ANOVA 3-Hypothesis Test with F-Statistic

In de laatste videos hebben we uitgezocht
wat de totale variatie is

in deze 9 data punten,

en dat was 30, onze totale kwadratensom.
Toen vroegen we ons af,

hoeveel van deze variatie komt door
variatie binnen groepen, versus variatie

tussen de groepen zelf?

Voor de variatie binnen groepen hadden we
de kwadratensom binnen groepen, dat was 6.

En de balans hiervan, 30, de balans van
deze variatie,

kwam van de variatie tussen groepen,
die hebben we uitgerekend.

Daaruit kwam 24.

Wat ik in deze video wil doen, is
dit type informatie gebruiken om

inferenties af te leiden, waarmee we
mogelijk een conclusie kunnen trekken.

Wat ik ga doen is deze groepen in een
context plaatsen.

We hebben deze groepen nu als abstract
behandeld, maar je kan bedenken dat

deze het resultaat zijn van een experiment

Stel dat ik 3 typen pillen, of 3 typen
voedsel, aan mensen geef die een toets maken

En dat zijn hun scores op die toets.

Dit is voedsel type 1, type 2, en dat
is voedsel 3.

En nu wil ik weten: beïnvloed het type
voedsel dat mensen eten hun testscore?

Als je naar de gemiddeldes kijkt dan lijkt
het alsof groep 3 beter is dan groep 1 &2

Maar komt dit verschil door toeval?

Of ben ik zeker dat er daadwerkelijk een
verschil zit

in de populatie gemiddeldes van alle
mensen die ooit voedsel 3, 2 of 1 nemen?

De vraag is hier, verschillen de populatie
gemiddeldes met de steekproefgemiddeldes?

Dit steekproefgemiddelde bestaat uit 3
metingen.

Maar als ik dat de ware populatie gemiddelden wist

Mijn vraag is: is het populatiegemiddelde
van mensen die voedsel type 1 eten gelijk

aan dat van mensen die voedsel type 2 eten?

Natuurlijk kan ik dit voedsel niet aan alle
mensen geven en ze daarna

te dwingen om die toets te maken.

Maar er is wél een ware gemiddelde,
we kunnen het alleen niet observeren.

Dus mijn vraag is 'dit' gelijk aan 'dit'
gelijk aan het ware populatiegemiddelde

van groep 3. Zijn deze drie aan elkaar
gelijk?

Als ze niet aan elkaar gelijk zijn, dan
moet een type voedsel een effect hebben

op mensen hun testscores.

Laten we een hypothesetoets uitvoeren.
Mijn nulhypothese is dat de gemiddeldes

aan elkaar gelijk zijn. Type voedsel heeft
geen effect.

Voedsel heeft geen effect.

Mijn alternatieve hypothese is dat voedsel
wél een effect heeft.

Quantitatief gezien betekent dit,

dat als er geen verschil is

de ware populatiegemiddeldes aan elkaar
gelijk zijn.

Het ware populatiegemiddelde van de groep
die voedsel 1 had zal gelijk zijn aan die

van de groep dat voedsel 2 had en aan dat
van groep 3.

Als onze alternatieve hypothese juist is
dan zijn deze gemiddelden niet aan elkaar gelijk.

Hoe kunnen we deze hypothese toetsen?

We nemen aan dat de nulhypothese waar is,

dat doen we altijd bij hypothese toetsing.

En dan berekenen we de kans dat

we een zekere statistiek krijgen die
zo extreem is?

En ik heb nog niet een gedefinieerd wat
deze statistiek is.

Dus we definieren -- we doen alsof de nul-
hypothese waar is en dan

en nu gebruiken we een statistiek genaamd
de F-statistiek.

Onze F-statistiek

Deze heeft een F-verdeling, daar gaan we
niet diep op in.

Maar je kan je deze voorstellen als zijnde
een ratio van 2 chi kwadraat verdelingen

Die mogelijk verschillende vrijheidsgraden
hebben.

Onze F-statistiek is de ratio van de
kwadratensom tussen de samples.

Gedeeld door de vrijheidsgraden tussen--

Dit wordt de gemiddelde kwadratensom
genoemd.

Dat, gedeeld door de kwadratensom binnen,
gedeeld door de vrijheidgraden van de

kwadraten som binnen.

Dat was m, m keer (n-1)

Laten we even nadenken wat dit hier doet.

Als de teller veel groter is dan de noemer
dan geeft dat aan dat de variatie in deze

data voornamelijk veroorzaakt wordt door
verschillen in gemiddelden

en in mindere mate door de variatie binnen
de gemiddelden.

Dus als de teller groter is dan de noemer.

Dat geeft aan dat er een verschil is in de
ware populatiegemiddelden.

Als dit getal erg groot is, geeft dat aan
dat er een kleinere kans is dat onze

nulhypothese waar is.

Als dit getal erg klein is, dan komt
variatie binnen elke groep een groter

onderdeel is van de totale variatie dan de
variatie tussen groepen.

Dat betekent dat variatie binnen groepen
een groter % is van de totale variatie dan

vs de variatie tussen de groepen.

Dat geeft aan dat, een verschil in groeps-
gemiddelden waarschijnlijk toeval is.

En dat maakt het moeilijker om de nul-
hypothese te verwerpen.

Laten we het voor dit voorbeeld uitrekenen

in dit geval is onze kwadratensom tussen
groepen 24 en we hadden 2 vrijheidsgraden.

en onze kwadratensom binnen groepen was 6
en onze vrijheidsgraden waren ook 6.

24/2=12 /1 = 12

Dus onze F-statistiek is 12.
Dit staat voor Fischer, de bedenker.

Onze F-statistiek is 12.
Dit is een vrij hoog getal.

1 ding ben ik vergeten te zeggen, in elke
hypothese toets moet er een significantie

niveau zijn. Laten we ons signifiacntie
niveau op 10% zetten.

Wat betekent dat als we aannemen dat
de nulhypothese waar is dan is er een

kans van minder dan 10% om deze waarde,
deze F-statistiek te vinden dat we hebben.

Deze F-statistiek

Dan verwerpen we de nulhypothese

Dus wat we willen doen is een kritische
F-statistiek waarde die --

Dat we zo een waarde of extremer vinden
met een kans van 10%.

En als deze groter is dan onze kritische F
waarde dan verwerpen we de nulhypothese.

Als deze kleiner is kunnen we niet de nul-
hypothese verwerpen.

Ik wil niet ingaan op de details van de
F-statistiek maar je kan op prijs stellen

dat elke kwadratensom chi kwadraat
verdeeld is.

Dit heeft een chi kwadraat verdeling endit
heeft een andere chi kwadraat verdeling.

Deze heeft twee vrijheidsgraden

Deze heeft ongeveer zes vrijheidsgraden.

De F-verdeling is een ratio van twee chi
kwadraat verdelingen.

en ik heb deze F-tabel, en zo ziet de F
verdeling eruit.

En deze ziet er anders uit bij andere
vrijheidsgraden in de teller of noemer.

Er zijn 2 vrijheidsgraden om over na te
denken.

Met dat in gedachten laten we de kritische
F-waarde berekenen.

De kritische F-waarde voor alpha=0.10

En je zal verschillende F-tabellen zien
Voor verschillende alpha's

waarbij onze teller vrijheidsgraden 2 zijn
en onze noemer vrijheidsgraden 6 zijn.

Deze hele tabel is voor een alpha van 0.10

En onze teller vrijheidsgraden is 2 en
onze noemer vrijheidsgraden is 6.

Dus onze kritische F-waarde is 3.46

De waarde die wij hebben gekregen is veel
hoger dan deze en heeft dus een erg kleine

p-waarde. De kans om zoiets extreems te
vinden per toeval aannemend dat de nul-

hypothese waar is, is erg klein.

Daarom kunnen we de nulhypothese verwerpen
en kunnen we concluderen dat de populatie

gemiddelden verschillen. Dat geeft aan dat
er een verschil is in prestatie op de test

als je de verschillende voedseltypes
toedient.