Inverse Trig Functions: Arctan

Trong video trước, chúng ta

đã tìm hiểu về

arcsin của x

Và chúng ta biết

ký hiệu này có nghĩa là

sin của một góc nào đó bằng x.

Và trong những ví dụ trước chúng ta đã
giải một số phương trình.

Sử dụng quy luật chúng ta đã phát hiện ra,

trước hết chúng ta có thể viết lại biểu thức thành

hàm ngược của sin x là bằng gì.

Chúng ta có những phát biểu giống nhau,

có hai cách để viết hàm ngược của sin.

Đây là arcsin của x

chứ không phải là arcsin x mũ âm 1

Chúng ta đơn giản chí nói rằng sin của

góc nào là bằng x,

như chúng ta đã làm trong video trước.

Vậy, cúng giống như vậy,

Khi chúng ta được hỏi hàm ngược của

tan x là gì,

thì chúng ta nên lập tức nhận ra rằng

phát biểu đó đơn giản có nghĩa là

tan của một góc nào đó là bằng x,

và chúng ta chỉ cần tính giá trị của góc đó.

Bây giờ chúng ta sẽ làm một ví dụ

Giả dụ như

thầy hỏi

thầy hỏi chúng ta rằng,

arctan của âm 1 là gì?

Thì câu hỏi đấy cũng có nghĩa là

hàm ngược của tan x của 1 là gì.

2 câu hỏi này giống y hệt nhau.

Và điều bạn nên làm là - nếu bạn không

nhớ được thì bạn có thể vẽ
một đường tròn đơn vị -

Trước khi giải bài toán này thì
tôi sẽ đi qua

định nghĩa chính xác của hàm tan.

tan của theta chỉ là một hàm lượng giác
được định nghĩa bởi

thương của hai hàm lượng giác, là

sin theta chia cho cosin theta.

Và sin theta là giá trị
tung độ của một điểm

nằm trên đường tròn đơn vị.

Tương tự, cosin theta là giá trị
hoành độ của một điểm nằm trên

đường tròn đơn vị. Nếu tôi vẽ

một đường tròn đơn vị tại đây.

Nếu tôi có một đường tròn đơn vị
như thế này,

và có một góc theta

ở đây.

Và đây là tọa độ (x, y) của tôi.

Chúng ta đã biết rằng giá trị tung độ

của tọa độ là sin theta.

Để tôi kéo sang đây.

sin theta.

Và giá trị hoành độ là cos theta.

Vậy tan của góc này bằng bao nhiêu?

Nó sẽ bằng khoảng này
chia cho khoảng này.

Có thể bạn đã quen với khái niệm
"độ dốc" trong toán học,

khi chúng ta bắt đầu từ gốc tọa độ.

Đây là sự thay đổi tọa độ y
chia cho sự thay đổi tọa độ x.

Có thể hiểu là như vậy.

Một cách nữa để hiểu là nhận ra rằng

tan theta là độ dốc của đoạn thẳng này.

Chính là độ dốc.

Nên bạn có thể viết là độ dốc
của đoạn thẳng này chính là tan theta.

Bạn nên nhớ điều này để
có thể làm các ví dụ sau.

Nếu tôi hỏi bạn rằng tan mũ trừ 1
của trừ 1 là bao nhiêu,

hay nói cách khác,

arctan của trừ 1

là bao nhiêu,

tôi đang hỏi rằng góc nào sẽ cho tôi
một hàm số có độ dốc là âm 1

trên đường tròn đơn vị.

Vậy tôi sẽ vẽ lại đường tròn,

nó sẽ nhìn như thế này.

Các trục tọa độ sẽ ở đây.

Và tôi muốn độ dốc bằng âm 1.

Một đồ thị hàm số có độ dốc bằng âm 1
sẽ nhìn như thế này.

Nếu nó đi theo hướng này thì
đồ thị hàm số sẽ có độ dốc là 1.

Vậy góc này bằng bao nhiêu?

Để đồ thị hàm số có độ dốc là âm 1 thì
độ dài của khoảng này

phải bằng độ dài của khoảng này.

Bạn cũng đã có thể nhận ra rằng
đây là một tam giác vuông rồi,

nên các góc này phải bằng nhau.

Vậy ta có một tam giác vuông cân.

Đây là một tam giác cân..

Tổng của hai góc này là 90 độ
và chúng bằng nhau.

Vậy số đo của ba góc này
lần lượt là 45, 45 và 90 độ.

Thực sự mà nói, bạn không cần
phải tính độ dài

của từng cạnh.

Trong video trước, tôi đã cho
các bạn thấy rằng

do độ dài của đoạn thẳng này

là căn bậc 2 của 2 chia 2, nên
tọa độ của điểm này

là (0, âm căn bậc 2 chia 2).

Và điểm này sẽ có tọa độ là

(căn 2 chia 2, 0)

vì khoảng này ở đây có
độ dài là căn 2 chia 2.

Các bạn có thể thấy.

căn 2 chia 2 bình phương cộng
căn 2 chia 2 bình

phương bằng 1, hay còn là
1 bình phương.

Một điều cần phải lưu ý nữa là

đây là một tam giác vuông cân.

Vậy nên theo tính chất của
tam giác vuông cân,

ta có thể biết được rằng
góc này sẽ bằng

45 độ.

Nhưng vì chúng ta đang quay
ngược chiều kim đồng hồ,

nên góc này bằng âm 45 độ.

Để tôi kéo bảng xuống.

Nếu chúng ta tính theo độ,

thường là mọi người sẽ quy về độ,

thì ta có thể viết là
tan của âm 45 độ sẽ bằng

âm căn 2 chia 2 chia cho căn 2 chia 2.

Chúng ta có kết quả là âm 1.

Ngược lại, tôi có thể viết rằng arctan của
âm 1 bằng âm 45 độ.

âm 45 độ.

Nếu chúng ta muốn tính theo radian

thì chúng ta phải đổi âm 45 độ

sang radian. Âm 45 độ nhân
pi phần 180 độ sẽ

cho chúng ta kết quả là -

hai đơn vị này sẽ triệt tiêu nhau,

vậy chúng ta có 45 phần 180.

Chúng ta sẽ được -

xem nào, chúng ta sẽ được

âm pi phần 4 radian.

Vậy arctan của âm 1 bằng âm pi phần 4,

hay nói cách khác là tan^-1 của âm 1
bằng âm pi phần 4.

Bây giờ bạn có thể nói rằng,

nếu tôi đang ở âm pi phần 4,

ngay đây.

Giá trị này khi nhập vào hàm arctan
sẽ cho chúng ta giá trị là âm 1 vì

độ dốc của đường thẳng này

là âm 1. Nhưng tôi có thể đi tiếp một vòng

quanh đường tròn. Tôi có thể thêm 2pi

vào kết quả này, và chúng ta được
một góc; khi chúng ta nhập giá trị

của góc ấy vào hàm tan thì

chúng ta được âm 1.

Cộng thêm 2pi và chúng ta được âm 1.

Thậm chí tôi có thể dịch chuyển
điểm này sang vị trí này,

và tan của nó sẽ cho chúng ta
giá trị là âm 1

vì độ dốc của nó là âm 1.

Như tôi đã nói trong video về
hàm arcsin, thì bạn không thể

có một hàm số mà một giá trị
đưa cho chúng ta nhiều kết quả được.

Vì thế, arctan(x) không thể có nhiều
giá trị khác nhau được.

arctan(x) không thể vừa có giá trị

âm pi phần 4,

để xem nào,

hay là,

2 pi trừ pi phần 4,

hoặc 4 pi trừ pi phần 4.

arctan(x) không thể có tất cả
các giá trị này cùng một lúc được.

Nên tôi phải giới hạn miền
xác định của hàm

arctan.

Và tôi sẽ giới hạn nó như cách
tôi giới hạn miền xác định

của hàm arcsin.

Chúng ta sẽ chỉ giới hạn hàm arctan
góc phần tư thứ nhất và thứ tư.

Vậy nên các giá trị của hàm arctan(x)
sẽ được giới hạn trong

các góc phần tư này mà thôi.