In de laatste videos hebben we uitgezocht wat de totale variatie is
in deze 9 data punten,
en dat was 30, onze totale kwadratensom. Toen vroegen we ons af,
hoeveel van deze variatie komt door variatie binnen groepen, versus variatie
tussen de groepen zelf?
Voor de variatie binnen groepen hadden we de kwadratensom binnen groepen, dat was 6.
En de balans hiervan, 30, de balans van deze variatie,
kwam van de variatie tussen groepen, die hebben we uitgerekend.
Daaruit kwam 24.
Wat ik in deze video wil doen, is dit type informatie gebruiken om
inferenties af te leiden, waarmee we mogelijk een conclusie kunnen trekken.
Wat ik ga doen is deze groepen in een context plaatsen.
We hebben deze groepen nu als abstract behandeld, maar je kan bedenken dat
deze het resultaat zijn van een experiment
Stel dat ik 3 typen pillen, of 3 typen voedsel, aan mensen geef die een toets maken
En dat zijn hun scores op die toets.
Dit is voedsel type 1, type 2, en dat is voedsel 3.
En nu wil ik weten: beïnvloed het type voedsel dat mensen eten hun testscore?
Als je naar de gemiddeldes kijkt dan lijkt het alsof groep 3 beter is dan groep 1 &2
Maar komt dit verschil door toeval?
Of ben ik zeker dat er daadwerkelijk een verschil zit
in de populatie gemiddeldes van alle mensen die ooit voedsel 3, 2 of 1 nemen?
De vraag is hier, verschillen de populatie gemiddeldes met de steekproefgemiddeldes?
Dit steekproefgemiddelde bestaat uit 3 metingen.
Maar als ik dat de ware populatie gemiddelden wist
Mijn vraag is: is het populatiegemiddelde van mensen die voedsel type 1 eten gelijk
aan dat van mensen die voedsel type 2 eten?
Natuurlijk kan ik dit voedsel niet aan alle mensen geven en ze daarna
te dwingen om die toets te maken.
Maar er is wél een ware gemiddelde, we kunnen het alleen niet observeren.
Dus mijn vraag is 'dit' gelijk aan 'dit' gelijk aan het ware populatiegemiddelde
van groep 3. Zijn deze drie aan elkaar gelijk?
Als ze niet aan elkaar gelijk zijn, dan moet een type voedsel een effect hebben
op mensen hun testscores.
Laten we een hypothesetoets uitvoeren. Mijn nulhypothese is dat de gemiddeldes
aan elkaar gelijk zijn. Type voedsel heeft geen effect.
Voedsel heeft geen effect.
Mijn alternatieve hypothese is dat voedsel wél een effect heeft.
Quantitatief gezien betekent dit,
dat als er geen verschil is
de ware populatiegemiddeldes aan elkaar gelijk zijn.
Het ware populatiegemiddelde van de groep die voedsel 1 had zal gelijk zijn aan die
van de groep dat voedsel 2 had en aan dat van groep 3.
Als onze alternatieve hypothese juist is dan zijn deze gemiddelden niet aan elkaar gelijk.
Hoe kunnen we deze hypothese toetsen?
We nemen aan dat de nulhypothese waar is,
dat doen we altijd bij hypothese toetsing.
En dan berekenen we de kans dat
we een zekere statistiek krijgen die zo extreem is?
En ik heb nog niet een gedefinieerd wat deze statistiek is.
Dus we definieren -- we doen alsof de nul- hypothese waar is en dan
en nu gebruiken we een statistiek genaamd de F-statistiek.
Onze F-statistiek
Deze heeft een F-verdeling, daar gaan we niet diep op in.
Maar je kan je deze voorstellen als zijnde een ratio van 2 chi kwadraat verdelingen
Die mogelijk verschillende vrijheidsgraden hebben.
Onze F-statistiek is de ratio van de kwadratensom tussen de samples.
Gedeeld door de vrijheidsgraden tussen--
Dit wordt de gemiddelde kwadratensom genoemd.
Dat, gedeeld door de kwadratensom binnen, gedeeld door de vrijheidgraden van de
kwadraten som binnen.
Dat was m, m keer (n-1)
Laten we even nadenken wat dit hier doet.
Als de teller veel groter is dan de noemer dan geeft dat aan dat de variatie in deze
data voornamelijk veroorzaakt wordt door verschillen in gemiddelden
en in mindere mate door de variatie binnen de gemiddelden.
Dus als de teller groter is dan de noemer.
Dat geeft aan dat er een verschil is in de ware populatiegemiddelden.
Als dit getal erg groot is, geeft dat aan dat er een kleinere kans is dat onze
nulhypothese waar is.
Als dit getal erg klein is, dan komt variatie binnen elke groep een groter
onderdeel is van de totale variatie dan de variatie tussen groepen.
Dat betekent dat variatie binnen groepen een groter % is van de totale variatie dan
vs de variatie tussen de groepen.
Dat geeft aan dat, een verschil in groeps- gemiddelden waarschijnlijk toeval is.
En dat maakt het moeilijker om de nul- hypothese te verwerpen.
Laten we het voor dit voorbeeld uitrekenen
in dit geval is onze kwadratensom tussen groepen 24 en we hadden 2 vrijheidsgraden.
en onze kwadratensom binnen groepen was 6 en onze vrijheidsgraden waren ook 6.
24/2=12 /1 = 12
Dus onze F-statistiek is 12. Dit staat voor Fischer, de bedenker.
Onze F-statistiek is 12. Dit is een vrij hoog getal.
1 ding ben ik vergeten te zeggen, in elke hypothese toets moet er een significantie
niveau zijn. Laten we ons signifiacntie niveau op 10% zetten.
Wat betekent dat als we aannemen dat de nulhypothese waar is dan is er een
kans van minder dan 10% om deze waarde, deze F-statistiek te vinden dat we hebben.
Deze F-statistiek
Dan verwerpen we de nulhypothese
Dus wat we willen doen is een kritische F-statistiek waarde die --
Dat we zo een waarde of extremer vinden met een kans van 10%.
En als deze groter is dan onze kritische F waarde dan verwerpen we de nulhypothese.
Als deze kleiner is kunnen we niet de nul- hypothese verwerpen.
Ik wil niet ingaan op de details van de F-statistiek maar je kan op prijs stellen
dat elke kwadratensom chi kwadraat verdeeld is.
Dit heeft een chi kwadraat verdeling endit heeft een andere chi kwadraat verdeling.
Deze heeft twee vrijheidsgraden
Deze heeft ongeveer zes vrijheidsgraden.
De F-verdeling is een ratio van twee chi kwadraat verdelingen.
en ik heb deze F-tabel, en zo ziet de F verdeling eruit.
En deze ziet er anders uit bij andere vrijheidsgraden in de teller of noemer.
Er zijn 2 vrijheidsgraden om over na te denken.
Met dat in gedachten laten we de kritische F-waarde berekenen.
De kritische F-waarde voor alpha=0.10
En je zal verschillende F-tabellen zien Voor verschillende alpha's
waarbij onze teller vrijheidsgraden 2 zijn en onze noemer vrijheidsgraden 6 zijn.
Deze hele tabel is voor een alpha van 0.10
En onze teller vrijheidsgraden is 2 en onze noemer vrijheidsgraden is 6.
Dus onze kritische F-waarde is 3.46
De waarde die wij hebben gekregen is veel hoger dan deze en heeft dus een erg kleine
p-waarde. De kans om zoiets extreems te vinden per toeval aannemend dat de nul-
hypothese waar is, is erg klein.
Daarom kunnen we de nulhypothese verwerpen en kunnen we concluderen dat de populatie
gemiddelden verschillen. Dat geeft aan dat er een verschil is in prestatie op de test
als je de verschillende voedseltypes toedient.