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Linear Algebra: Example solving for the eigenvalues of a 2x2 matrix

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    上次影片我們我們能夠
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    說明任意的λ
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    滿足這個等式對於非零向量 v
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    那麽行列式λ乘以
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    單位方陣減A 必須等於0
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    或者我們可以把這個重新寫成比如λ是
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    A的一個特征值若且唯若
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    我把它寫成如果
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    行列式λ乘以
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    單位方陣減去A
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    等於0
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    現在 我們來看看是否我們可以利用這個
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    以任意一種具體的方式去解出特征值
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    我們先來做簡單的2×2的 我們做一個R2的
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    比方說A等於矩陣[1,2；3,4]
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    我想計算A的特征值
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    所以如果λ是A的一個特征值
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    那麽這個告訴我們
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    λ乘以單位方陣的行列式
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    它是R2中的單位方陣
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    λ乘以[1,0；0,1] 減去A [1,2；4,3]
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    等於0
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    那這等於什麽？
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    這個是行列式
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    λ乘以這個就是
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    λ乘以所有這些項
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    它是λ乘以1是λ λ乘以0是0
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    λ乘以0是0 λ乘以1是λ
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    這我們減去A
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    你就得到[1,2；4,3] 這個必須等於0
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    然後這個矩陣 或者矩陣的這個差值
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    這個保持行列式不變
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    這是行列式
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    第一項是λ-1
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    第二項是0-2 就是-2
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    第三項是0-4 就是-4
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    第四項是λ-3
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    就像這樣
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    有點缺陷就是看不清發生了什麽
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    沿著對角線的項
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    所有的都變成負數 對吧？
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    我們對整體取負
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    然後沿著對角線的項
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    我們在前面有個λ
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    它在本質上是
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    這個表達式的副産品
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    那麽這個2×2矩陣的行列式是多少
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    這個行列式就是這個乘以那個
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    減去這個乘以那個
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    所以它是λ-1 乘以λ-3
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    減去那兩項乘在一起
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    所以減去-2乘以-4是+8 減去8
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    這是這個矩陣的行列式
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    或者這個矩陣的行列式
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    是被簡化成這樣的
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    這個必須等於0
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    爲什麽必須等於0的全部的原因就是
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    因爲我們見過更簡單點的
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    這個矩陣有一個非平凡的零核空間
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    因爲它有一個非平凡的零核空間
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    它就不可能可逆
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    它的行列式必須等於0
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    現在我們有
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    一個很有意思的多項式方程等式
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    我們可以把它乘出來
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    我們得到什麽？
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    我們把它乘出來
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    我們得到λ2-3λ
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    -λ+3-8等於0
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    或者λ2-4λ
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    減去 等於0
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    如果你想知道一些術語
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    這個表達式被稱作
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    特征多項式
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    就是一個術語 多項式
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    但是如果我們想計算A的特征值
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    我們就不得不解這個
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    這就是一個基本的二次方程問題
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    這個實際上是可分解因子的 我們看
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    兩個數 你計算乘積是-5
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    你加上它們就得到-4
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    它是減5和加1 所以你得到λ-5
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    乘以λ+1 等於0 對吧？
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    -5乘以1是-5 然後-5λ
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    加1λ等於-4λ
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    這個特征方程的兩個解
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    我們的特征多項式被設成0
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    就是λ=5 或者λ=-1
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    就像這樣
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    利用我們應經證明過的內容
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    在上次影片中
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    我們就能計算出
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    A的兩個特征值就是λ=5
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    和λ=-1
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    現在我們解決了問題的一部分 對吧？
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    我們知道我們在尋找特征值和特征向量
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    對吧？
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    我們知道這個等式可以被滿足
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    當λ=5或-1時
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    所以我們知道這個特征值
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    但是我們還沒有確定特征向量
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    那就是我們下次影片將要做的
Title:
Linear Algebra: Example solving for the eigenvalues of a 2x2 matrix
Description:

Example solving for the eigenvalues of a 2x2 matrix
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Video Language:
English
Duration:
05:39
David Chiu added a translation

Chinese, Traditional subtitles

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