1
00:00:00,000 --> 00:00:00,036


2
00:00:00,036 --> 00:00:03,087
Zrobimy teraz kilka przykładów
jak przedstawić trójmian kwadratowy

3
00:00:03,087 --> 00:00:06,058
w postaci iloczynowej - czasem 
na trójmian kwadratowy mówi się

4
00:00:06,058 --> 00:00:08,086
po prostu trójmian, albo wielomian 
kwadratowy.

5
00:00:08,086 --> 00:00:12,065
A czasem wyrażenie kwadratowe,

6
00:00:12,065 --> 00:00:15,084
ale to wszystko oznacza to

7
00:00:15,084 --> 00:00:18,030
samo - trójmian kwadratowy.

8
00:00:18,030 --> 00:00:22,044
Wielomian, w którym zmienna

9
00:00:22,044 --> 00:00:23,007
występuje w kwadracie.

10
00:00:23,007 --> 00:00:26,046
IWe wszystkich przykładach, które 
zrobimy teraz, tą zmienną będzie x.

11
00:00:26,046 --> 00:00:30,073
Powiedzmy, że mam trójmian
kwadratowy, x

12
00:00:30,073 --> 00:00:35,028
kwadrat dodać 10x, dodać 9.

13
00:00:35,028 --> 00:00:39,086
I chcę rozłożyć to wyrażenie na iloczyn 
dwóch dwumianów w zmiennej x.

14
00:00:39,086 --> 00:00:41,052
Jak to zrobić?

15
00:00:41,052 --> 00:00:44,043
Zastanówmy się, co by było,

16
00:00:44,043 --> 00:00:51,068
wzięli x plus a i pomnożyli
przez x plus b.

17
00:00:51,068 --> 00:00:55,004
Co otrzymamy z mnożenia x plus a
przez x plus b?

18
00:00:55,004 --> 00:00:57,009
Mamy już doświadczenie, jak to
zrobić.

19
00:00:57,009 --> 00:01:03,017
To będzie x razy x, czyli
x kwadrat, plus x razy b,

20
00:01:03,017 --> 00:01:12,068
to jest bx, plus a razy x,
plus a razy b-- plus ab.

21
00:01:12,068 --> 00:01:15,079
Teraz dodamy te dwa wyrazy
tu po środku,

22
00:01:15,079 --> 00:01:18,089
ponieważ oba dają wkład do 
współczynnka przy x.

23
00:01:18,089 --> 00:01:22,010
Możemy to zapisać jako x kwadrat
plus-- zapiszę to jako

24
00:01:22,010 --> 00:01:29,070
b plus a, albo a plus
b, razy x, plus ab.

25
00:01:29,070 --> 00:01:34,039
Ogólnie, jeśli to jest iloczyn

26
00:01:34,039 --> 00:01:40,076
dwóch dwumianów, widzimy że
środkowy współczynnik, przy x,

27
00:01:40,076 --> 00:01:43,025
możemy go nazwać współczynnikiem
pierwszego rzędu

28
00:01:43,025 --> 00:01:49,004
będzie sumą a i b.

29
00:01:49,004 --> 00:01:51,035
A wyraz stały będzie iloczynem,

30
00:01:51,035 --> 00:01:52,051
a razy b.

31
00:01:52,051 --> 00:01:57,029
Zauważcie, to odpowiada temu,

32
00:01:57,029 --> 00:01:58,079
a to temu.

33
00:01:58,079 --> 00:02:02,059
I to ocywiście jest tym samym, 
co to.

34
00:02:02,059 --> 00:02:05,059
Widzimy podobieństwo pomiędzy
tymi dwoma wyrażeniami?

35
00:02:05,059 --> 00:02:14,006
Gdyby istniały takie a i b,
że ich suma równa się 10?

36
00:02:14,006 --> 00:02:22,006
A iloczyn byłby równy 9?

37
00:02:22,006 --> 00:02:23,084
Zastanówmy się przez chwilę.

38
00:02:23,084 --> 00:02:25,046
Na jakie czynniki można rozłożyć 9?

39
00:02:25,046 --> 00:02:27,077
Ile mogą wynosić a i b?

40
00:02:27,077 --> 00:02:29,016
Załóżmy, że szukamy liczb całkowitych.

41
00:02:29,016 --> 00:02:32,034
Kiedy szukamy rozkładu na czynniki,

42
00:02:32,034 --> 00:02:33,094
przynajmniej na początku,
szukamy

43
00:02:33,094 --> 00:02:35,058
liczb całkowitych.

44
00:02:35,058 --> 00:02:37,008
Więc na jakie całkowite czynniki rozkłada 
sie 9?

45
00:02:37,008 --> 00:02:40,072
Na 1, 3, oraz 9.

46
00:02:40,072 --> 00:02:45,000
Więc rozwiązaniem może być 3 i 3,
albo 1 i 9.

47
00:02:45,000 --> 00:02:48,062
Gdyby rozwiązaniem było 3 i 3, wtedy
suma wuniosłaby 3 plus 3-- a to

48
00:02:48,062 --> 00:02:49,084
nie równa się 10.

49
00:02:49,084 --> 00:02:53,075
Ale, jeśli weźmiemy 1
i 9, 1 razy 9 równa się 9.

50
00:02:53,075 --> 00:02:56,066
A 1 plus 9 równa się 10.

51
00:02:56,066 --> 00:02:57,056
Więc to działa.

52
00:02:57,056 --> 00:03:04,018
A zatem a może być równe 1, 
a b może być równe 9

53
00:03:04,018 --> 00:03:08,091
Możemy przedstawić ten trójmian 
kwadratowy jako x plus 1,

54
00:03:08,091 --> 00:03:12,096
razy x plus 9.

55
00:03:12,096 --> 00:03:15,084
Pomnóżcie teraz te dwa wyrazy, 
korzystając z tego, czego nauczyliście

56
00:03:15,084 --> 00:03:18,096
się oglądając poprzednie filmy,
i upewnijcie się

57
00:03:18,096 --> 00:03:22,087
że wynik rzeczywiście będzie x kwadrat plus
10x, plus 9.

58
00:03:22,087 --> 00:03:25,015
Jeśli napotkacie takie zadanie,
w którym współczynnik

59
00:03:25,015 --> 00:03:28,006
przy wyrazie x kwadrat, albo wiodącym
wyrazie tego trójmianu

60
00:03:28,006 --> 00:03:31,065
wynosi 1, możecie zawsze powiedziec,
dobrze, jakie

61
00:03:31,065 --> 00:03:34,053
dwie liczby dodają się to tego 
współczynnika

62
00:03:34,053 --> 00:03:37,071


63
00:03:37,071 --> 00:03:39,087
I czy te same dwie liczby, jeśli je pomnożyć

64
00:03:39,087 --> 00:03:41,065
dadzą w wyniku wyraz stały, 9.

65
00:03:41,065 --> 00:03:43,050
Oczywiście trzeba najpierw sprowadzić
trójmian do postaci standardowej.

66
00:03:43,050 --> 00:03:46,000
A jeśli nie jest w postaci standardowej,
trzeba go do takiej postaci

67
00:03:46,000 --> 00:03:48,050
sprowwadzić, żeby móc powiedzieć,

68
00:03:48,050 --> 00:03:51,053
ile by nie wynosił współczynnik
przy x, moje a i b,

69
00:03:51,053 --> 00:03:52,030
muszą się do niego dodać.

70
00:03:52,030 --> 00:03:55,088
I ile by nie wynosił wyraz stały,
to a razy b, ich iloczyn musi

71
00:03:55,088 --> 00:03:56,037
być jemu równy.

72
00:03:56,037 --> 00:03:58,015
Zróbmy jeszcze kilka przykładów.

73
00:03:58,015 --> 00:04:00,050
Im więcej przykładów zrobimy

74
00:04:00,050 --> 00:04:02,062
tym łatwiej będzie zrozumieć, 
jak to działa.

75
00:04:02,062 --> 00:04:08,069
Mamy trójmian kwadratowy, x kwadrat
plus 10x, plus-- powiedzmy, niech będzie,

76
00:04:08,069 --> 00:04:11,009
mieliśmy już 10x, weźmy tym razem
inną liczbę-- x kwadrat

77
00:04:11,009 --> 00:04:15,036
dodać 15x, dodać 50.

78
00:04:15,036 --> 00:04:17,047
I chcemy to przedstawić w postaci iloczynowej.

79
00:04:17,047 --> 00:04:20,033
Tak samo jak poprzednio.

80
00:04:20,033 --> 00:04:22,060
May wyraz kwadratowy.

81
00:04:22,060 --> 00:04:25,012
mamy wyraz pierwszego rzędu.

82
00:04:25,012 --> 00:04:27,095
Ten współczynnik powinien być
sumą dwóch wyrazów.

83
00:04:27,095 --> 00:04:30,062
A ten wyraz stały

84
00:04:30,062 --> 00:04:32,087
powinien być ilozynem tych samych
wyrazów.

85
00:04:32,087 --> 00:04:35,063
Musimy więc znaleźć dwie takie liczby,
które po pomnożeniu

86
00:04:35,063 --> 00:04:39,022
dadzą 50, a kiedy je dodamy,
otrzymamy 15.

87
00:04:39,022 --> 00:04:41,091
Przypomina to trochę sztukę, której
powinniście się

88
00:04:41,091 --> 00:04:44,052
nauczyć, ale gdy zrobimy więcej
przykładów, przekonacie się

89
00:04:44,052 --> 00:04:45,073
że można to rozwiązać zupełnie
naturalnie.

90
00:04:45,073 --> 00:04:47,032
Czemu mogą być równe a i b?

91
00:04:47,032 --> 00:04:48,097
Na jakie czynniki można rozłożyć 50.

92
00:04:48,097 --> 00:04:52,023
Może 1 razy 50?

93
00:04:52,023 --> 00:04:55,007
I jeszcze 2 razy 25.

94
00:04:55,007 --> 00:04:57,051
Teraz tak, 50 nie dzieli się
przez 4.

95
00:04:57,051 --> 00:05:02,044
Może być jeszcze 5 razy 10.

96
00:05:02,044 --> 00:05:03,057
To już chyba wszystkie możliwości.

97
00:05:03,057 --> 00:05:05,092
Zobaczmy teraz czy któraś z tych
par liczb

98
00:05:05,092 --> 00:05:07,031
dodaje się do 15.

99
00:05:07,031 --> 00:05:12,062
1 plus 50 nie równa się 15.

100
00:05:12,062 --> 00:05:16,016
2 plus 25 też nie równa się 15.

101
00:05:16,016 --> 00:05:19,025
Ale 5 plus 10 równa się 15!

102
00:05:19,025 --> 00:05:24,027
A więc ten wyraz byłby równy 5 plus 10, a
ten byłby równy 5 razy 10.

103
00:05:24,027 --> 00:05:28,075
A więc, w postaci iloczynowej,
to sie równa x plus

104
00:05:28,075 --> 00:05:32,062
5, razy x plus 10.

105
00:05:32,062 --> 00:05:33,083
A teraz pomnóżcie to.

106
00:05:33,083 --> 00:05:36,070
Zachęcam Was, żebyście to pomnożyli
i przekonali się że wynik

107
00:05:36,070 --> 00:05:39,066
rzeczywiście równa się x kwadrat plus
15x, plus 10.

108
00:05:39,066 --> 00:05:43,031
Zróbmy to teraz, zróbmy to. x
razy x, x kwadrat. x

109
00:05:43,031 --> 00:05:45,080
razy 10, plus 10x.

110
00:05:45,080 --> 00:05:48,060
5 razy x, plus 5x.

111
00:05:48,060 --> 00:05:51,062
5 razy 10, plus 50.

112
00:05:51,062 --> 00:05:55,022
Zauważyliście że 5 razy
10 dało nam w wyniku 50?

113
00:05:55,022 --> 00:06:00,088
5x dodać 10x, to daje nam
15x tutaj pomiędzy.

114
00:06:00,088 --> 00:06:06,056
Więc rzeczywiście otrzymujemy 
x kwadrat plus
15x, plus 50.

115
00:06:06,056 --> 00:06:09,043
Zróbmy teraz trudniejsze zadanie,
w któym

116
00:06:09,043 --> 00:06:11,004
pojawi się znak minu.

117
00:06:11,004 --> 00:06:18,088
Mamy trójmian x kwadrat
minus 11x, plus 24.

118
00:06:18,088 --> 00:06:21,061
Zastosuję dokładnie tą samą
zasadę.

119
00:06:21,061 --> 00:06:24,057
Powinienem znaleźć dwie liczby
które, jeśli je dodam

120
00:06:24,057 --> 00:06:26,056
powinny dać w rezultacie
minus 11.

121
00:06:26,056 --> 00:06:30,014
a plus b powinno równać się
minus 11.

122
00:06:30,014 --> 00:06:37,089
I a razy b powinno
być równe 24.

123
00:06:37,089 --> 00:06:41,029
A teraz zastanówmy się.

124
00:06:41,029 --> 00:06:43,095
Jeśli pomnożę te dwie
liczby, dostanę

125
00:06:43,095 --> 00:06:45,007
liczbę dodatnią.

126
00:06:45,007 --> 00:06:46,095
powinienem otrzymać 24.

127
00:06:46,095 --> 00:06:50,025
To oznacza, że obie te liczby
muszą być dodatnie, albo

128
00:06:50,025 --> 00:06:51,037
obie muszą być ujemne.

129
00:06:51,037 --> 00:06:55,005
Tylko w taki sposób otrzymam liczbę
dodatnią jako ich iloczyn.

130
00:06:55,005 --> 00:06:58,029
A teraz, jeśli je dodam, otrzymam
liczbę ujemną, a jeśli

131
00:06:58,029 --> 00:07:00,072
te liczby byłyby dodatnie, wynik
dodawania nie mógłby być

132
00:07:00,072 --> 00:07:03,027
liczbą ujemną, a więc
z faktu że ich suma jest

133
00:07:03,027 --> 00:07:05,075
ujemna i z faktu, że ich
iloczyn jest dodatni

134
00:07:05,075 --> 00:07:10,042
wynika, że obie liczby a
i be są ujemne.

135
00:07:10,042 --> 00:07:13,019
a i b muszą być ujemne.

136
00:07:13,019 --> 00:07:15,073
Pamiętajcie, jedna nie może
być ujemna, a druga

137
00:07:15,073 --> 00:07:18,070
dodatnia, bo wtedy ich iloczyn
będzie liczbą ujemną.

138
00:07:18,070 --> 00:07:22,068
I obie nie mogą być dodatnie,
ponieważ kiedy dodasz

139
00:07:22,068 --> 00:07:24,051
dwie liczby dodatnie, wynik
będzie liczbą dodatnią.

140
00:07:24,051 --> 00:07:27,050
Zastanówmy się teraz ile mogą
wynosić a i b.

141
00:07:27,050 --> 00:07:28,099
To są dwie liczby ujemne.

142
00:07:28,099 --> 00:07:31,025
Na jakie czynniki rozkłada 
się 24.

143
00:07:31,025 --> 00:07:33,013
I będziemy musieli wziąć pod
uwagę czynniki ujemne.

144
00:07:33,013 --> 00:07:44,067
Zobaczmy, to może być 1 razy 24,
2 razy 11, to może być też 3

145
00:07:44,067 --> 00:07:48,006
razy 8, albo 4 razy 6.

146
00:07:48,006 --> 00:07:51,022
Teraz, które z tych liczb, 
kiedy je pomnoże -no tak,

147
00:07:51,022 --> 00:07:54,037
jasne jest, że jeśli pomnożę
1 razy 24, dostanę 24.

148
00:07:54,037 --> 00:07:58,091
Kiedy pomnoże 2 razy 11 -- przepraszam,
powinno być 2 razy 12.

149
00:07:58,091 --> 00:07:59,079
Dostanę 24.

150
00:07:59,079 --> 00:08:03,008
Wiemy, że wszystkie te iloczyny
dadzą 24.

151
00:08:03,008 --> 00:08:07,047
Ale które z nich, które z tych
par, jeśli je dodam,

152
00:08:07,047 --> 00:08:08,079
otrzymam 11?

153
00:08:08,079 --> 00:08:09,087
A wtedy weźmiemy odpowiednio

154
00:08:09,087 --> 00:08:11,044
liczby ujemne z tej pary.

155
00:08:11,044 --> 00:08:15,047
Jak patrzę na to, od
razu widzę, że to będzie 3 i 8.

156
00:08:15,047 --> 00:08:19,014
3 razy 8 równa się 24.

157
00:08:19,014 --> 00:08:22,081
3 plus 8 równa się 11.

158
00:08:22,081 --> 00:08:24,068
Ale to jeszcze nie koniec,
prawda?

159
00:08:24,068 --> 00:08:26,050
Ponieważ mamy tutaj minus 11.

160
00:08:26,050 --> 00:08:29,068
A co będzie, jeśli weźmiemy
minus 3 i minus 8?

161
00:08:29,068 --> 00:08:37,078
Minus 3 razy minus 8
równa się plus 24.

162
00:08:37,078 --> 00:08:43,058
Minus 3 dodać minus 8
równa się minus 11.

163
00:08:43,058 --> 00:08:46,060
Czyli minus 3 i minus 8
działa.

164
00:08:46,060 --> 00:08:53,084
Jeśli chcemy przedstawić to w
postaci iloczynowej, x kwadrat
minus 11x plus 24

165
00:08:53,084 --> 00:09:02,094
będzie równe x minus 3 razy x 
minus 8.

166
00:09:02,094 --> 00:09:06,026
Zróbmy jeszcze jeden taki przykład.

167
00:09:06,026 --> 00:09:08,033
A właściwie, to będzie trochę 
inny przykład.

168
00:09:08,033 --> 00:09:19,080
Powiedzmy, że mam x kwadrat
plus 5 x minus 14.

169
00:09:19,080 --> 00:09:21,076
Mamy teraz jeszcze inną sytuację.

170
00:09:21,076 --> 00:09:26,046
Iloczyn moich dwóch liczb jest
ujemny, tak? a razy b

171
00:09:26,046 --> 00:09:28,019
równa się minus 14.

172
00:09:28,019 --> 00:09:29,091
Mój iloczyn jest liczbą ujemną.

173
00:09:29,091 --> 00:09:32,092
To oznacza, że jedna z nich jest
dodatnia, a druga

174
00:09:32,092 --> 00:09:33,090
jest ujemna.

175
00:09:33,090 --> 00:09:39,020
A kiedy je dodam, a plus
b, ma być równe 5.

176
00:09:39,020 --> 00:09:41,036
Zastanówmy się nad czynnikami,
na jakie rozkłada się 14.

177
00:09:41,036 --> 00:09:44,029
I jaka ich kombinacja, po dodaniu,
jeśli jeden z nich

178
00:09:44,029 --> 00:09:46,055
jest dodatni, a drugi ujemny,
a właściwie mówię o ich

179
00:09:46,055 --> 00:09:49,077
różnicy, da w wyniku 5?

180
00:09:49,077 --> 00:09:53,045
Weźmy 1 i 14 - mam zamiar
sprawdzić -

181
00:09:53,045 --> 00:10:01,082
1 and 14, minus 1 plus
14 jest 13.

182
00:10:01,082 --> 00:10:04,025
Minus 1 plus 14 jest 13.

183
00:10:04,025 --> 00:10:07,042
Wypisze wszystkie kombinacje,
które wchodzą w grę.

184
00:10:07,042 --> 00:10:09,044
W pewnym momencie Twój mózg
zrobi to sam, w głowie.

185
00:10:09,044 --> 00:10:16,049
Mamy minus 1 plus 14 równa się
13.

186
00:10:16,049 --> 00:10:20,046
I 1 dodać minus 14 równa
się minus 13/

187
00:10:20,046 --> 00:10:21,037
A więc to nie działa.

188
00:10:21,037 --> 00:10:22,095
Nie równa się 5.

189
00:10:22,095 --> 00:10:24,086
A co z 2 i 7?

190
00:10:24,086 --> 00:10:29,060
Jeśli wezmę minus 2-- zapiszę to
w innym kolorze -- jeśli

191
00:10:29,060 --> 00:10:35,028
wezzmę minus 2 plus 7,
to to równa się 5.

192
00:10:35,028 --> 00:10:35,075
Gotowe!

193
00:10:35,075 --> 00:10:36,066
Zadziałało!

194
00:10:36,066 --> 00:10:39,044
Oczywiście mogę spróbować też
2 dodać minus 7, ale to będzie

195
00:10:39,044 --> 00:10:41,007
równe minus 5, a więc to nie 
będzie działać.

196
00:10:41,007 --> 00:10:42,096
Ale minus 2 plus 7 działa.

197
00:10:42,096 --> 00:10:46,059
I minus 2 razy
7 równa się minus 14.

198
00:10:46,059 --> 00:10:47,060
Już to mamy.

199
00:10:47,060 --> 00:10:53,021
Wiemy, że to będzie x minus
2, razy x plus 7.

200
00:10:53,021 --> 00:10:54,033
To jest bardzo przyjemne.

201
00:10:54,033 --> 00:10:56,095
Minus 2 razy 7
wynosi minus 14.

202
00:10:56,095 --> 00:11:00,087
minus 2 plus 7
równa się 5.

203
00:11:00,087 --> 00:11:03,075


204
00:11:03,075 --> 00:11:07,067
Zróbmy jeszcze kilka takich przykładów

205
00:11:07,067 --> 00:11:09,051
żeby to naprawdę dobrze opanować.

206
00:11:09,051 --> 00:11:16,036
Powiedzmy, że mamy x kwadrat
minus x, minus 56.

207
00:11:16,036 --> 00:11:19,057
Iloczyn tych dwóch liczb musi
równać się minus 56,

208
00:11:19,057 --> 00:11:21,062
musi wynosić minus 56.

209
00:11:21,062 --> 00:11:24,042
I ich różnica, bo jedna musi być dodatnia,

210
00:11:24,042 --> 00:11:26,027
a druga ujemna, tak?

211
00:11:26,027 --> 00:11:28,035
Ich różnica musi być równa minus 1.

212
00:11:28,035 --> 00:11:30,012
Natychmiast przychodzi mi do

213
00:11:30,012 --> 00:11:31,089
głowy -- nie jestem do końca pewien, czy i Wam
też to przychodzi do głowy

214
00:11:31,089 --> 00:11:33,074
właśnie poznaliśmy tabliczkę mnożenia --

215
00:11:33,074 --> 00:11:36,048
że 56 równa się 8 razy 7.

216
00:11:36,048 --> 00:11:37,048
Oczywiście, są też inne liczby.

217
00:11:37,048 --> 00:11:39,095
Na przykład 28 razy 2.

218
00:11:39,095 --> 00:11:41,013
I jeszcze różne inne.

219
00:11:41,013 --> 00:11:44,029
Ale 8 razy 7 przyszło mi do 
głowy dlatego, że

220
00:11:44,029 --> 00:11:45,047
są bliskie jedna drugiej.

221
00:11:45,047 --> 00:11:47,073
A my potrzebujemy dwóch liczb, 
które są bardzo bliskie jedna drugiej.

222
00:11:47,073 --> 00:11:50,042
I jedna z nich musi być
ujemna, a druga

223
00:11:50,042 --> 00:11:51,080
musi być dodatnia.

224
00:11:51,080 --> 00:11:55,025
Fakt, że ich suma jest ujemna,
mówi mi że

225
00:11:55,025 --> 00:11:58,046
to tą większą z nich trzeba będzie
wziąć ze znakiem minus.

226
00:11:58,046 --> 00:12:01,035
Więc jeśli weźmiemy minus
8 razy 7, to jest

227
00:12:01,035 --> 00:12:03,032
równe minus 56.

228
00:12:03,032 --> 00:12:08,047
A potem, jeśli weźmiemy minus 8 plus
7, to to jest równe

229
00:12:08,047 --> 00:12:12,010
minus 1, a to jest dokładnie
ten współczynnik tutaj.

230
00:12:12,010 --> 00:12:16,049
I więc w postaci iloczynowej, to
będzie x minus 8,

231
00:12:16,049 --> 00:12:18,069
razy x plus 7.

232
00:12:18,069 --> 00:12:21,069
Często okazuje się że jest to jeden
z najtrudniejszych momentów

233
00:12:21,069 --> 00:12:23,091
w nauce algebry, bo jest to
tak jakby sztuka.

234
00:12:23,091 --> 00:12:26,071
Musicie przyjrzeć się wszystkim
możliwym czynnikom, próbować

235
00:12:26,071 --> 00:12:29,071
brać je ze znakiem plus i minus,
i sprawdzać które z tych czynników,

236
00:12:29,071 --> 00:12:31,089
kiedy jeden z nich jest ujemny,
a drugi dodatni, dodadzą się

237
00:12:31,089 --> 00:12:33,059
do współczynnika w wyrazie z x.

238
00:12:33,059 --> 00:12:35,086
Ale jeśli zrobicie sami 
wiele przykładów, przekonacie się

239
00:12:35,086 --> 00:12:39,027
że takie myślenie stanie się
Waszą drugą naturą.

240
00:12:39,027 --> 00:12:42,035
A teraz podnieśmy barierę jeszcze
wyżej.

241
00:12:42,035 --> 00:12:46,013
Powiedzmy że mam minus x kwadrat --
wszystko, z czym mieliśmy do czynienia

242
00:12:46,013 --> 00:12:49,003
do tej pory miało liczbę
dodatnią, plus 1,

243
00:12:49,003 --> 00:12:50,069
jako współczymmik przy wyrazie
x kwadrat.

244
00:12:50,069 --> 00:12:55,059
Ale powiedzmy, że mamy minus
x kwadrat

245
00:12:55,059 --> 00:12:59,044
minus 5x, plus 24.

246
00:12:59,044 --> 00:13:00,090
Jak to teraz przekształcić?

247
00:13:00,090 --> 00:13:03,041
No cóż, najłatwiejsza metoda,
jaką znam, polega na tym, żeby
wyłączyć

248
00:13:03,041 --> 00:13:05,066
czynnik minus 1 przed nawias, po czym
będziemy mieli do czynienia z zadaniem

249
00:13:05,066 --> 00:13:07,025
dokładnie tego samego rodzaju, co te
zrobione poprzednio.

250
00:13:07,025 --> 00:13:11,065
To jest dokładnie to samo, co
minus 1 razy plus x

251
00:13:11,065 --> 00:13:15,099
kwadrat, plus 5x, minus 24.

252
00:13:15,099 --> 00:13:16,029
Zgadza się?

253
00:13:16,029 --> 00:13:18,008
Po prostu wyciągnąłem 
czynnik minus 1 przed nawias.

254
00:13:18,008 --> 00:13:20,017
Możecie teraz pomnożyć to
całe wyrażenie przez minus 1

255
00:13:20,017 --> 00:13:21,069
i przekonać sie że otrzymacie to samo.

256
00:13:21,069 --> 00:13:23,055
Można też wyciągnąć minus 1

257
00:13:23,055 --> 00:13:25,000
a potem podzielić przez minus 1.

258
00:13:25,000 --> 00:13:26,075
I znowu otrzymamy to samo.

259
00:13:26,075 --> 00:13:29,036
A teraz, tak samo jak poprzednio.

260
00:13:29,036 --> 00:13:33,050
Potrzebuje znaleźć dwie takie liczby,
których iloczyn równa się

261
00:13:33,050 --> 00:13:34,069
minus 24.

262
00:13:34,069 --> 00:13:37,012
Jedna będzie dodatnia,
a druga ujemna.

263
00:13:37,012 --> 00:13:41,054


264
00:13:41,054 --> 00:13:43,076
A kiedy je dodam, powinienem 
otrzymać 5.

265
00:13:43,076 --> 00:13:48,085
Zastanówmy się,
24 równa się 1 razy 24.

266
00:13:48,085 --> 00:13:55,075
Zobaczmy, gdyby to było minus 1
i 24, suma równa się plus 23,

267
00:13:55,075 --> 00:13:57,053
a gdyby było na odwrót,
dostalibyśmy minus 23.

268
00:13:57,053 --> 00:13:58,050
Nie działa.

269
00:13:58,050 --> 00:14:01,021
A co z 2 i 12?

270
00:14:01,021 --> 00:14:04,052
No tak, gdyby to było ujemne --
pamiętajcie, jedna z tych dwóch liczb

271
00:14:04,052 --> 00:14:05,003
musi być ujemna.

272
00:14:05,003 --> 00:14:07,057
Jeśli to 2 miałoby być ujemne, ich
suma byłaby równa 10.

273
00:14:07,057 --> 00:14:09,075
Jeśli to 12 jest ujemne, ich
suma równa się minus 10.

274
00:14:09,075 --> 00:14:11,029
Też nie działa.

275
00:14:11,029 --> 00:14:13,028
3 i 8.

276
00:14:13,028 --> 00:14:16,085
Jeśli to 3 będzie ujemne,
ich suma wyniesie 5.

277
00:14:16,085 --> 00:14:17,090
A więc to działa!

278
00:14:17,090 --> 00:14:24,062
Jeśli weźmiemy minus 3 
8, minus 3 i 8 spełniają wszystkie warunki.

279
00:14:24,062 --> 00:14:26,062
Ponieważ minus 3
3 plus 8 wynosi 5.

280
00:14:26,062 --> 00:14:29,050
A minus 3 razy 8
równa się minus 24.

281
00:14:29,050 --> 00:14:31,063
A więc to będzie równe -- nie 
wolno zapomnieć

282
00:14:31,063 --> 00:14:35,023
o tym minus 1 z przodu, a my
zapisujemy w postaci iloczynowej to,
co jest w środku.

283
00:14:35,023 --> 00:14:42,099
Minus 1 razy x minus
3, razy x plus 8.

284
00:14:42,099 --> 00:14:44,079
Jesli chcecie, możecie 
pomnożyć to

285
00:14:44,079 --> 00:14:46,045
przez minus 1, wtedy bedziemy 
mieli 3

286
00:14:46,045 --> 00:14:47,055
minus x jeśli tak to zrobimy.

287
00:14:47,055 --> 00:14:48,080
Ale nie musimy tak zrobić.

288
00:14:48,080 --> 00:14:51,080


289
00:14:51,080 --> 00:14:53,022
To teraz zróbmy jeszcze jeden 
przykład.

290
00:14:53,022 --> 00:14:56,005
Sądzę, że im więcej przykładów
tym lepiej.

291
00:14:56,005 --> 00:15:01,062
OK, powiedzmy, że mam
minus x kwadrat

292
00:15:01,062 --> 00:15:06,069
plus 18x, minus 72.

293
00:15:06,069 --> 00:15:09,032
Tak jak poprzednio, wyciągniemy
minus 1 przed nawias.

294
00:15:09,032 --> 00:15:13,003
To będzie równe minus 1 razy
x kwadrat

295
00:15:13,003 --> 00:15:16,090
minus 18x, plus 72.

296
00:15:16,090 --> 00:15:19,064
Teraz musimy pomyśleć o dwóch
liczbach, takich że jeśli

297
00:15:19,064 --> 00:15:22,033
je pomnożę, otrzymam plus 72.

298
00:15:22,033 --> 00:15:24,048
A więc obie muszą mieć ten
sam znak.

299
00:15:24,048 --> 00:15:26,092
To sprawia że łatwiej je znaleźć,
przynajmniej dla mnie łatwiej.

300
00:15:26,092 --> 00:15:29,025
Po pomnożeniu
mam otrzymać plus 72.

301
00:15:29,025 --> 00:15:32,003
A kiedy je dodam, w
wyniku mam otrzymać minus 18.

302
00:15:32,003 --> 00:15:34,040
Obie mają ten sam znak, a ich
suma jest liczbą

303
00:15:34,040 --> 00:15:36,047
ujemną, więc obie muszą
być ujemne.

304
00:15:36,047 --> 00:15:41,047


305
00:15:41,047 --> 00:15:43,078
Teraz moglibyśmy sprawdzić wszystkie
czynniki, na jakie rozkłada się 72.

306
00:15:43,078 --> 00:15:48,050
Ale od razu przychodzi mi do głowy
8 razy 9,

307
00:15:48,050 --> 00:15:53,026
ale 8 razy 9, a właściwie minus 8
razy minus 9, albo minus 8 dodać

308
00:15:53,026 --> 00:15:55,021
minus 9, wcale nie działa.

309
00:15:55,021 --> 00:15:58,005
Bo wychodzi 17.

310
00:15:58,005 --> 00:15:58,086
Prawie, ale nie to.

311
00:15:58,086 --> 00:15:59,055
Pokażę wam to.

312
00:15:59,055 --> 00:16:04,039
Minus 9 dodać minus 8, to
równa się minus 17.

313
00:16:04,039 --> 00:16:06,013
Blisko, ale jeszcze za wcześnie otwierać szampana.

314
00:16:06,013 --> 00:16:06,099
Jakie mamy inne możliwości?

315
00:16:06,099 --> 00:16:08,000
Mamy 6 i 12.

316
00:16:08,000 --> 00:16:09,070
To wygląda całkiem dobrze.

317
00:16:09,070 --> 00:16:13,071
Jeśli weźmiemy minus 6 i dodamy
minus 12, otrzymamy

318
00:16:13,071 --> 00:16:15,036
minus 18.

319
00:16:15,036 --> 00:16:16,059
Jak widzicie, w tym jest trochę sztuki.

320
00:16:16,059 --> 00:16:18,080
Trzeba próbować różnych możliwości.

321
00:16:18,080 --> 00:16:22,036
A więc będziemy mieli minus
1-- nie możemy o tym zapomnieć

322
00:16:22,036 --> 00:16:29,044
-- razy x minus 6,
razy x minus 12.

323
00:16:29,044 --> 00:16:29,086