Sprowadzanie trójmianu kwadratowego do postaci iloczynowej

Factoring Quadratic Expressions

Zrobimy teraz kilka przykładów
jak przedstawić trójmian kwadratowy

w postaci iloczynowej - czasem
na trójmian kwadratowy mówi się

po prostu trójmian, albo wielomian
kwadratowy.

A czasem wyrażenie kwadratowe,

ale to wszystko oznacza to

samo - trójmian kwadratowy.

Wielomian, w którym zmienna

występuje w kwadracie.

IWe wszystkich przykładach, które
zrobimy teraz, tą zmienną będzie x.

Powiedzmy, że mam trójmian
kwadratowy, x

kwadrat dodać 10x, dodać 9.

I chcę rozłożyć to wyrażenie na iloczyn
dwóch dwumianów w zmiennej x.

Jak to zrobić?

Zastanówmy się, co by było,

wzięli x plus a i pomnożyli
przez x plus b.

Co otrzymamy z mnożenia x plus a
przez x plus b?

Mamy już doświadczenie, jak to
zrobić.

To będzie x razy x, czyli
x kwadrat, plus x razy b,

to jest bx, plus a razy x,
plus a razy b-- plus ab.

Teraz dodamy te dwa wyrazy
tu po środku,

ponieważ oba dają wkład do
współczynnka przy x.

Możemy to zapisać jako x kwadrat
plus-- zapiszę to jako

b plus a, albo a plus
b, razy x, plus ab.

Ogólnie, jeśli to jest iloczyn

dwóch dwumianów, widzimy że
środkowy współczynnik, przy x,

możemy go nazwać współczynnikiem
pierwszego rzędu

będzie sumą a i b.

A wyraz stały będzie iloczynem,

a razy b.

Zauważcie, to odpowiada temu,

a to temu.

I to ocywiście jest tym samym,
co to.

Widzimy podobieństwo pomiędzy
tymi dwoma wyrażeniami?

Gdyby istniały takie a i b,
że ich suma równa się 10?

A iloczyn byłby równy 9?

Zastanówmy się przez chwilę.

Na jakie czynniki można rozłożyć 9?

Ile mogą wynosić a i b?

Załóżmy, że szukamy liczb całkowitych.

Kiedy szukamy rozkładu na czynniki,

przynajmniej na początku,
szukamy

liczb całkowitych.

Więc na jakie całkowite czynniki rozkłada
sie 9?

Na 1, 3, oraz 9.

Więc rozwiązaniem może być 3 i 3,
albo 1 i 9.

Gdyby rozwiązaniem było 3 i 3, wtedy
suma wuniosłaby 3 plus 3-- a to

nie równa się 10.

Ale, jeśli weźmiemy 1
i 9, 1 razy 9 równa się 9.

A 1 plus 9 równa się 10.

Więc to działa.

A zatem a może być równe 1,
a b może być równe 9

Możemy przedstawić ten trójmian
kwadratowy jako x plus 1,

razy x plus 9.

Pomnóżcie teraz te dwa wyrazy,
korzystając z tego, czego nauczyliście

się oglądając poprzednie filmy,
i upewnijcie się

że wynik rzeczywiście będzie x kwadrat plus
10x, plus 9.

Jeśli napotkacie takie zadanie,
w którym współczynnik

przy wyrazie x kwadrat, albo wiodącym
wyrazie tego trójmianu

wynosi 1, możecie zawsze powiedziec,
dobrze, jakie

dwie liczby dodają się to tego
współczynnika

I czy te same dwie liczby, jeśli je pomnożyć

dadzą w wyniku wyraz stały, 9.

Oczywiście trzeba najpierw sprowadzić
trójmian do postaci standardowej.

A jeśli nie jest w postaci standardowej,
trzeba go do takiej postaci

sprowwadzić, żeby móc powiedzieć,

ile by nie wynosił współczynnik
przy x, moje a i b,

muszą się do niego dodać.

I ile by nie wynosił wyraz stały,
to a razy b, ich iloczyn musi

być jemu równy.

Zróbmy jeszcze kilka przykładów.

Im więcej przykładów zrobimy

tym łatwiej będzie zrozumieć,
jak to działa.

Mamy trójmian kwadratowy, x kwadrat
plus 10x, plus-- powiedzmy, niech będzie,

mieliśmy już 10x, weźmy tym razem
inną liczbę-- x kwadrat

dodać 15x, dodać 50.

I chcemy to przedstawić w postaci iloczynowej.

Tak samo jak poprzednio.

May wyraz kwadratowy.

mamy wyraz pierwszego rzędu.

Ten współczynnik powinien być
sumą dwóch wyrazów.

A ten wyraz stały

powinien być ilozynem tych samych
wyrazów.

Musimy więc znaleźć dwie takie liczby,
które po pomnożeniu

dadzą 50, a kiedy je dodamy,
otrzymamy 15.

Przypomina to trochę sztukę, której
powinniście się

nauczyć, ale gdy zrobimy więcej
przykładów, przekonacie się

że można to rozwiązać zupełnie
naturalnie.

Czemu mogą być równe a i b?

Na jakie czynniki można rozłożyć 50.

Może 1 razy 50?

I jeszcze 2 razy 25.

Teraz tak, 50 nie dzieli się
przez 4.

Może być jeszcze 5 razy 10.

To już chyba wszystkie możliwości.

Zobaczmy teraz czy któraś z tych
par liczb

dodaje się do 15.

1 plus 50 nie równa się 15.

2 plus 25 też nie równa się 15.

Ale 5 plus 10 równa się 15!

A więc ten wyraz byłby równy 5 plus 10, a
ten byłby równy 5 razy 10.

A więc, w postaci iloczynowej,
to sie równa x plus

5, razy x plus 10.

A teraz pomnóżcie to.

Zachęcam Was, żebyście to pomnożyli
i przekonali się że wynik

rzeczywiście równa się x kwadrat plus
15x, plus 10.

Zróbmy to teraz, zróbmy to. x
razy x, x kwadrat. x

razy 10, plus 10x.

5 razy x, plus 5x.

5 razy 10, plus 50.

Zauważyliście że 5 razy
10 dało nam w wyniku 50?

5x dodać 10x, to daje nam
15x tutaj pomiędzy.

Więc rzeczywiście otrzymujemy
x kwadrat plus
15x, plus 50.

Zróbmy teraz trudniejsze zadanie,
w któym

pojawi się znak minu.

Mamy trójmian x kwadrat
minus 11x, plus 24.

Zastosuję dokładnie tą samą
zasadę.

Powinienem znaleźć dwie liczby
które, jeśli je dodam

powinny dać w rezultacie
minus 11.

a plus b powinno równać się
minus 11.

I a razy b powinno
być równe 24.

A teraz zastanówmy się.

Jeśli pomnożę te dwie
liczby, dostanę

liczbę dodatnią.

powinienem otrzymać 24.

To oznacza, że obie te liczby
muszą być dodatnie, albo

obie muszą być ujemne.

Tylko w taki sposób otrzymam liczbę
dodatnią jako ich iloczyn.

A teraz, jeśli je dodam, otrzymam
liczbę ujemną, a jeśli

te liczby byłyby dodatnie, wynik
dodawania nie mógłby być

liczbą ujemną, a więc
z faktu że ich suma jest

ujemna i z faktu, że ich
iloczyn jest dodatni

wynika, że obie liczby a
i be są ujemne.

a i b muszą być ujemne.

Pamiętajcie, jedna nie może
być ujemna, a druga

dodatnia, bo wtedy ich iloczyn
będzie liczbą ujemną.

I obie nie mogą być dodatnie,
ponieważ kiedy dodasz

dwie liczby dodatnie, wynik
będzie liczbą dodatnią.

Zastanówmy się teraz ile mogą
wynosić a i b.

To są dwie liczby ujemne.

Na jakie czynniki rozkłada
się 24.

I będziemy musieli wziąć pod
uwagę czynniki ujemne.

Zobaczmy, to może być 1 razy 24,
2 razy 11, to może być też 3

razy 8, albo 4 razy 6.

Teraz, które z tych liczb,
kiedy je pomnoże -no tak,

jasne jest, że jeśli pomnożę
1 razy 24, dostanę 24.

Kiedy pomnoże 2 razy 11 -- przepraszam,
powinno być 2 razy 12.

Dostanę 24.

Wiemy, że wszystkie te iloczyny
dadzą 24.

Ale które z nich, które z tych
par, jeśli je dodam,

otrzymam 11?

A wtedy weźmiemy odpowiednio

liczby ujemne z tej pary.

Jak patrzę na to, od
razu widzę, że to będzie 3 i 8.

3 razy 8 równa się 24.

3 plus 8 równa się 11.

Ale to jeszcze nie koniec,
prawda?

Ponieważ mamy tutaj minus 11.

A co będzie, jeśli weźmiemy
minus 3 i minus 8?

Minus 3 razy minus 8
równa się plus 24.

Minus 3 dodać minus 8
równa się minus 11.

Czyli minus 3 i minus 8
działa.

Jeśli chcemy przedstawić to w
postaci iloczynowej, x kwadrat
minus 11x plus 24

będzie równe x minus 3 razy x
minus 8.

Zróbmy jeszcze jeden taki przykład.

A właściwie, to będzie trochę
inny przykład.

Powiedzmy, że mam x kwadrat
plus 5 x minus 14.

Mamy teraz jeszcze inną sytuację.

Iloczyn moich dwóch liczb jest
ujemny, tak? a razy b

równa się minus 14.

Mój iloczyn jest liczbą ujemną.

To oznacza, że jedna z nich jest
dodatnia, a druga

jest ujemna.

A kiedy je dodam, a plus
b, ma być równe 5.

Zastanówmy się nad czynnikami,
na jakie rozkłada się 14.

I jaka ich kombinacja, po dodaniu,
jeśli jeden z nich

jest dodatni, a drugi ujemny,
a właściwie mówię o ich

różnicy, da w wyniku 5?

Weźmy 1 i 14 - mam zamiar
sprawdzić -

1 and 14, minus 1 plus
14 jest 13.

Minus 1 plus 14 jest 13.

Wypisze wszystkie kombinacje,
które wchodzą w grę.

W pewnym momencie Twój mózg
zrobi to sam, w głowie.

Mamy minus 1 plus 14 równa się
13.

I 1 dodać minus 14 równa
się minus 13/

A więc to nie działa.

Nie równa się 5.

A co z 2 i 7?

Jeśli wezmę minus 2-- zapiszę to
w innym kolorze -- jeśli

wezzmę minus 2 plus 7,
to to równa się 5.

Gotowe!

Zadziałało!

Oczywiście mogę spróbować też
2 dodać minus 7, ale to będzie

równe minus 5, a więc to nie
będzie działać.

Ale minus 2 plus 7 działa.

I minus 2 razy
7 równa się minus 14.

Już to mamy.

Wiemy, że to będzie x minus
2, razy x plus 7.

To jest bardzo przyjemne.

Minus 2 razy 7
wynosi minus 14.

minus 2 plus 7
równa się 5.

Zróbmy jeszcze kilka takich przykładów

żeby to naprawdę dobrze opanować.

Powiedzmy, że mamy x kwadrat
minus x, minus 56.

Iloczyn tych dwóch liczb musi
równać się minus 56,

musi wynosić minus 56.

I ich różnica, bo jedna musi być dodatnia,

a druga ujemna, tak?

Ich różnica musi być równa minus 1.

Natychmiast przychodzi mi do

głowy -- nie jestem do końca pewien, czy i Wam
też to przychodzi do głowy

właśnie poznaliśmy tabliczkę mnożenia --

że 56 równa się 8 razy 7.

Oczywiście, są też inne liczby.

Na przykład 28 razy 2.

I jeszcze różne inne.

Ale 8 razy 7 przyszło mi do
głowy dlatego, że

są bliskie jedna drugiej.

A my potrzebujemy dwóch liczb,
które są bardzo bliskie jedna drugiej.

I jedna z nich musi być
ujemna, a druga

musi być dodatnia.

Fakt, że ich suma jest ujemna,
mówi mi że

to tą większą z nich trzeba będzie
wziąć ze znakiem minus.

Więc jeśli weźmiemy minus
8 razy 7, to jest

równe minus 56.

A potem, jeśli weźmiemy minus 8 plus
7, to to jest równe

minus 1, a to jest dokładnie
ten współczynnik tutaj.

I więc w postaci iloczynowej, to
będzie x minus 8,

razy x plus 7.

Często okazuje się że jest to jeden
z najtrudniejszych momentów

w nauce algebry, bo jest to
tak jakby sztuka.

Musicie przyjrzeć się wszystkim
możliwym czynnikom, próbować

brać je ze znakiem plus i minus,
i sprawdzać które z tych czynników,

kiedy jeden z nich jest ujemny,
a drugi dodatni, dodadzą się

do współczynnika w wyrazie z x.

Ale jeśli zrobicie sami
wiele przykładów, przekonacie się

że takie myślenie stanie się
Waszą drugą naturą.

A teraz podnieśmy barierę jeszcze
wyżej.

Powiedzmy że mam minus x kwadrat --
wszystko, z czym mieliśmy do czynienia

do tej pory miało liczbę
dodatnią, plus 1,

jako współczymmik przy wyrazie
x kwadrat.

Ale powiedzmy, że mamy minus
x kwadrat

minus 5x, plus 24.

Jak to teraz przekształcić?

No cóż, najłatwiejsza metoda,
jaką znam, polega na tym, żeby
wyłączyć

czynnik minus 1 przed nawias, po czym
będziemy mieli do czynienia z zadaniem

dokładnie tego samego rodzaju, co te
zrobione poprzednio.

To jest dokładnie to samo, co
minus 1 razy plus x

kwadrat, plus 5x, minus 24.

Zgadza się?

Po prostu wyciągnąłem
czynnik minus 1 przed nawias.

Możecie teraz pomnożyć to
całe wyrażenie przez minus 1

i przekonać sie że otrzymacie to samo.

Można też wyciągnąć minus 1

a potem podzielić przez minus 1.

I znowu otrzymamy to samo.

A teraz, tak samo jak poprzednio.

Potrzebuje znaleźć dwie takie liczby,
których iloczyn równa się

minus 24.

Jedna będzie dodatnia,
a druga ujemna.

A kiedy je dodam, powinienem
otrzymać 5.

Zastanówmy się,
24 równa się 1 razy 24.

Zobaczmy, gdyby to było minus 1
i 24, suma równa się plus 23,

a gdyby było na odwrót,
dostalibyśmy minus 23.

Nie działa.

A co z 2 i 12?

No tak, gdyby to było ujemne --
pamiętajcie, jedna z tych dwóch liczb

musi być ujemna.

Jeśli to 2 miałoby być ujemne, ich
suma byłaby równa 10.

Jeśli to 12 jest ujemne, ich
suma równa się minus 10.

Też nie działa.

3 i 8.

Jeśli to 3 będzie ujemne,
ich suma wyniesie 5.

A więc to działa!

Jeśli weźmiemy minus 3
8, minus 3 i 8 spełniają wszystkie warunki.

Ponieważ minus 3
3 plus 8 wynosi 5.

A minus 3 razy 8
równa się minus 24.

A więc to będzie równe -- nie
wolno zapomnieć

o tym minus 1 z przodu, a my
zapisujemy w postaci iloczynowej to,
co jest w środku.

Minus 1 razy x minus
3, razy x plus 8.

Jesli chcecie, możecie
pomnożyć to

przez minus 1, wtedy bedziemy
mieli 3

minus x jeśli tak to zrobimy.

Ale nie musimy tak zrobić.

To teraz zróbmy jeszcze jeden
przykład.

Sądzę, że im więcej przykładów
tym lepiej.

OK, powiedzmy, że mam
minus x kwadrat

plus 18x, minus 72.

Tak jak poprzednio, wyciągniemy
minus 1 przed nawias.

To będzie równe minus 1 razy
x kwadrat

minus 18x, plus 72.

Teraz musimy pomyśleć o dwóch
liczbach, takich że jeśli

je pomnożę, otrzymam plus 72.

A więc obie muszą mieć ten
sam znak.

To sprawia że łatwiej je znaleźć,
przynajmniej dla mnie łatwiej.

Po pomnożeniu
mam otrzymać plus 72.

A kiedy je dodam, w
wyniku mam otrzymać minus 18.

Obie mają ten sam znak, a ich
suma jest liczbą

ujemną, więc obie muszą
być ujemne.

Teraz moglibyśmy sprawdzić wszystkie
czynniki, na jakie rozkłada się 72.

Ale od razu przychodzi mi do głowy
8 razy 9,

ale 8 razy 9, a właściwie minus 8
razy minus 9, albo minus 8 dodać

minus 9, wcale nie działa.

Bo wychodzi 17.

Prawie, ale nie to.

Pokażę wam to.

Minus 9 dodać minus 8, to
równa się minus 17.

Blisko, ale jeszcze za wcześnie otwierać szampana.

Jakie mamy inne możliwości?

Mamy 6 i 12.

To wygląda całkiem dobrze.

Jeśli weźmiemy minus 6 i dodamy
minus 12, otrzymamy

minus 18.

Jak widzicie, w tym jest trochę sztuki.

Trzeba próbować różnych możliwości.

A więc będziemy mieli minus
1-- nie możemy o tym zapomnieć

-- razy x minus 6,
razy x minus 12.