0:00:00.000,0:00:02.009
Robert měl za[br]úkol zjistit,

0:00:02.009,0:00:06.068
jaké inflexní body má funkce g(x),[br]která se rovná třetí odmocnině z ‚x‘.

0:00:06.068,0:00:08.065
Toto je[br]jeho řešení.

0:00:08.065,0:00:09.767
Dole se nás[br]pak ptají:

0:00:09.767,0:00:11.983
„Postupoval Robert správně?

0:00:11.983,0:00:14.200
Pokud ne, v čem udělal chybu?“

0:00:14.200,0:00:18.132
Zastavte si video a zkuste[br]to nejprve vyřešit sami.

0:00:18.132,0:00:19.673
Teď se na to[br]podívejme společně.

0:00:19.673,0:00:23.944
Naše původní funkce g(x) se[br]rovná třetí odmocnině z ‚x‘,

0:00:23.944,0:00:26.801
což je totéž jako[br]x na (1 lomeno 3).

0:00:26.801,0:00:30.457
Vypadá to, že v kroku 1 chtěl[br]Robert spočítat první a druhou derivaci.

0:00:30.457,0:00:33.884
První derivace je derivace mocniny,[br]takže vyjde (1 lomeno 3) krát x na...

0:00:33.884,0:00:36.839
Exponent zmenšíme o 1,[br]takže tohle vypadá dobře.

0:00:36.839,0:00:40.620
Druhou derivaci zjistíme tak,[br]že tohle vynásobíme (1 lomeno 3),

0:00:40.620,0:00:42.421
což se rovná[br]minus (2 lomeno 9),

0:00:42.421,0:00:45.965
a minus (2 lomeno 3) zmenšíme o 1,[br]což nám skutečně dá minus (5 lomeno 3),

0:00:45.965,0:00:47.524
takže tohle taky[br]vypadá dobře.

0:00:47.524,0:00:49.520
Nakonec se to[br]Robert pokusil přepsat.

0:00:49.520,0:00:51.934
Pořád tu máme[br]minus (2 lomeno 9)

0:00:51.934,0:00:53.375
a potom Robert[br]správně poznal,

0:00:53.375,0:00:57.301
že je to totéž jako mít[br]x na (5 lomeno 3) ve jmenovateli

0:00:57.301,0:01:02.564
a že x na (5 lomeno 3) je to samé co[br]třetí odmocnina z (x na pátou).

0:01:02.564,0:01:03.947
Zatím to všechno[br]vypadá dobře.

0:01:03.947,0:01:06.184
Krok 1 je správně.

0:01:06.184,0:01:09.233
V kroku 2 to vypadá, že[br]se Robert snažil najít řešení...

0:01:09.233,0:01:13.098
Snažil se najít ta čísla ‚x‘, pro[br]která je druhá derivace rovna 0.

0:01:13.098,0:01:17.015
Je skutečně pravda, že[br]tato rovnice nemá řešení,

0:01:17.015,0:01:20.078
tedy že tato druhá derivace[br]nebude nikdy rovna 0.

0:01:20.078,0:01:22.411
Aby to bylo rovno 0,[br]čitatel by musel být rovný 0,

0:01:22.411,0:01:25.087
ale 2 se nikdy[br]nebude rovnat 0,

0:01:25.087,0:01:27.434
takže tohle[br]je správně.

0:01:27.434,0:01:32.514
V kroku 3 Robert říká, že funkce[br]g nemá žádné inflexní body.

0:01:32.514,0:01:35.114
Tohle je trochu[br]podezřelé.

0:01:35.114,0:01:41.577
V mnoha případech je inflexní bod ten bod,[br]ve kterém je druhá derivace rovna 0,

0:01:41.577,0:01:45.330
i když v té chvíli ještě nevíme, že je to[br]inflexní bod, je to jen bod podezřelý,

0:01:45.330,0:01:51.720
u kterého musíme ověřit, že druhá derivace[br]mění znaménko při průchodu tímto bodem x.

0:01:51.720,0:01:55.597
Zde nenastává situace, že by[br]se druhá derivace rovnala 0,

0:01:55.597,0:01:59.383
ale nesmíme zapomenout, že dalšími[br]kandidáty na inflexní bod jsou body,

0:01:59.383,0:02:02.585
pro které druhá derivace[br]není definovaná.

0:02:02.585,0:02:04.728
Robert tak tento závěr[br]nemůže učinit bez toho,

0:02:04.728,0:02:08.516
aby se podíval, kde není[br]druhá derivace definovaná.

0:02:08.516,0:02:11.107
Například mohl napsat,

0:02:11.107,0:02:17.684
že g se dvěma čárkami[br]není definovaná pro...

0:02:17.684,0:02:18.621
Pro které body?

0:02:18.621,0:02:21.379
Tento výraz není[br]definovaný pro x rovno 0.

0:02:21.379,0:02:24.115
0 na 5 je 0 a třetí[br]odmocnina z toho je zase 0,

0:02:24.115,0:02:26.006
takže bychom[br]dělili nulou.

0:02:26.006,0:02:29.546
g se dvěma čárkami tedy[br]není definovaná pro x rovno 0.

0:02:29.546,0:02:32.163
Z toho důvodu je[br]bod x rovno...

0:02:32.163,0:02:46.383
Můžeme říci, že kandidátem na[br]inflexní bod je bod x rovná se 0.

0:02:46.383,0:02:48.857
Tento bod teď[br]musíme vyzkoušet.

0:02:48.857,0:02:52.713
Můžeme si udělat takovou tradiční tabulku,[br]kterou jste možná už někdy dřív viděli.

0:02:52.713,0:02:57.842
V tabulce bude interval,[br]nebo spíše intervaly,

0:02:57.842,0:03:01.498
dále dosazované hodnoty[br]z těchto intervalů,

0:03:01.498,0:03:04.641
u kterých musíme být pozorní, aby[br]opravdu ležely v daném intervalu,

0:03:04.641,0:03:11.742
pak znaménko druhé derivace,[br]tedy g se dvěma čárkami,

0:03:11.742,0:03:17.812
a nakonec sloupeček pro[br]konvexitu funkce g.

0:03:17.812,0:03:20.577
Aby byl bod x rovno 0[br]inflexním bodem,

0:03:20.577,0:03:22.787
musíme změnit[br]znaménko při...

0:03:22.787,0:03:26.826
Druhá derivace musí změnit znaménko[br]při průchodu bodem x rovno 0,

0:03:26.826,0:03:31.996
což by znamenalo, že konvexita funkce g[br]se mění při průchodu bodem x rovno 0.

0:03:31.996,0:03:35.769
Podívejme se tedy na čísla menší než 0,[br]což je interval od minus nekonečna do 0,

0:03:35.769,0:03:39.704
a pak na čísla větší než 0,[br]tedy interval od 0 do nekonečna.

0:03:39.704,0:03:44.266
Dosazovanými hodnotami[br]budou řekněme −1 a 1.

0:03:44.266,0:03:45.942
U těchto hodnot[br]si musíte dát pozor.

0:03:45.942,0:03:48.365
Musíte vybrat něco[br]dostatečně blízko tak,

0:03:48.365,0:03:52.887
aby mezi těmito dosazovanými[br]hodnotami nedošlo k ničemu neobvyklému,

0:03:52.887,0:03:56.323
dokud se nedostaneme k danému[br]kandidátovi na inflexní bod.

0:03:56.323,0:03:59.985
Jaké je znaménko druhé[br]derivace, když je x rovno −1?

0:03:59.985,0:04:01.852
Když je x rovno −1...

0:04:02.332,0:04:05.940
(−1) na pátou je −1,

0:04:05.940,0:04:08.769
třetí odmocnina z −1 je −1,

0:04:08.769,0:04:12.280
takže budeme mít minus[br](2 lomeno 9) děleno −1,

0:04:12.280,0:04:14.137
což bude[br]plus (2 lomeno 9).

0:04:14.137,0:04:17.927
Znaménko tak bude[br]v tomto případě kladné.

0:04:17.927,0:04:21.035
Tohle platí obecně pro[br]libovolné záporné číslo,

0:04:21.035,0:04:24.295
protože libovolné záporné číslo[br]na pátou je zase záporné číslo,

0:04:24.295,0:04:26.963
třetí odmocnina z tohohle[br]bude taky záporné číslo

0:04:26.963,0:04:29.963
a záporné číslo dělené záporným[br]číslem bude nějaké kladné číslo.

0:04:29.963,0:04:33.865
Vypadá to tedy, že tato dosazovaná hodnota[br]dobře odráží chování na celém intervalu.

0:04:33.865,0:04:35.634
Když dosadíme[br]nějaké kladné číslo,

0:04:35.634,0:04:37.828
tak po umocnění na pátou[br]to bude stále kladné,

0:04:37.828,0:04:40.210
třetí odmocnina z toho[br]bude taky kladné číslo,

0:04:40.210,0:04:43.166
ale minus (2 lomeno 9) pak[br]budeme dělit kladným číslem,

0:04:43.166,0:04:44.912
takže to[br]bude záporné.

0:04:44.912,0:04:49.925
Konvexita funkce g se tedy skutečně[br]mění při průchodu bodem x rovno 0.

0:04:49.925,0:04:53.579
Pro x menší než 0[br]je funkce konvexní,

0:04:53.579,0:04:55.594
protože druhá[br]derivace je kladná,

0:04:55.594,0:05:00.503
a pro x větší než 0[br]je funkce konkávní.

0:05:00.503,0:05:06.244
Napíšu to trochu...

0:05:06.244,0:05:08.570
Konkávní, a to pro[br]x větší než 0.

0:05:08.570,0:05:12.545
Při průchodu bodem x rovno 0[br]tedy došlo ke změně konvexity,

0:05:12.545,0:05:16.268
což znamená, že x...

0:05:16.298,0:05:19.990
Měníme znaménko...

0:05:19.990,0:05:30.113
g se dvěma čárkami mění znaménko[br]při průchodu bodem x rovno 0

0:05:30.113,0:05:40.627
a naše funkce je v bodě[br]x rovno 0 definovaná,

0:05:40.627,0:05:53.717
z čehož plyne, že bod[br]x rovno 0 je inflexní bod.

0:05:53.717,0:05:57.006
Pokud víte, jak vypadá[br]graf třetí odmocniny,

0:05:57.006,0:06:01.856
tak byste viděli, že funkce má[br]v tomto místě skutečně inflexní bod.

0:06:01.856,0:06:02.934
A máme to.

0:06:02.934,0:06:05.609
Robert udělal chybu v kroku 3,[br]protože g má inflexní bod.

0:06:05.609,0:06:10.525
Druhá derivace v něm však[br]není rovna 0, ale je nedefinovaná.