WEBVTT 00:00:00.000 --> 00:00:02.009 Robert měl za úkol zjistit, 00:00:02.009 --> 00:00:06.068 jaké inflexní body má funkce g(x), která se rovná třetí odmocnině z ‚x‘. 00:00:06.068 --> 00:00:08.065 Toto je jeho řešení. 00:00:08.065 --> 00:00:09.767 Dole se nás pak ptají: 00:00:09.767 --> 00:00:11.983 „Postupoval Robert správně? 00:00:11.983 --> 00:00:14.200 Pokud ne, v čem udělal chybu?“ 00:00:14.200 --> 00:00:18.132 Zastavte si video a zkuste to nejprve vyřešit sami. 00:00:18.132 --> 00:00:19.673 Teď se na to podívejme společně. 00:00:19.673 --> 00:00:23.944 Naše původní funkce g(x) se rovná třetí odmocnině z ‚x‘, 00:00:23.944 --> 00:00:26.801 což je totéž jako x na (1 lomeno 3). 00:00:26.801 --> 00:00:30.457 Vypadá to, že v kroku 1 chtěl Robert spočítat první a druhou derivaci. 00:00:30.457 --> 00:00:33.884 První derivace je derivace mocniny, takže vyjde (1 lomeno 3) krát x na... 00:00:33.884 --> 00:00:36.839 Exponent zmenšíme o 1, takže tohle vypadá dobře. 00:00:36.839 --> 00:00:40.620 Druhou derivaci zjistíme tak, že tohle vynásobíme (1 lomeno 3), 00:00:40.620 --> 00:00:42.421 což se rovná minus (2 lomeno 9), 00:00:42.421 --> 00:00:45.965 a minus (2 lomeno 3) zmenšíme o 1, což nám skutečně dá minus (5 lomeno 3), 00:00:45.965 --> 00:00:47.524 takže tohle taky vypadá dobře. 00:00:47.524 --> 00:00:49.520 Nakonec se to Robert pokusil přepsat. 00:00:49.520 --> 00:00:51.934 Pořád tu máme minus (2 lomeno 9) 00:00:51.934 --> 00:00:53.375 a potom Robert správně poznal, 00:00:53.375 --> 00:00:57.301 že je to totéž jako mít x na (5 lomeno 3) ve jmenovateli 00:00:57.301 --> 00:01:02.564 a že x na (5 lomeno 3) je to samé co třetí odmocnina z (x na pátou). 00:01:02.564 --> 00:01:03.947 Zatím to všechno vypadá dobře. 00:01:03.947 --> 00:01:06.184 Krok 1 je správně. 00:01:06.184 --> 00:01:09.233 V kroku 2 to vypadá, že se Robert snažil najít řešení... 00:01:09.233 --> 00:01:13.098 Snažil se najít ta čísla ‚x‘, pro která je druhá derivace rovna 0. 00:01:13.098 --> 00:01:17.015 Je skutečně pravda, že tato rovnice nemá řešení, 00:01:17.015 --> 00:01:20.078 tedy že tato druhá derivace nebude nikdy rovna 0. 00:01:20.078 --> 00:01:22.411 Aby to bylo rovno 0, čitatel by musel být rovný 0, 00:01:22.411 --> 00:01:25.087 ale 2 se nikdy nebude rovnat 0, 00:01:25.087 --> 00:01:27.434 takže tohle je správně. 00:01:27.434 --> 00:01:32.514 V kroku 3 Robert říká, že funkce g nemá žádné inflexní body. 00:01:32.514 --> 00:01:35.114 Tohle je trochu podezřelé. 00:01:35.114 --> 00:01:41.577 V mnoha případech je inflexní bod ten bod, ve kterém je druhá derivace rovna 0, 00:01:41.577 --> 00:01:45.330 i když v té chvíli ještě nevíme, že je to inflexní bod, je to jen bod podezřelý, 00:01:45.330 --> 00:01:51.720 u kterého musíme ověřit, že druhá derivace mění znaménko při průchodu tímto bodem x. 00:01:51.720 --> 00:01:55.597 Zde nenastává situace, že by se druhá derivace rovnala 0, 00:01:55.597 --> 00:01:59.383 ale nesmíme zapomenout, že dalšími kandidáty na inflexní bod jsou body, 00:01:59.383 --> 00:02:02.585 pro které druhá derivace není definovaná. 00:02:02.585 --> 00:02:04.728 Robert tak tento závěr nemůže učinit bez toho, 00:02:04.728 --> 00:02:08.516 aby se podíval, kde není druhá derivace definovaná. 00:02:08.516 --> 00:02:11.107 Například mohl napsat, 00:02:11.107 --> 00:02:17.684 že g se dvěma čárkami není definovaná pro... 00:02:17.684 --> 00:02:18.621 Pro které body? 00:02:18.621 --> 00:02:21.379 Tento výraz není definovaný pro x rovno 0. 00:02:21.379 --> 00:02:24.115 0 na 5 je 0 a třetí odmocnina z toho je zase 0, 00:02:24.115 --> 00:02:26.006 takže bychom dělili nulou. 00:02:26.006 --> 00:02:29.546 g se dvěma čárkami tedy není definovaná pro x rovno 0. 00:02:29.546 --> 00:02:32.163 Z toho důvodu je bod x rovno... 00:02:32.163 --> 00:02:46.383 Můžeme říci, že kandidátem na inflexní bod je bod x rovná se 0. 00:02:46.383 --> 00:02:48.857 Tento bod teď musíme vyzkoušet. 00:02:48.857 --> 00:02:52.713 Můžeme si udělat takovou tradiční tabulku, kterou jste možná už někdy dřív viděli. 00:02:52.713 --> 00:02:57.842 V tabulce bude interval, nebo spíše intervaly, 00:02:57.842 --> 00:03:01.498 dále dosazované hodnoty z těchto intervalů, 00:03:01.498 --> 00:03:04.641 u kterých musíme být pozorní, aby opravdu ležely v daném intervalu, 00:03:04.641 --> 00:03:11.742 pak znaménko druhé derivace, tedy g se dvěma čárkami, 00:03:11.742 --> 00:03:17.812 a nakonec sloupeček pro konvexitu funkce g. 00:03:17.812 --> 00:03:20.577 Aby byl bod x rovno 0 inflexním bodem, 00:03:20.577 --> 00:03:22.787 musíme změnit znaménko při... 00:03:22.787 --> 00:03:26.826 Druhá derivace musí změnit znaménko při průchodu bodem x rovno 0, 00:03:26.826 --> 00:03:31.996 což by znamenalo, že konvexita funkce g se mění při průchodu bodem x rovno 0. 00:03:31.996 --> 00:03:35.769 Podívejme se tedy na čísla menší než 0, což je interval od minus nekonečna do 0, 00:03:35.769 --> 00:03:39.704 a pak na čísla větší než 0, tedy interval od 0 do nekonečna. 00:03:39.704 --> 00:03:44.266 Dosazovanými hodnotami budou řekněme −1 a 1. NOTE Paragraph 00:03:44.266 --> 00:03:45.942 U těchto hodnot si musíte dát pozor. 00:03:45.942 --> 00:03:48.365 Musíte vybrat něco dostatečně blízko tak, 00:03:48.365 --> 00:03:52.887 aby mezi těmito dosazovanými hodnotami nedošlo k ničemu neobvyklému, 00:03:52.887 --> 00:03:56.323 dokud se nedostaneme k danému kandidátovi na inflexní bod. 00:03:56.323 --> 00:03:59.985 Jaké je znaménko druhé derivace, když je x rovno −1? 00:03:59.985 --> 00:04:01.852 Když je x rovno −1... 00:04:02.332 --> 00:04:05.940 (−1) na pátou je −1, 00:04:05.940 --> 00:04:08.769 třetí odmocnina z −1 je −1, 00:04:08.769 --> 00:04:12.280 takže budeme mít minus (2 lomeno 9) děleno −1, 00:04:12.280 --> 00:04:14.137 což bude plus (2 lomeno 9). 00:04:14.137 --> 00:04:17.927 Znaménko tak bude v tomto případě kladné. 00:04:17.927 --> 00:04:21.035 Tohle platí obecně pro libovolné záporné číslo, 00:04:21.035 --> 00:04:24.295 protože libovolné záporné číslo na pátou je zase záporné číslo, 00:04:24.295 --> 00:04:26.963 třetí odmocnina z tohohle bude taky záporné číslo 00:04:26.963 --> 00:04:29.963 a záporné číslo dělené záporným číslem bude nějaké kladné číslo. 00:04:29.963 --> 00:04:33.865 Vypadá to tedy, že tato dosazovaná hodnota dobře odráží chování na celém intervalu. 00:04:33.865 --> 00:04:35.634 Když dosadíme nějaké kladné číslo, 00:04:35.634 --> 00:04:37.828 tak po umocnění na pátou to bude stále kladné, 00:04:37.828 --> 00:04:40.210 třetí odmocnina z toho bude taky kladné číslo, 00:04:40.210 --> 00:04:43.166 ale minus (2 lomeno 9) pak budeme dělit kladným číslem, 00:04:43.166 --> 00:04:44.912 takže to bude záporné. 00:04:44.912 --> 00:04:49.925 Konvexita funkce g se tedy skutečně mění při průchodu bodem x rovno 0. 00:04:49.925 --> 00:04:53.579 Pro x menší než 0 je funkce konvexní, 00:04:53.579 --> 00:04:55.594 protože druhá derivace je kladná, 00:04:55.594 --> 00:05:00.503 a pro x větší než 0 je funkce konkávní. 00:05:00.503 --> 00:05:06.244 Napíšu to trochu... 00:05:06.244 --> 00:05:08.570 Konkávní, a to pro x větší než 0. 00:05:08.570 --> 00:05:12.545 Při průchodu bodem x rovno 0 tedy došlo ke změně konvexity, 00:05:12.545 --> 00:05:16.268 což znamená, že x... 00:05:16.298 --> 00:05:19.990 Měníme znaménko... 00:05:19.990 --> 00:05:30.113 g se dvěma čárkami mění znaménko při průchodu bodem x rovno 0 00:05:30.113 --> 00:05:40.627 a naše funkce je v bodě x rovno 0 definovaná, 00:05:40.627 --> 00:05:53.717 z čehož plyne, že bod x rovno 0 je inflexní bod. 00:05:53.717 --> 00:05:57.006 Pokud víte, jak vypadá graf třetí odmocniny, 00:05:57.006 --> 00:06:01.856 tak byste viděli, že funkce má v tomto místě skutečně inflexní bod. 00:06:01.856 --> 00:06:02.934 A máme to. 00:06:02.934 --> 00:06:05.609 Robert udělal chybu v kroku 3, protože g má inflexní bod. 00:06:05.609 --> 00:06:10.525 Druhá derivace v něm však není rovna 0, ale je nedefinovaná.