1
00:00:00,000 --> 00:00:02,009
Robert měl za
úkol zjistit,

2
00:00:02,009 --> 00:00:06,068
jaké inflexní body má funkce g(x),
která se rovná třetí odmocnině z ‚x‘.

3
00:00:06,068 --> 00:00:08,065
Toto je
jeho řešení.

4
00:00:08,065 --> 00:00:09,767
Dole se nás
pak ptají:

5
00:00:09,767 --> 00:00:11,983
„Postupoval Robert správně?

6
00:00:11,983 --> 00:00:14,200
Pokud ne, v čem udělal chybu?“

7
00:00:14,200 --> 00:00:18,132
Zastavte si video a zkuste
to nejprve vyřešit sami.

8
00:00:18,132 --> 00:00:19,673
Teď se na to
podívejme společně.

9
00:00:19,673 --> 00:00:23,944
Naše původní funkce g(x) se
rovná třetí odmocnině z ‚x‘,

10
00:00:23,944 --> 00:00:26,801
což je totéž jako
x na (1 lomeno 3).

11
00:00:26,801 --> 00:00:30,457
Vypadá to, že v kroku 1 chtěl
Robert spočítat první a druhou derivaci.

12
00:00:30,457 --> 00:00:33,884
První derivace je derivace mocniny,
takže vyjde (1 lomeno 3) krát x na...

13
00:00:33,884 --> 00:00:36,839
Exponent zmenšíme o 1,
takže tohle vypadá dobře.

14
00:00:36,839 --> 00:00:40,620
Druhou derivaci zjistíme tak,
že tohle vynásobíme (1 lomeno 3),

15
00:00:40,620 --> 00:00:42,421
což se rovná
minus (2 lomeno 9),

16
00:00:42,421 --> 00:00:45,965
a minus (2 lomeno 3) zmenšíme o 1,
což nám skutečně dá minus (5 lomeno 3),

17
00:00:45,965 --> 00:00:47,524
takže tohle taky
vypadá dobře.

18
00:00:47,524 --> 00:00:49,520
Nakonec se to
Robert pokusil přepsat.

19
00:00:49,520 --> 00:00:51,934
Pořád tu máme
minus (2 lomeno 9)

20
00:00:51,934 --> 00:00:53,375
a potom Robert
správně poznal,

21
00:00:53,375 --> 00:00:57,301
že je to totéž jako mít
x na (5 lomeno 3) ve jmenovateli

22
00:00:57,301 --> 00:01:02,564
a že x na (5 lomeno 3) je to samé co
třetí odmocnina z (x na pátou).

23
00:01:02,564 --> 00:01:03,947
Zatím to všechno
vypadá dobře.

24
00:01:03,947 --> 00:01:06,184
Krok 1 je správně.

25
00:01:06,184 --> 00:01:09,233
V kroku 2 to vypadá, že
se Robert snažil najít řešení...

26
00:01:09,233 --> 00:01:13,098
Snažil se najít ta čísla ‚x‘, pro
která je druhá derivace rovna 0.

27
00:01:13,098 --> 00:01:17,015
Je skutečně pravda, že
tato rovnice nemá řešení,

28
00:01:17,015 --> 00:01:20,078
tedy že tato druhá derivace
nebude nikdy rovna 0.

29
00:01:20,078 --> 00:01:22,411
Aby to bylo rovno 0,
čitatel by musel být rovný 0,

30
00:01:22,411 --> 00:01:25,087
ale 2 se nikdy
nebude rovnat 0,

31
00:01:25,087 --> 00:01:27,434
takže tohle
je správně.

32
00:01:27,434 --> 00:01:32,514
V kroku 3 Robert říká, že funkce
g nemá žádné inflexní body.

33
00:01:32,514 --> 00:01:35,114
Tohle je trochu
podezřelé.

34
00:01:35,114 --> 00:01:41,577
V mnoha případech je inflexní bod ten bod,
ve kterém je druhá derivace rovna 0,

35
00:01:41,577 --> 00:01:45,330
i když v té chvíli ještě nevíme, že je to
inflexní bod, je to jen bod podezřelý,

36
00:01:45,330 --> 00:01:51,720
u kterého musíme ověřit, že druhá derivace
mění znaménko při průchodu tímto bodem x.

37
00:01:51,720 --> 00:01:55,597
Zde nenastává situace, že by
se druhá derivace rovnala 0,

38
00:01:55,597 --> 00:01:59,383
ale nesmíme zapomenout, že dalšími
kandidáty na inflexní bod jsou body,

39
00:01:59,383 --> 00:02:02,585
pro které druhá derivace
není definovaná.

40
00:02:02,585 --> 00:02:04,728
Robert tak tento závěr
nemůže učinit bez toho,

41
00:02:04,728 --> 00:02:08,516
aby se podíval, kde není
druhá derivace definovaná.

42
00:02:08,516 --> 00:02:11,107
Například mohl napsat,

43
00:02:11,107 --> 00:02:17,684
že g se dvěma čárkami
není definovaná pro...

44
00:02:17,684 --> 00:02:18,621
Pro které body?

45
00:02:18,621 --> 00:02:21,379
Tento výraz není
definovaný pro x rovno 0.

46
00:02:21,379 --> 00:02:24,115
0 na 5 je 0 a třetí
odmocnina z toho je zase 0,

47
00:02:24,115 --> 00:02:26,006
takže bychom
dělili nulou.

48
00:02:26,006 --> 00:02:29,546
g se dvěma čárkami tedy
není definovaná pro x rovno 0.

49
00:02:29,546 --> 00:02:32,163
Z toho důvodu je
bod x rovno...

50
00:02:32,163 --> 00:02:46,383
Můžeme říci, že kandidátem na
inflexní bod je bod x rovná se 0.

51
00:02:46,383 --> 00:02:48,857
Tento bod teď
musíme vyzkoušet.

52
00:02:48,857 --> 00:02:52,713
Můžeme si udělat takovou tradiční tabulku,
kterou jste možná už někdy dřív viděli.

53
00:02:52,713 --> 00:02:57,842
V tabulce bude interval,
nebo spíše intervaly,

54
00:02:57,842 --> 00:03:01,498
dále dosazované hodnoty
z těchto intervalů,

55
00:03:01,498 --> 00:03:04,641
u kterých musíme být pozorní, aby
opravdu ležely v daném intervalu,

56
00:03:04,641 --> 00:03:11,742
pak znaménko druhé derivace,
tedy g se dvěma čárkami,

57
00:03:11,742 --> 00:03:17,812
a nakonec sloupeček pro
konvexitu funkce g.

58
00:03:17,812 --> 00:03:20,577
Aby byl bod x rovno 0
inflexním bodem,

59
00:03:20,577 --> 00:03:22,787
musíme změnit
znaménko při...

60
00:03:22,787 --> 00:03:26,826
Druhá derivace musí změnit znaménko
při průchodu bodem x rovno 0,

61
00:03:26,826 --> 00:03:31,996
což by znamenalo, že konvexita funkce g
se mění při průchodu bodem x rovno 0.

62
00:03:31,996 --> 00:03:35,769
Podívejme se tedy na čísla menší než 0,
což je interval od minus nekonečna do 0,

63
00:03:35,769 --> 00:03:39,704
a pak na čísla větší než 0,
tedy interval od 0 do nekonečna.

64
00:03:39,704 --> 00:03:44,266
Dosazovanými hodnotami
budou řekněme −1 a 1.

65
00:03:44,266 --> 00:03:45,942
U těchto hodnot
si musíte dát pozor.

66
00:03:45,942 --> 00:03:48,365
Musíte vybrat něco
dostatečně blízko tak,

67
00:03:48,365 --> 00:03:52,887
aby mezi těmito dosazovanými
hodnotami nedošlo k ničemu neobvyklému,

68
00:03:52,887 --> 00:03:56,323
dokud se nedostaneme k danému
kandidátovi na inflexní bod.

69
00:03:56,323 --> 00:03:59,985
Jaké je znaménko druhé
derivace, když je x rovno −1?

70
00:03:59,985 --> 00:04:01,852
Když je x rovno −1...

71
00:04:02,332 --> 00:04:05,940
(−1) na pátou je −1,

72
00:04:05,940 --> 00:04:08,769
třetí odmocnina z −1 je −1,

73
00:04:08,769 --> 00:04:12,280
takže budeme mít minus
(2 lomeno 9) děleno −1,

74
00:04:12,280 --> 00:04:14,137
což bude
plus (2 lomeno 9).

75
00:04:14,137 --> 00:04:17,927
Znaménko tak bude
v tomto případě kladné.

76
00:04:17,927 --> 00:04:21,035
Tohle platí obecně pro
libovolné záporné číslo,

77
00:04:21,035 --> 00:04:24,295
protože libovolné záporné číslo
na pátou je zase záporné číslo,

78
00:04:24,295 --> 00:04:26,963
třetí odmocnina z tohohle
bude taky záporné číslo

79
00:04:26,963 --> 00:04:29,963
a záporné číslo dělené záporným
číslem bude nějaké kladné číslo.

80
00:04:29,963 --> 00:04:33,865
Vypadá to tedy, že tato dosazovaná hodnota
dobře odráží chování na celém intervalu.

81
00:04:33,865 --> 00:04:35,634
Když dosadíme
nějaké kladné číslo,

82
00:04:35,634 --> 00:04:37,828
tak po umocnění na pátou
to bude stále kladné,

83
00:04:37,828 --> 00:04:40,210
třetí odmocnina z toho
bude taky kladné číslo,

84
00:04:40,210 --> 00:04:43,166
ale minus (2 lomeno 9) pak
budeme dělit kladným číslem,

85
00:04:43,166 --> 00:04:44,912
takže to
bude záporné.

86
00:04:44,912 --> 00:04:49,925
Konvexita funkce g se tedy skutečně
mění při průchodu bodem x rovno 0.

87
00:04:49,925 --> 00:04:53,579
Pro x menší než 0
je funkce konvexní,

88
00:04:53,579 --> 00:04:55,594
protože druhá
derivace je kladná,

89
00:04:55,594 --> 00:05:00,503
a pro x větší než 0
je funkce konkávní.

90
00:05:00,503 --> 00:05:06,244
Napíšu to trochu...

91
00:05:06,244 --> 00:05:08,570
Konkávní, a to pro
x větší než 0.

92
00:05:08,570 --> 00:05:12,545
Při průchodu bodem x rovno 0
tedy došlo ke změně konvexity,

93
00:05:12,545 --> 00:05:16,268
což znamená, že x...

94
00:05:16,298 --> 00:05:19,990
Měníme znaménko...

95
00:05:19,990 --> 00:05:30,113
g se dvěma čárkami mění znaménko
při průchodu bodem x rovno 0

96
00:05:30,113 --> 00:05:40,627
a naše funkce je v bodě
x rovno 0 definovaná,

97
00:05:40,627 --> 00:05:53,717
z čehož plyne, že bod
x rovno 0 je inflexní bod.

98
00:05:53,717 --> 00:05:57,006
Pokud víte, jak vypadá
graf třetí odmocniny,

99
00:05:57,006 --> 00:06:01,856
tak byste viděli, že funkce má
v tomto místě skutečně inflexní bod.

100
00:06:01,856 --> 00:06:02,934
A máme to.

101
00:06:02,934 --> 00:06:05,609
Robert udělal chybu v kroku 3,
protože g má inflexní bod.

102
00:06:05,609 --> 00:06:10,525
Druhá derivace v něm však
není rovna 0, ale je nedefinovaná.