménko se otáčet nebude.

Toto se vykrátí, zbyde nám tam x
je menší než 3 krát 2 lomeno 9.

3 lomeno 9 můžeme
zkrátit třemi na 1 lomeno 3.

Výsledek je x je menší než 2 lomeno 3.

Píšu: Nebo x je menší než 2 třetiny.

Toto jsou dvě řešení.

x musí být větší nebo rovno 2
nebo x je menší než 2 třetiny.

Je to celkem zajímavé, pojďme si
to znázornit na číselné ose.

Nakreslím číselnou osu.

Tady bude 0, tady 1, tady 2 a 3.

Tady bude minus 1.

Pro x je větší nebo rovno 2...

...vezmu si na to jinou barvu...

...začneme ve dvojce a má to být větší
nebo rovno,

zahrneme proto všechna čísla nad
dvojkou a dvojku též.

Tím jsme znázornili tuto podmínku.

X může být také menší než 2 třetiny.

2 třetiny jsou někde tady, mám pravdu?

Takže 2 třetiny.

A x je menší než toto číslo.

Je zajímavé, že pokud vyberu některé
z těchto čísel,

bude to vyhovovat této podmínce.

A pokud vyberu jedno z těchto čísel,
splní to tu druhou podmínku.

Pokud by tam bylo "a zároveň",
průnik by byl prázdná množina.

Protože nemůžete být zároveň větší než
2 a menší než 2 třetiny.

Ale my tam máme "nebo", proto
tato soustava řešení má.

Stačí nám, že je splněna jedna
z obou nerovnic.

Doufám, že vás to bavilo.