-
Robert měl za
úkol zjistit,
-
jaké inflexní body má funkce g(x),
která se rovná třetí odmocnině z ‚x‘.
-
Toto je
jeho řešení.
-
Dole se nás
pak ptají:
-
„Postupoval Robert správně?
-
Pokud ne, v čem udělal chybu?“
-
Zastavte si video a zkuste
to nejprve vyřešit sami.
-
Teď se na to
podívejme společně.
-
Naše původní funkce g(x) se
rovná třetí odmocnině z ‚x‘,
-
což je totéž jako
x na (1 lomeno 3).
-
Vypadá to, že v kroku 1 chtěl
Robert spočítat první a druhou derivaci.
-
První derivace je derivace mocniny,
takže vyjde (1 lomeno 3) krát x na...
-
Exponent zmenšíme o 1,
takže tohle vypadá dobře.
-
Druhou derivaci zjistíme tak,
že tohle vynásobíme (1 lomeno 3),
-
což se rovná
minus (2 lomeno 9),
-
a minus (2 lomeno 3) zmenšíme o 1,
což nám skutečně dá minus (5 lomeno 3),
-
takže tohle taky
vypadá dobře.
-
Nakonec se to
Robert pokusil přepsat.
-
Pořád tu máme
minus (2 lomeno 9)
-
a potom Robert
správně poznal,
-
že je to totéž jako mít
x na (5 lomeno 3) ve jmenovateli
-
a že x na (5 lomeno 3) je to samé co
třetí odmocnina z (x na pátou).
-
Zatím to všechno
vypadá dobře.
-
Krok 1 je správně.
-
V kroku 2 to vypadá, že
se Robert snažil najít řešení...
-
Snažil se najít ta čísla ‚x‘, pro
která je druhá derivace rovna 0.
-
Je skutečně pravda, že
tato rovnice nemá řešení,
-
tedy že tato druhá derivace
nebude nikdy rovna 0.
-
Aby to bylo rovno 0,
čitatel by musel být rovný 0,
-
ale 2 se nikdy
nebude rovnat 0,
-
takže tohle
je správně.
-
V kroku 3 Robert říká, že funkce
g nemá žádné inflexní body.
-
Tohle je trochu
podezřelé.
-
V mnoha případech je inflexní bod ten bod,
ve kterém je druhá derivace rovna 0,
-
i když v té chvíli ještě nevíme, že je to
inflexní bod, je to jen bod podezřelý,
-
u kterého musíme ověřit, že druhá derivace
mění znaménko při průchodu tímto bodem x.
-
Zde nenastává situace, že by
se druhá derivace rovnala 0,
-
ale nesmíme zapomenout, že dalšími
kandidáty na inflexní bod jsou body,
-
pro které druhá derivace
není definovaná.
-
Robert tak tento závěr
nemůže učinit bez toho,
-
aby se podíval, kde není
druhá derivace definovaná.
-
Například mohl napsat,
-
že g se dvěma čárkami
není definovaná pro...
-
Pro které body?
-
Tento výraz není
definovaný pro x rovno 0.
-
0 na 5 je 0 a třetí
odmocnina z toho je zase 0,
-
takže bychom
dělili nulou.
-
g se dvěma čárkami tedy
není definovaná pro x rovno 0.
-
Z toho důvodu je
bod x rovno...
-
Můžeme říci, že kandidátem na
inflexní bod je bod x rovná se 0.
-
Tento bod teď
musíme vyzkoušet.
-
Můžeme si udělat takovou tradiční tabulku,
kterou jste možná už někdy dřív viděli.
-
V tabulce bude interval,
nebo spíše intervaly,
-
dále dosazované hodnoty
z těchto intervalů,
-
u kterých musíme být pozorní, aby
opravdu ležely v daném intervalu,
-
pak znaménko druhé derivace,
tedy g se dvěma čárkami,
-
a nakonec sloupeček pro
konvexitu funkce g.
-
Aby byl bod x rovno 0
inflexním bodem,
-
musíme změnit
znaménko při...
-
Druhá derivace musí změnit znaménko
při průchodu bodem x rovno 0,
-
což by znamenalo, že konvexita funkce g
se mění při průchodu bodem x rovno 0.
-
Podívejme se tedy na čísla menší než 0,
což je interval od minus nekonečna do 0,
-
a pak na čísla větší než 0,
tedy interval od 0 do nekonečna.
-
Dosazovanými hodnotami
budou řekněme −1 a 1.
-
U těchto hodnot
si musíte dát pozor.
-
Musíte vybrat něco
dostatečně blízko tak,
-
aby mezi těmito dosazovanými
hodnotami nedošlo k ničemu neobvyklému,
-
dokud se nedostaneme k danému
kandidátovi na inflexní bod.
-
Jaké je znaménko druhé
derivace, když je x rovno −1?
-
Když je x rovno −1...
-
(−1) na pátou je −1,
-
třetí odmocnina z −1 je −1,
-
takže budeme mít minus
(2 lomeno 9) děleno −1,
-
což bude
plus (2 lomeno 9).
-
Znaménko tak bude
v tomto případě kladné.
-
Tohle platí obecně pro
libovolné záporné číslo,
-
protože libovolné záporné číslo
na pátou je zase záporné číslo,
-
třetí odmocnina z tohohle
bude taky záporné číslo
-
a záporné číslo dělené záporným
číslem bude nějaké kladné číslo.
-
Vypadá to tedy, že tato dosazovaná hodnota
dobře odráží chování na celém intervalu.
-
Když dosadíme
nějaké kladné číslo,
-
tak po umocnění na pátou
to bude stále kladné,
-
třetí odmocnina z toho
bude taky kladné číslo,
-
ale minus (2 lomeno 9) pak
budeme dělit kladným číslem,
-
takže to
bude záporné.
-
Konvexita funkce g se tedy skutečně
mění při průchodu bodem x rovno 0.
-
Pro x menší než 0
je funkce konvexní,
-
protože druhá
derivace je kladná,
-
a pro x větší než 0
je funkce konkávní.
-
Napíšu to trochu...
-
Konkávní, a to pro
x větší než 0.
-
Při průchodu bodem x rovno 0
tedy došlo ke změně konvexity,
-
což znamená, že x...
-
Měníme znaménko...
-
g se dvěma čárkami mění znaménko
při průchodu bodem x rovno 0
-
a naše funkce je v bodě
x rovno 0 definovaná,
-
z čehož plyne, že bod
x rovno 0 je inflexní bod.
-
Pokud víte, jak vypadá
graf třetí odmocniny,
-
tak byste viděli, že funkce má
v tomto místě skutečně inflexní bod.
-
A máme to.
-
Robert udělal chybu v kroku 3,
protože g má inflexní bod.
-
Druhá derivace v něm však
není rovna 0, ale je nedefinovaná.
