上次影片我們我們能夠
說明任意的λ
滿足這個等式對於非零向量 v
那麽行列式λ乘以
單位方陣減A 必須等於0
或者我們可以把這個重新寫成比如λ是
A的一個特征值若且唯若
我把它寫成如果
行列式λ乘以
單位方陣減去A
等於0
現在 我們來看看是否我們可以利用這個
以任意一種具體的方式去解出特征值
我們先來做簡單的2×2的 我們做一個R2的
比方說A等於矩陣[1,2；3,4]
我想計算A的特征值
所以如果λ是A的一個特征值
那麽這個告訴我們
λ乘以單位方陣的行列式
它是R2中的單位方陣
λ乘以[1,0；0,1] 減去A [1,2；4,3]
等於0
那這等於什麽？
這個是行列式
λ乘以這個就是
λ乘以所有這些項
它是λ乘以1是λ λ乘以0是0
λ乘以0是0 λ乘以1是λ
這我們減去A
你就得到[1,2；4,3] 這個必須等於0
然後這個矩陣 或者矩陣的這個差值
這個保持行列式不變
這是行列式
第一項是λ-1
第二項是0-2 就是-2
第三項是0-4 就是-4
第四項是λ-3
就像這樣
有點缺陷就是看不清發生了什麽
沿著對角線的項
所有的都變成負數 對吧？
我們對整體取負
然後沿著對角線的項
我們在前面有個λ
它在本質上是
這個表達式的副産品
那麽這個2×2矩陣的行列式是多少
這個行列式就是這個乘以那個
減去這個乘以那個
所以它是λ-1 乘以λ-3
減去那兩項乘在一起
所以減去-2乘以-4是+8 減去8
這是這個矩陣的行列式
或者這個矩陣的行列式
是被簡化成這樣的
這個必須等於0
爲什麽必須等於0的全部的原因就是
因爲我們見過更簡單點的
這個矩陣有一個非平凡的零核空間
因爲它有一個非平凡的零核空間
它就不可能可逆
它的行列式必須等於0
現在我們有
一個很有意思的多項式方程等式
我們可以把它乘出來
我們得到什麽？
我們把它乘出來
我們得到λ2-3λ
-λ+3-8等於0
或者λ2-4λ
減去 等於0
如果你想知道一些術語
這個表達式被稱作
特征多項式
就是一個術語 多項式
但是如果我們想計算A的特征值
我們就不得不解這個
這就是一個基本的二次方程問題
這個實際上是可分解因子的 我們看
兩個數 你計算乘積是-5
你加上它們就得到-4
它是減5和加1 所以你得到λ-5
乘以λ+1 等於0 對吧？
-5乘以1是-5 然後-5λ
加1λ等於-4λ
這個特征方程的兩個解
我們的特征多項式被設成0
就是λ=5 或者λ=-1
就像這樣
利用我們應經證明過的內容
在上次影片中
我們就能計算出
A的兩個特征值就是λ=5
和λ=-1
現在我們解決了問題的一部分 對吧？
我們知道我們在尋找特征值和特征向量
對吧？
我們知道這個等式可以被滿足
當λ=5或-1時
所以我們知道這個特征值
但是我們還沒有確定特征向量
那就是我們下次影片將要做的