1
00:00:00,000 --> 00:00:02,190
上次影片我們我們能夠

2
00:00:02,200 --> 00:00:03,960
說明任意的λ

3
00:00:03,960 --> 00:00:08,610
滿足這個等式對於非零向量 v

4
00:00:08,610 --> 00:00:12,010
那麽行列式λ乘以

5
00:00:12,030 --> 00:00:15,620
單位方陣減A 必須等於0

6
00:00:15,630 --> 00:00:23,080
或者我們可以把這個重新寫成比如λ是

7
00:00:23,100 --> 00:00:28,350
A的一個特征值若且唯若

8
00:00:28,370 --> 00:00:29,810
我把它寫成如果

9
00:00:29,830 --> 00:00:34,710
行列式λ乘以

10
00:00:34,730 --> 00:00:36,570
單位方陣減去A

11
00:00:36,580 --> 00:00:39,520
等於0

12
00:00:39,550 --> 00:00:41,680
現在 我們來看看是否我們可以利用這個

13
00:00:41,710 --> 00:00:44,960
以任意一種具體的方式去解出特征值

14
00:00:44,980 --> 00:00:48,580
我們先來做簡單的2×2的 我們做一個R2的

15
00:00:48,590 --> 00:00:57,870
比方說A等於矩陣[1,2；3,4]

16
00:00:57,900 --> 00:01:01,510
我想計算A的特征值

17
00:01:01,520 --> 00:01:10,570
所以如果λ是A的一個特征值

18
00:01:10,580 --> 00:01:12,480
那麽這個告訴我們

19
00:01:12,490 --> 00:01:16,920
λ乘以單位方陣的行列式

20
00:01:16,940 --> 00:01:19,830
它是R2中的單位方陣

21
00:01:19,850 --> 00:01:27,900
λ乘以[1,0；0,1] 減去A [1,2；4,3]

22
00:01:27,910 --> 00:01:30,150
等於0

23
00:01:30,160 --> 00:01:31,740
那這等於什麽？

24
00:01:31,750 --> 00:01:34,290
這個是行列式

25
00:01:34,300 --> 00:01:38,040
λ乘以這個就是

26
00:01:38,060 --> 00:01:40,290
λ乘以所有這些項

27
00:01:40,310 --> 00:01:43,470
它是λ乘以1是λ λ乘以0是0

28
00:01:43,480 --> 00:01:47,000
λ乘以0是0 λ乘以1是λ

29
00:01:47,010 --> 00:01:49,290
這我們減去A

30
00:01:49,300 --> 00:01:55,780
你就得到[1,2；4,3] 這個必須等於0

31
00:01:55,790 --> 00:01:58,790
然後這個矩陣 或者矩陣的這個差值

32
00:01:58,810 --> 00:02:00,820
這個保持行列式不變

33
00:02:00,840 --> 00:02:02,320
這是行列式

34
00:02:02,330 --> 00:02:05,430
第一項是λ-1

35
00:02:05,450 --> 00:02:11,140
第二項是0-2 就是-2

36
00:02:11,150 --> 00:02:15,220
第三項是0-4 就是-4

37
00:02:15,240 --> 00:02:18,870
第四項是λ-3

38
00:02:18,880 --> 00:02:22,820
就像這樣

39
00:02:22,840 --> 00:02:25,490
有點缺陷就是看不清發生了什麽

40
00:02:25,500 --> 00:02:27,710
沿著對角線的項

41
00:02:27,720 --> 00:02:30,720
所有的都變成負數 對吧？

42
00:02:30,730 --> 00:02:32,010
我們對整體取負

43
00:02:32,010 --> 00:02:33,490
然後沿著對角線的項

44
00:02:33,500 --> 00:02:34,700
我們在前面有個λ

45
00:02:34,710 --> 00:02:36,070
它在本質上是

46
00:02:36,090 --> 00:02:38,770
這個表達式的副産品

47
00:02:38,790 --> 00:02:41,320
那麽這個2×2矩陣的行列式是多少

48
00:02:41,340 --> 00:02:45,510
這個行列式就是這個乘以那個

49
00:02:45,520 --> 00:02:47,480
減去這個乘以那個

50
00:02:47,500 --> 00:02:54,120
所以它是λ-1 乘以λ-3

51
00:02:54,140 --> 00:03:00,410
減去那兩項乘在一起

52
00:03:00,420 --> 00:03:04,360
所以減去-2乘以-4是+8 減去8

53
00:03:04,370 --> 00:03:08,030
這是這個矩陣的行列式

54
00:03:08,040 --> 00:03:09,350
或者這個矩陣的行列式

55
00:03:09,370 --> 00:03:12,520
是被簡化成這樣的

56
00:03:12,530 --> 00:03:17,590
這個必須等於0

57
00:03:17,610 --> 00:03:19,970
爲什麽必須等於0的全部的原因就是

58
00:03:19,980 --> 00:03:21,660
因爲我們見過更簡單點的

59
00:03:21,670 --> 00:03:24,820
這個矩陣有一個非平凡的零核空間

60
00:03:24,830 --> 00:03:27,540
因爲它有一個非平凡的零核空間

61
00:03:27,560 --> 00:03:29,380
它就不可能可逆

62
00:03:29,390 --> 00:03:31,000
它的行列式必須等於0

63
00:03:31,020 --> 00:03:32,440
現在我們有

64
00:03:32,450 --> 00:03:34,200
一個很有意思的多項式方程等式

65
00:03:34,210 --> 00:03:35,520
我們可以把它乘出來

66
00:03:35,530 --> 00:03:37,260
我們得到什麽？

67
00:03:37,270 --> 00:03:38,390
我們把它乘出來

68
00:03:38,400 --> 00:03:43,200
我們得到λ2-3λ

69
00:03:43,210 --> 00:03:50,490
-λ+3-8等於0

70
00:03:50,500 --> 00:03:57,120
或者λ2-4λ

71
00:03:57,120 --> 00:04:04,220
減去 等於0

72
00:04:04,220 --> 00:04:10,900
如果你想知道一些術語

73
00:04:10,920 --> 00:04:12,770
這個表達式被稱作

74
00:04:12,780 --> 00:04:14,260
特征多項式

75
00:04:14,280 --> 00:04:21,030
就是一個術語 多項式

76
00:04:21,050 --> 00:04:24,650
但是如果我們想計算A的特征值

77
00:04:24,660 --> 00:04:26,330
我們就不得不解這個

78
00:04:26,350 --> 00:04:28,220
這就是一個基本的二次方程問題

79
00:04:28,230 --> 00:04:30,850
這個實際上是可分解因子的 我們看

80
00:04:30,870 --> 00:04:32,310
兩個數 你計算乘積是-5

81
00:04:32,330 --> 00:04:34,420
你加上它們就得到-4

82
00:04:34,430 --> 00:04:36,610
它是減5和加1 所以你得到λ-5

83
00:04:36,620 --> 00:04:42,870
乘以λ+1 等於0 對吧？

84
00:04:42,890 --> 00:04:47,440
-5乘以1是-5 然後-5λ

85
00:04:47,460 --> 00:04:50,590
加1λ等於-4λ

86
00:04:50,600 --> 00:04:52,810
這個特征方程的兩個解

87
00:04:52,830 --> 00:04:55,400
我們的特征多項式被設成0

88
00:04:55,420 --> 00:05:01,700
就是λ=5 或者λ=-1

89
00:05:01,730 --> 00:05:03,460
就像這樣

90
00:05:03,480 --> 00:05:05,950
利用我們應經證明過的內容

91
00:05:05,970 --> 00:05:07,160
在上次影片中

92
00:05:07,180 --> 00:05:08,370
我們就能計算出

93
00:05:08,380 --> 00:05:13,300
A的兩個特征值就是λ=5

94
00:05:13,330 --> 00:05:17,110
和λ=-1

95
00:05:17,120 --> 00:05:19,590
現在我們解決了問題的一部分 對吧？

96
00:05:19,600 --> 00:05:23,580
我們知道我們在尋找特征值和特征向量

97
00:05:23,590 --> 00:05:25,150
對吧？

98
00:05:25,160 --> 00:05:27,760
我們知道這個等式可以被滿足

99
00:05:27,790 --> 00:05:30,350
當λ=5或-1時

100
00:05:30,360 --> 00:05:32,090
所以我們知道這個特征值

101
00:05:32,100 --> 00:05:35,680
但是我們還沒有確定特征向量

102
00:05:35,700 --> 00:05:38,580
那就是我們下次影片將要做的