1
00:00:00,000 --> 00:00:03,470
Pojďme si vypočítat pár příkladů
na složené nerovnice.

2
00:00:03,470 --> 00:00:08,090
Není to nic jiného než několik
nerovnic spojených dohromady.

3
00:00:08,090 --> 00:00:10,020
Hned si to ukážeme.

4
00:00:10,020 --> 00:00:22,290
První příklad zní: minus 5 je menší nebo
rovno x minus 4, což je menší než 13.

5
00:00:22,300 --> 00:00:27,400
Máme tu vlastně spojené dvě nerovnice,
dvě podmínky pro x.

6
00:00:27,426 --> 00:00:31,270
x minus 4 musí být větší nebo rovno
minus 5.

7
00:00:31,270 --> 00:00:36,240
A zároveň musí být x minus 4
menší nebo rovno 13.

8
00:00:36,240 --> 00:00:40,180
Tuto složenou nerovnost
můžeme přepsat jako:

9
00:00:40,180 --> 00:00:48,020
Minus 5 je menší nebo rovno x minus 4,

10
00:00:48,020 --> 00:00:57,800
a zároveň x minus 4
je menší nebo rovno 13.

11
00:00:57,800 --> 00:01:02,930
Vyřešíme každou nerovnici zvlášť
a pak to dáme dohromady.

12
00:01:02,930 --> 00:01:07,209
Výsledná množina totiž
musí splňovat obě nerovnice.

13
00:01:07,209 --> 00:01:09,660
Nejdříve vyřešme každou zvlášť.

14
00:01:09,660 --> 00:01:17,080
V té první můžeme k obou stranám
rovnice přičíst 4.

15
00:01:17,090 --> 00:01:21,840
Na levé straně máme minus 5 plus 4,
což je minus 1

16
00:01:21,840 --> 00:01:26,120
Tedy minus 1 je menší nebo rovno x.

17
00:01:26,120 --> 00:01:30,620
Tyto čtyřky se odečetly
a nám na pravé straně zbylo jen x.

18
00:01:30,620 --> 00:01:39,680
Tuto část lze tedy zjednodušit na
minus 1 je menší nebo rovno x.

19
00:01:39,680 --> 00:01:42,270
Nebo jinak řečeno x musí být
větší nebo rovno minus 1.

20
00:01:42,280 --> 00:01:46,130
Přehozením stran a nerovnítka
získáme x je větší nebo rovno minus 1.

21
00:01:46,130 --> 00:01:48,830
Tyto dva zápisy říkají to samé
mají jen přehozené strany.

22
00:01:48,830 --> 00:01:55,936
Pojďme se teď věnovat druhé podmínce,
označím jí zeleně.

23
00:01:55,960 --> 00:02:01,740
Přičteme 4 k oběma
stranám v této nerovnici.

24
00:02:01,760 --> 00:02:04,330
Na levé straně nám zbyde jen x.

25
00:02:04,330 --> 00:02:09,830
Na pravé straně sečteme 13 a 4,
což se rovná 17.

26
00:02:09,840 --> 00:02:13,800
Vyšlo nám, že x je menší nebo rovno 17.

27
00:02:13,800 --> 00:02:18,950
Máme tu teď dvě podmínky,
x je větší nebo rovno minus 1

28
00:02:18,950 --> 00:02:22,310
a x je menší nebo rovno 17.

29
00:02:22,310 --> 00:02:25,720
Můžeme je napsat zase zpátky
do složené nerovnosti.

30
00:02:25,720 --> 00:02:31,410
Vyplývá nám z toho,
že x je menší nebo rovno 17,

31
00:02:31,410 --> 00:02:35,550
a zároveň větší nebo rovno minus 1.

32
00:02:35,550 --> 00:02:38,750
Řešení musí splňovat obě tyto podmínky.

33
00:02:38,750 --> 00:02:43,676
Pojďme si to nakreslit na číselnou osu.

34
00:02:43,676 --> 00:02:51,060
Na této číselné ose vyznačím tady 17,
tady je 18 a můžeme pokračovat.

35
00:02:51,060 --> 00:02:55,630
Tady bude 0, jen naznačím čísla uprostřed.

36
00:02:55,630 --> 00:02:59,910
Tady potom bude minus 1, minus 2.

37
00:02:59,920 --> 00:03:03,630
Máme dáno,
že x je větší nebo rovno minus 1.

38
00:03:03,630 --> 00:03:08,670
Tedy začneme v bodě minus 1,
vybarvím ho, protože je tam i to rovnítko.

39
00:03:08,680 --> 00:03:13,440
Z bodu minus 1 jdu doprava,
ale nemůžu jít do nekonečna.

40
00:03:13,440 --> 00:03:17,580
Mám to omezené tou 17,
x musí být menší nebo rovno 17.

41
00:03:17,580 --> 00:03:21,170
Může to být rovno 17, nebo menší než 17.

42
00:03:21,170 --> 00:03:25,740
Tato oranžově vyznačená množina
představuje řešení naší soustavy nerovnic.

43
00:03:25,740 --> 00:03:28,850
Zkusme to ještě zapsat jako interval.

44
00:03:28,850 --> 00:03:33,070
Zapíšu krajní body, kterými jsou
minus 1 a 17.

45
00:03:33,070 --> 00:03:37,120
Protože se to může rovnat minus 1,
napíšu u ní hranatou závorku.

46
00:03:37,120 --> 00:03:39,510
To samé platí pro 17.

47
00:03:39,510 --> 00:03:45,360
Takto můžeme zapsat
řešení pomocí intervalu.

48
00:03:45,360 --> 00:03:49,350
Zkusíme jiný příklad.

49
00:03:49,350 --> 00:03:51,980
Vymyslím nějaký dobrý příklad.

50
00:03:51,980 --> 00:03:56,620
Řekněme, že máme minus 12...

51
00:03:56,620 --> 00:04:00,270
...trochu pozměním
ten předchozí příklad...

52
00:04:00,270 --> 00:04:10,220
Minus 12 je méně než 2 minus 5x
a to je menší nebo rovno 7.

53
00:04:10,230 --> 00:04:14,600
Chci tu teď vyřešit příklad z jedním větší
než a jedním větší nebo rovno znaménkem.

54
00:04:14,600 --> 00:04:17,519
V příkladníku, ze kterého čerpám,
je i tady znaménko rovná se,

55
00:04:17,519 --> 00:04:22,390
ale úmyslně ho tam teď nedávám, abychom
si mohli zkusit tuto situaci.

56
00:04:22,390 --> 00:04:28,310
Nejdříve si to zase rozdělíme
na dvě nezávislé rovnice.

57
00:04:28,310 --> 00:04:31,940
Nejdříve si napíšeme tuto první nalevo.

58
00:04:31,940 --> 00:04:37,530
Máme tu, že minus 12
je menší než 2 minus 5x.

59
00:04:37,530 --> 00:04:43,230
Tohle musí být splněno,
ale zároveň tu máme druhou nerovnici.

60
00:04:43,230 --> 00:04:46,810
Označím ji jinou barvou,
tato nerovnice musí být též splněna.

61
00:04:46,810 --> 00:04:54,240
2 minus 5x musí být menší nebo rovno 7
a ještě navíc větší než minus 12.

62
00:04:54,240 --> 00:05:02,000
Tedy píšu: A zároveň platí,
že 2 minus 5x je menší nebo rovno 7.

63
00:05:02,000 --> 00:05:05,340
Pojďme tyto dvě nerovnice vyřešit,
stejně jako jsme vyřešili ty minulé.

64
00:05:05,340 --> 00:05:08,050
Tady můžeme přesunout 2 na druhou stranu.

65
00:05:08,050 --> 00:05:11,730
To uděláme odečtením dvojky od obou stran.

66
00:05:11,730 --> 00:05:18,150
Pokud odečteme 2 z obou stran,
na levé straně nám zůstane minus 14,

67
00:05:18,150 --> 00:05:23,830
a to je méně než, toto se odečte,
takže méně než minus 5x.

68
00:05:23,830 --> 00:05:27,140
Pojďme teď celou rovnici
vydělit číslem minus 5.

69
00:05:27,140 --> 00:05:28,480
Nesmíme nikdy zapomenout,

70
00:05:28,480 --> 00:05:32,140
že při dělení či násobení záporným číslem
otáčíme znaménko nerovnosti.

71
00:05:32,140 --> 00:05:34,530
Když obě strany vydělíme minus 5,

72
00:05:34,530 --> 00:05:40,380
dostaneme minus 14 děleno (minus 5) nalevo
a napravo zbyde jen x.

73
00:05:40,380 --> 00:05:42,210
Protože minus 5x děleno (minus 5)
je x.

74
00:05:42,210 --> 00:05:47,430
A nerovnítko se nám
obrátí na druhou stranu.

75
00:05:47,430 --> 00:05:54,030
Minusy se nám pokrátí, výsledkem je tedy
14 lomeno 5 je větší než x.

76
00:05:54,030 --> 00:05:57,010
Můžeme to přepsat na x je menší než
14 lomeno 5.

77
00:05:57,010 --> 00:06:01,380
Kolik to vlastně je?
Je to 2 a 4 pětiny.

78
00:06:01,380 --> 00:06:04,320
X je menší než 2 a 4 pětiny.

79
00:06:04,320 --> 00:06:08,090
Přepsal jsem zlomek na smíšené číslo.

80
00:06:08,090 --> 00:06:12,620
Pojďme se pustit
do druhé, fialové, nerovnice.

81
00:06:12,630 --> 00:06:16,800
Stejně jako minule, odečtěme 2
od obou stran nerovnice.

82
00:06:16,800 --> 00:06:20,800
Pokud chcete, můžete nerovnice řešit
zároveň, ale pak je to trochu zmatek.

83
00:06:20,800 --> 00:06:24,650
Doporučuji řešit každou zvlášť,
abyste zbytečně nechybovali.

84
00:06:24,650 --> 00:06:30,660
Když tedy odečteme dvojku od obou stran
nerovnice, nalevo zůstane jen minus 5x.

85
00:06:30,680 --> 00:06:37,630
Pak tam máme menší nebo rovno
7 minus 2, což je 5.

86
00:06:37,630 --> 00:06:40,780
Obě strany nerovnice vydělíme minus 5.

87
00:06:40,780 --> 00:06:47,610
Nalevo nám zbyde x, napravo vypočítáme
5 děleno (minus 5), což je minus 1.

88
00:06:47,610 --> 00:06:51,410
Zase dělíme záporným číslem, proto zase
otáčíme znaménko nerovnosti.

89
00:06:51,410 --> 00:06:54,610
Teď to bude větší nebo rovno.

90
00:06:54,610 --> 00:06:56,820
Dostali jsme dvě podmínky.

91
00:06:56,820 --> 00:07:03,720
X je menší než 2 a 4 pětiny, a zároveň
je větší nebo rovno minus 1.

92
00:07:03,720 --> 00:07:05,600
Můžem to napsat do intervalu.

93
00:07:05,600 --> 00:07:12,420
X musí být větší nebo rovno minus 1, čímž
máme vytvořenou spodní hranici intervalu.

94
00:07:12,420 --> 00:07:20,760
A také to musí být menší
než 2 a 4 pětiny.

95
00:07:20,760 --> 00:07:26,100
Povšimněte si, že tady je kulatá závorka,
to je proto, že je tu pouze menší než.

96
00:07:26,100 --> 00:07:29,580
To jsem vám chtěl ukázat, co se změní,
pokud tam chybí to rovnítko.

97
00:07:29,580 --> 00:07:31,502
Nebo to můžeme napsat i takto:

98
00:07:31,502 --> 00:07:39,210
x je menší než 2 a 4 pětiny, což
je to samé jako toto, s otočením stran.

99
00:07:39,210 --> 00:07:44,670
A to musí ještě být větší nebo rovno minus 1.

100
00:07:44,670 --> 00:07:47,210
Tyto dva zápisy vyjadřují totéž.

101
00:07:47,210 --> 00:07:52,040
Ještě to znázorním i na číselné ose.

102
00:07:52,040 --> 00:07:53,490
Bude to vypadat nějak takto.

103
00:07:53,490 --> 00:08:00,330
Tady vyznačím minus 1, tady 2 a 4 pětiny.

104
00:08:00,330 --> 00:08:02,100
Víme, že to, co chceme, je uprostřed.

105
00:08:02,100 --> 00:08:03,580
Tady můžu vyznačit 0.

106
00:08:03,580 --> 00:08:06,640
Musíme mít číslo větší nebo rovno minus 1.

107
00:08:06,640 --> 00:08:10,130
Může to být i minus 1, anebo čísla větší.

108
00:08:10,130 --> 00:08:12,620
Ale zároveň to číslo musí
být větší než 2 a 4 pětiny.

109
00:08:12,620 --> 00:08:14,780
Samotné číslo 2 a 4 pětiny
zahrnout nemůžeme.

110
00:08:14,780 --> 00:08:17,230
X se totiž nemůže rovnat 2 a 4 pětinám.

111
00:08:17,230 --> 00:08:22,590
Ale může být menší než tato hodnota.

112
00:08:22,590 --> 00:08:25,770
Začneme tedy na 2 a 4 pětiny a vezmeme
všechna čísla až do minus 1.

113
00:08:25,770 --> 00:08:29,120
Minus 1 zahrneme, protože u něj máme
znaménko menší nebo rovno.

114
00:08:29,120 --> 00:08:31,460
V těchto dvou příkladech jsme si ukázali,
jak vyřešit průnik dvou nerovnic.

115
00:08:31,460 --> 00:08:34,460
Tedy případ, kdy musí být
obě nerovnice zároveň splněny.

116
00:08:34,460 --> 00:08:38,815
Teď si ukážeme druhý případ,
sjednocení.

117
00:08:38,815 --> 00:08:42,620
Budeme řešit například tyto nerovnice.

118
00:08:42,620 --> 00:08:53,070
4x minus 1 je větší nebo rovno 7

119
00:08:53,070 --> 00:09:00,290
nebo 9x lomeno 2 je menší než 3.

120
00:09:00,290 --> 00:09:06,380
Hledané x musí splňovat
jednu nebo druhou nerovnici.

121
00:09:06,400 --> 00:09:11,790
V předchozích příkladech bylo zadání jiné,
museli být splněny obě nerovnice.

122
00:09:11,790 --> 00:09:16,780
Tady je to mnohem mírnější,
stačí aby byla splněna jedna podmínka.

123
00:09:16,780 --> 00:09:21,680
Pojďme si zase vyřešit každou zvlášť
a potom uděláme sjednocení řešení.

124
00:09:21,680 --> 00:09:25,110
Vlastně zkombinujeme x, která
splňují jednu, či druhou nerovnici.

125
00:09:25,110 --> 00:09:31,440
V první nerovnici můžeme přičíst 1
k oběma stranám.

126
00:09:31,440 --> 00:09:39,860
Nalevo nám zbydou jen 4x, a to je větší
než 7 plus 1, což je 8.

127
00:09:39,860 --> 00:09:42,120
Teď vydělím obě strany čtyřkou.

128
00:09:42,120 --> 00:09:46,120
Dostaneme x je větší nebo rovno 2.

129
00:09:46,120 --> 00:09:48,790
Nebo, a teď se pustíme do druhé nerovnice.

130
00:09:48,790 --> 00:09:53,090
Co dostanu, když celou nerovnici vynásobím
dvěma devítinami?

131
00:09:53,090 --> 00:09:55,350
Celou rovnici vynásobím 2 devítinami.

132
00:09:55,350 --> 00:09:58,570
Je to zlomek, ale je kladný,
takže znaménko se otáčet nebude.

133
00:09:58,570 --> 00:10:06,760
Toto se vykrátí, zbyde nám tam x
je menší než 3 krát 2 lomeno 9.

134
00:10:06,760 --> 00:10:09,840
3 lomeno 9 můžeme
zkrátit třemi na 1 lomeno 3.

135
00:10:09,840 --> 00:10:12,460
Výsledek je x je menší než 2 lomeno 3.

136
00:10:12,460 --> 00:10:17,280
Píšu: Nebo x je menší než 2 třetiny.

137
00:10:17,280 --> 00:10:18,840
Toto jsou dvě řešení.

138
00:10:18,840 --> 00:10:23,240
x musí být větší nebo rovno 2
nebo x je menší než 2 třetiny.

139
00:10:23,240 --> 00:10:31,240
Je to celkem zajímavé, pojďme si
to znázornit na číselné ose.

140
00:10:31,240 --> 00:10:33,380
Nakreslím číselnou osu.

141
00:10:33,380 --> 00:10:41,630
Tady bude 0, tady 1, tady 2 a 3.

142
00:10:41,630 --> 00:10:42,940
Tady bude minus 1.

143
00:10:42,940 --> 00:10:46,910
Pro x je větší nebo rovno 2...

144
00:10:46,910 --> 00:10:49,960
...vezmu si na to jinou barvu...

145
00:10:49,960 --> 00:10:54,100
...začneme ve dvojce a má to být větší
nebo rovno,

146
00:10:54,100 --> 00:10:58,690
zahrneme proto všechna čísla nad
dvojkou a dvojku též.

147
00:10:58,690 --> 00:11:01,530
Tím jsme znázornili tuto podmínku.

148
00:11:01,530 --> 00:11:06,580
X může být také menší než 2 třetiny.

149
00:11:06,580 --> 00:11:11,120
2 třetiny jsou někde tady, mám pravdu?

150
00:11:11,120 --> 00:11:13,680
Takže 2 třetiny.

151
00:11:13,680 --> 00:11:16,850
A x je menší než toto číslo.

152
00:11:16,850 --> 00:11:21,140
Je zajímavé, že pokud vyberu některé
z těchto čísel,

153
00:11:21,140 --> 00:11:22,960
bude to vyhovovat této podmínce.

154
00:11:22,960 --> 00:11:26,050
A pokud vyberu jedno z těchto čísel,
splní to tu druhou podmínku.

155
00:11:26,050 --> 00:11:29,260
Pokud by tam bylo "a zároveň",
průnik by byl prázdná množina.

156
00:11:29,260 --> 00:11:34,640
Protože nemůžete být zároveň větší než
2 a menší než 2 třetiny.

157
00:11:34,640 --> 00:11:38,020
Ale my tam máme "nebo", proto
tato soustava řešení má.

158
00:11:38,020 --> 00:11:41,920
Stačí nám, že je splněna jedna
z obou nerovnic.

159
00:11:41,920 --> 00:11:44,840
Doufám, že vás to bavilo.