WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:02.190
上次影片我們我們能夠

00:00:02.200 --> 00:00:03.960
說明任意的λ

00:00:03.960 --> 00:00:08.610
滿足這個等式對於非零向量 v

00:00:08.610 --> 00:00:12.010
那麽行列式λ乘以

00:00:12.030 --> 00:00:15.620
單位方陣減A 必須等於0

00:00:15.630 --> 00:00:23.080
或者我們可以把這個重新寫成比如λ是

00:00:23.100 --> 00:00:28.350
A的一個特征值若且唯若

00:00:28.370 --> 00:00:29.810
我把它寫成如果

00:00:29.830 --> 00:00:34.710
行列式λ乘以

00:00:34.730 --> 00:00:36.570
單位方陣減去A

00:00:36.580 --> 00:00:39.520
等於0

00:00:39.550 --> 00:00:41.680
現在 我們來看看是否我們可以利用這個

00:00:41.710 --> 00:00:44.960
以任意一種具體的方式去解出特征值

00:00:44.980 --> 00:00:48.580
我們先來做簡單的2×2的 我們做一個R2的

00:00:48.590 --> 00:00:57.870
比方說A等於矩陣[1,2；3,4]

00:00:57.900 --> 00:01:01.510
我想計算A的特征值

00:01:01.520 --> 00:01:10.570
所以如果λ是A的一個特征值

00:01:10.580 --> 00:01:12.480
那麽這個告訴我們

00:01:12.490 --> 00:01:16.920
λ乘以單位方陣的行列式

00:01:16.940 --> 00:01:19.830
它是R2中的單位方陣

00:01:19.850 --> 00:01:27.900
λ乘以[1,0；0,1] 減去A [1,2；4,3]

00:01:27.910 --> 00:01:30.150
等於0

00:01:30.160 --> 00:01:31.740
那這等於什麽？

00:01:31.750 --> 00:01:34.290
這個是行列式

00:01:34.300 --> 00:01:38.040
λ乘以這個就是

00:01:38.060 --> 00:01:40.290
λ乘以所有這些項

00:01:40.310 --> 00:01:43.470
它是λ乘以1是λ λ乘以0是0

00:01:43.480 --> 00:01:47.000
λ乘以0是0 λ乘以1是λ

00:01:47.010 --> 00:01:49.290
這我們減去A

00:01:49.300 --> 00:01:55.780
你就得到[1,2；4,3] 這個必須等於0

00:01:55.790 --> 00:01:58.790
然後這個矩陣 或者矩陣的這個差值

00:01:58.810 --> 00:02:00.820
這個保持行列式不變

00:02:00.840 --> 00:02:02.320
這是行列式

00:02:02.330 --> 00:02:05.430
第一項是λ-1

00:02:05.450 --> 00:02:11.140
第二項是0-2 就是-2

00:02:11.150 --> 00:02:15.220
第三項是0-4 就是-4

00:02:15.240 --> 00:02:18.870
第四項是λ-3

00:02:18.880 --> 00:02:22.820
就像這樣

00:02:22.840 --> 00:02:25.490
有點缺陷就是看不清發生了什麽

00:02:25.500 --> 00:02:27.710
沿著對角線的項

00:02:27.720 --> 00:02:30.720
所有的都變成負數 對吧？

00:02:30.730 --> 00:02:32.010
我們對整體取負

00:02:32.010 --> 00:02:33.490
然後沿著對角線的項

00:02:33.500 --> 00:02:34.700
我們在前面有個λ

00:02:34.710 --> 00:02:36.070
它在本質上是

00:02:36.090 --> 00:02:38.770
這個表達式的副産品

00:02:38.790 --> 00:02:41.320
那麽這個2×2矩陣的行列式是多少

00:02:41.340 --> 00:02:45.510
這個行列式就是這個乘以那個

00:02:45.520 --> 00:02:47.480
減去這個乘以那個

00:02:47.500 --> 00:02:54.120
所以它是λ-1 乘以λ-3

00:02:54.140 --> 00:03:00.410
減去那兩項乘在一起

00:03:00.420 --> 00:03:04.360
所以減去-2乘以-4是+8 減去8

00:03:04.370 --> 00:03:08.030
這是這個矩陣的行列式

00:03:08.040 --> 00:03:09.350
或者這個矩陣的行列式

00:03:09.370 --> 00:03:12.520
是被簡化成這樣的

00:03:12.530 --> 00:03:17.590
這個必須等於0

00:03:17.610 --> 00:03:19.970
爲什麽必須等於0的全部的原因就是

00:03:19.980 --> 00:03:21.660
因爲我們見過更簡單點的

00:03:21.670 --> 00:03:24.820
這個矩陣有一個非平凡的零核空間

00:03:24.830 --> 00:03:27.540
因爲它有一個非平凡的零核空間

00:03:27.560 --> 00:03:29.380
它就不可能可逆

00:03:29.390 --> 00:03:31.000
它的行列式必須等於0

00:03:31.020 --> 00:03:32.440
現在我們有

00:03:32.450 --> 00:03:34.200
一個很有意思的多項式方程等式

00:03:34.210 --> 00:03:35.520
我們可以把它乘出來

00:03:35.530 --> 00:03:37.260
我們得到什麽？

00:03:37.270 --> 00:03:38.390
我們把它乘出來

00:03:38.400 --> 00:03:43.200
我們得到λ2-3λ

00:03:43.210 --> 00:03:50.490
-λ+3-8等於0

00:03:50.500 --> 00:03:57.120
或者λ2-4λ

00:03:57.120 --> 00:04:04.220
減去 等於0

00:04:04.220 --> 00:04:10.900
如果你想知道一些術語

00:04:10.920 --> 00:04:12.770
這個表達式被稱作

00:04:12.780 --> 00:04:14.260
特征多項式

00:04:14.280 --> 00:04:21.030
就是一個術語 多項式

00:04:21.050 --> 00:04:24.650
但是如果我們想計算A的特征值

00:04:24.660 --> 00:04:26.330
我們就不得不解這個

00:04:26.350 --> 00:04:28.220
這就是一個基本的二次方程問題

00:04:28.230 --> 00:04:30.850
這個實際上是可分解因子的 我們看

00:04:30.870 --> 00:04:32.310
兩個數 你計算乘積是-5

00:04:32.330 --> 00:04:34.420
你加上它們就得到-4

00:04:34.430 --> 00:04:36.610
它是減5和加1 所以你得到λ-5

00:04:36.620 --> 00:04:42.870
乘以λ+1 等於0 對吧？

00:04:42.890 --> 00:04:47.440
-5乘以1是-5 然後-5λ

00:04:47.460 --> 00:04:50.590
加1λ等於-4λ

00:04:50.600 --> 00:04:52.810
這個特征方程的兩個解

00:04:52.830 --> 00:04:55.400
我們的特征多項式被設成0

00:04:55.420 --> 00:05:01.700
就是λ=5 或者λ=-1

00:05:01.730 --> 00:05:03.460
就像這樣

00:05:03.480 --> 00:05:05.950
利用我們應經證明過的內容

00:05:05.970 --> 00:05:07.160
在上次影片中

00:05:07.180 --> 00:05:08.370
我們就能計算出

00:05:08.380 --> 00:05:13.300
A的兩個特征值就是λ=5

00:05:13.330 --> 00:05:17.110
和λ=-1

00:05:17.120 --> 00:05:19.590
現在我們解決了問題的一部分 對吧？

00:05:19.600 --> 00:05:23.580
我們知道我們在尋找特征值和特征向量

00:05:23.590 --> 00:05:25.150
對吧？

00:05:25.160 --> 00:05:27.760
我們知道這個等式可以被滿足

00:05:27.790 --> 00:05:30.350
當λ=5或-1時

00:05:30.360 --> 00:05:32.090
所以我們知道這個特征值

00:05:32.100 --> 00:05:35.680
但是我們還沒有確定特征向量

00:05:35.700 --> 00:05:38.580
那就是我們下次影片將要做的