Zrobimy teraz kilka przykładów jak przedstawić trójmian kwadratowy
w postaci iloczynowej - czasem na trójmian kwadratowy mówi się
po prostu trójmian, albo wielomian kwadratowy.
A czasem wyrażenie kwadratowe,
ale to wszystko oznacza to
samo - trójmian kwadratowy.
Wielomian, w którym zmienna
występuje w kwadracie.
IWe wszystkich przykładach, które zrobimy teraz, tą zmienną będzie x.
Powiedzmy, że mam trójmian kwadratowy, x
kwadrat dodać 10x, dodać 9.
I chcę rozłożyć to wyrażenie na iloczyn dwóch dwumianów w zmiennej x.
Jak to zrobić?
Zastanówmy się, co by było,
wzięli x plus a i pomnożyli przez x plus b.
Co otrzymamy z mnożenia x plus a przez x plus b?
Mamy już doświadczenie, jak to zrobić.
To będzie x razy x, czyli x kwadrat, plus x razy b,
to jest bx, plus a razy x, plus a razy b-- plus ab.
Teraz dodamy te dwa wyrazy tu po środku,
ponieważ oba dają wkład do współczynnka przy x.
Możemy to zapisać jako x kwadrat plus-- zapiszę to jako
b plus a, albo a plus b, razy x, plus ab.
Ogólnie, jeśli to jest iloczyn
dwóch dwumianów, widzimy że środkowy współczynnik, przy x,
możemy go nazwać współczynnikiem pierwszego rzędu
będzie sumą a i b.
A wyraz stały będzie iloczynem,
a razy b.
Zauważcie, to odpowiada temu,
a to temu.
I to ocywiście jest tym samym, co to.
Widzimy podobieństwo pomiędzy tymi dwoma wyrażeniami?
Gdyby istniały takie a i b, że ich suma równa się 10?
A iloczyn byłby równy 9?
Zastanówmy się przez chwilę.
Na jakie czynniki można rozłożyć 9?
Ile mogą wynosić a i b?
Załóżmy, że szukamy liczb całkowitych.
Kiedy szukamy rozkładu na czynniki,
przynajmniej na początku, szukamy
liczb całkowitych.
Więc na jakie całkowite czynniki rozkłada sie 9?
Na 1, 3, oraz 9.
Więc rozwiązaniem może być 3 i 3, albo 1 i 9.
Gdyby rozwiązaniem było 3 i 3, wtedy suma wuniosłaby 3 plus 3-- a to
nie równa się 10.
Ale, jeśli weźmiemy 1 i 9, 1 razy 9 równa się 9.
A 1 plus 9 równa się 10.
Więc to działa.
A zatem a może być równe 1, a b może być równe 9
Możemy przedstawić ten trójmian kwadratowy jako x plus 1,
razy x plus 9.
Pomnóżcie teraz te dwa wyrazy, korzystając z tego, czego nauczyliście
się oglądając poprzednie filmy, i upewnijcie się
że wynik rzeczywiście będzie x kwadrat plus 10x, plus 9.
Jeśli napotkacie takie zadanie, w którym współczynnik
przy wyrazie x kwadrat, albo wiodącym wyrazie tego trójmianu
wynosi 1, możecie zawsze powiedziec, dobrze, jakie
dwie liczby dodają się to tego współczynnika
I czy te same dwie liczby, jeśli je pomnożyć
dadzą w wyniku wyraz stały, 9.
Oczywiście trzeba najpierw sprowadzić trójmian do postaci standardowej.
A jeśli nie jest w postaci standardowej, trzeba go do takiej postaci
sprowwadzić, żeby móc powiedzieć,
ile by nie wynosił współczynnik przy x, moje a i b,
muszą się do niego dodać.
I ile by nie wynosił wyraz stały, to a razy b, ich iloczyn musi
być jemu równy.
Zróbmy jeszcze kilka przykładów.
Im więcej przykładów zrobimy
tym łatwiej będzie zrozumieć, jak to działa.
Mamy trójmian kwadratowy, x kwadrat plus 10x, plus-- powiedzmy, niech będzie,
mieliśmy już 10x, weźmy tym razem inną liczbę-- x kwadrat
dodać 15x, dodać 50.
I chcemy to przedstawić w postaci iloczynowej.
Tak samo jak poprzednio.
May wyraz kwadratowy.
mamy wyraz pierwszego rzędu.
Ten współczynnik powinien być sumą dwóch wyrazów.
A ten wyraz stały
powinien być ilozynem tych samych wyrazów.
Musimy więc znaleźć dwie takie liczby, które po pomnożeniu
dadzą 50, a kiedy je dodamy, otrzymamy 15.
Przypomina to trochę sztukę, której powinniście się
nauczyć, ale gdy zrobimy więcej przykładów, przekonacie się
że można to rozwiązać zupełnie naturalnie.
Czemu mogą być równe a i b?
Na jakie czynniki można rozłożyć 50.
Może 1 razy 50?
I jeszcze 2 razy 25.
Teraz tak, 50 nie dzieli się przez 4.
Może być jeszcze 5 razy 10.
To już chyba wszystkie możliwości.
Zobaczmy teraz czy któraś z tych par liczb
dodaje się do 15.
1 plus 50 nie równa się 15.
2 plus 25 też nie równa się 15.
Ale 5 plus 10 równa się 15!
A więc ten wyraz byłby równy 5 plus 10, a ten byłby równy 5 razy 10.
A więc, w postaci iloczynowej, to sie równa x plus
5, razy x plus 10.
A teraz pomnóżcie to.
Zachęcam Was, żebyście to pomnożyli i przekonali się że wynik
rzeczywiście równa się x kwadrat plus 15x, plus 10.
Zróbmy to teraz, zróbmy to. x razy x, x kwadrat. x
razy 10, plus 10x.
5 razy x, plus 5x.
5 razy 10, plus 50.
Zauważyliście że 5 razy 10 dało nam w wyniku 50?
5x dodać 10x, to daje nam 15x tutaj pomiędzy.
Więc rzeczywiście otrzymujemy x kwadrat plus 15x, plus 50.
Zróbmy teraz trudniejsze zadanie, w któym
pojawi się znak minu.
Mamy trójmian x kwadrat minus 11x, plus 24.
Zastosuję dokładnie tą samą zasadę.
Powinienem znaleźć dwie liczby które, jeśli je dodam
powinny dać w rezultacie minus 11.
a plus b powinno równać się minus 11.
I a razy b powinno być równe 24.
A teraz zastanówmy się.
Jeśli pomnożę te dwie liczby, dostanę
liczbę dodatnią.
powinienem otrzymać 24.
To oznacza, że obie te liczby muszą być dodatnie, albo
obie muszą być ujemne.
Tylko w taki sposób otrzymam liczbę dodatnią jako ich iloczyn.
A teraz, jeśli je dodam, otrzymam liczbę ujemną, a jeśli
te liczby byłyby dodatnie, wynik dodawania nie mógłby być
liczbą ujemną, a więc z faktu że ich suma jest
ujemna i z faktu, że ich iloczyn jest dodatni
wynika, że obie liczby a i be są ujemne.
a i b muszą być ujemne.
Pamiętajcie, jedna nie może być ujemna, a druga
dodatnia, bo wtedy ich iloczyn będzie liczbą ujemną.
I obie nie mogą być dodatnie, ponieważ kiedy dodasz
dwie liczby dodatnie, wynik będzie liczbą dodatnią.
Zastanówmy się teraz ile mogą wynosić a i b.
To są dwie liczby ujemne.
Na jakie czynniki rozkłada się 24.
I będziemy musieli wziąć pod uwagę czynniki ujemne.
Zobaczmy, to może być 1 razy 24, 2 razy 11, to może być też 3
razy 8, albo 4 razy 6.
Teraz, które z tych liczb, kiedy je pomnoże -no tak,
jasne jest, że jeśli pomnożę 1 razy 24, dostanę 24.
Kiedy pomnoże 2 razy 11 -- przepraszam, powinno być 2 razy 12.
Dostanę 24.
Wiemy, że wszystkie te iloczyny dadzą 24.
Ale które z nich, które z tych par, jeśli je dodam,
otrzymam 11?
A wtedy weźmiemy odpowiednio
liczby ujemne z tej pary.
Jak patrzę na to, od razu widzę, że to będzie 3 i 8.
3 razy 8 równa się 24.
3 plus 8 równa się 11.
Ale to jeszcze nie koniec, prawda?
Ponieważ mamy tutaj minus 11.
A co będzie, jeśli weźmiemy minus 3 i minus 8?
Minus 3 razy minus 8 równa się plus 24.
Minus 3 dodać minus 8 równa się minus 11.
Czyli minus 3 i minus 8 działa.
Jeśli chcemy przedstawić to w postaci iloczynowej, x kwadrat minus 11x plus 24
będzie równe x minus 3 razy x minus 8.
Zróbmy jeszcze jeden taki przykład.
A właściwie, to będzie trochę inny przykład.
Powiedzmy, że mam x kwadrat plus 5 x minus 14.
Mamy teraz jeszcze inną sytuację.
Iloczyn moich dwóch liczb jest ujemny, tak? a razy b
równa się minus 14.
Mój iloczyn jest liczbą ujemną.
To oznacza, że jedna z nich jest dodatnia, a druga
jest ujemna.
A kiedy je dodam, a plus b, ma być równe 5.
Zastanówmy się nad czynnikami, na jakie rozkłada się 14.
I jaka ich kombinacja, po dodaniu, jeśli jeden z nich
jest dodatni, a drugi ujemny, a właściwie mówię o ich
różnicy, da w wyniku 5?
Weźmy 1 i 14 - mam zamiar sprawdzić -
1 and 14, minus 1 plus 14 jest 13.
Minus 1 plus 14 jest 13.
Wypisze wszystkie kombinacje, które wchodzą w grę.
W pewnym momencie Twój mózg zrobi to sam, w głowie.
Mamy minus 1 plus 14 równa się 13.
I 1 dodać minus 14 równa się minus 13/
A więc to nie działa.
Nie równa się 5.
A co z 2 i 7?
Jeśli wezmę minus 2-- zapiszę to w innym kolorze -- jeśli
wezzmę minus 2 plus 7, to to równa się 5.
Gotowe!
Zadziałało!
Oczywiście mogę spróbować też 2 dodać minus 7, ale to będzie
równe minus 5, a więc to nie będzie działać.
Ale minus 2 plus 7 działa.
I minus 2 razy 7 równa się minus 14.
Już to mamy.
Wiemy, że to będzie x minus 2, razy x plus 7.
To jest bardzo przyjemne.
Minus 2 razy 7 wynosi minus 14.
minus 2 plus 7 równa się 5.
Zróbmy jeszcze kilka takich przykładów
żeby to naprawdę dobrze opanować.
Powiedzmy, że mamy x kwadrat minus x, minus 56.
Iloczyn tych dwóch liczb musi równać się minus 56,
musi wynosić minus 56.
I ich różnica, bo jedna musi być dodatnia,
a druga ujemna, tak?
Ich różnica musi być równa minus 1.
Natychmiast przychodzi mi do
głowy -- nie jestem do końca pewien, czy i Wam też to przychodzi do głowy
właśnie poznaliśmy tabliczkę mnożenia --
że 56 równa się 8 razy 7.
Oczywiście, są też inne liczby.
Na przykład 28 razy 2.
I jeszcze różne inne.
Ale 8 razy 7 przyszło mi do głowy dlatego, że
są bliskie jedna drugiej.
A my potrzebujemy dwóch liczb, które są bardzo bliskie jedna drugiej.
I jedna z nich musi być ujemna, a druga
musi być dodatnia.
Fakt, że ich suma jest ujemna, mówi mi że
to tą większą z nich trzeba będzie wziąć ze znakiem minus.
Więc jeśli weźmiemy minus 8 razy 7, to jest
równe minus 56.
A potem, jeśli weźmiemy minus 8 plus 7, to to jest równe
minus 1, a to jest dokładnie ten współczynnik tutaj.
I więc w postaci iloczynowej, to będzie x minus 8,
razy x plus 7.
Często okazuje się że jest to jeden z najtrudniejszych momentów
w nauce algebry, bo jest to tak jakby sztuka.
Musicie przyjrzeć się wszystkim możliwym czynnikom, próbować
brać je ze znakiem plus i minus, i sprawdzać które z tych czynników,
kiedy jeden z nich jest ujemny, a drugi dodatni, dodadzą się
do współczynnika w wyrazie z x.
Ale jeśli zrobicie sami wiele przykładów, przekonacie się
że takie myślenie stanie się Waszą drugą naturą.
A teraz podnieśmy barierę jeszcze wyżej.
Powiedzmy że mam minus x kwadrat -- wszystko, z czym mieliśmy do czynienia
do tej pory miało liczbę dodatnią, plus 1,
jako współczymmik przy wyrazie x kwadrat.
Ale powiedzmy, że mamy minus x kwadrat
minus 5x, plus 24.
Jak to teraz przekształcić?
No cóż, najłatwiejsza metoda, jaką znam, polega na tym, żeby wyłączyć
czynnik minus 1 przed nawias, po czym będziemy mieli do czynienia z zadaniem
dokładnie tego samego rodzaju, co te zrobione poprzednio.
To jest dokładnie to samo, co minus 1 razy plus x
kwadrat, plus 5x, minus 24.
Zgadza się?
Po prostu wyciągnąłem czynnik minus 1 przed nawias.
Możecie teraz pomnożyć to całe wyrażenie przez minus 1
i przekonać sie że otrzymacie to samo.
Można też wyciągnąć minus 1
a potem podzielić przez minus 1.
I znowu otrzymamy to samo.
A teraz, tak samo jak poprzednio.
Potrzebuje znaleźć dwie takie liczby, których iloczyn równa się
minus 24.
Jedna będzie dodatnia, a druga ujemna.
A kiedy je dodam, powinienem otrzymać 5.
Zastanówmy się, 24 równa się 1 razy 24.
Zobaczmy, gdyby to było minus 1 i 24, suma równa się plus 23,
a gdyby było na odwrót, dostalibyśmy minus 23.
Nie działa.
A co z 2 i 12?
No tak, gdyby to było ujemne -- pamiętajcie, jedna z tych dwóch liczb
musi być ujemna.
Jeśli to 2 miałoby być ujemne, ich suma byłaby równa 10.
Jeśli to 12 jest ujemne, ich suma równa się minus 10.
Też nie działa.
3 i 8.
Jeśli to 3 będzie ujemne, ich suma wyniesie 5.
A więc to działa!
Jeśli weźmiemy minus 3 8, minus 3 i 8 spełniają wszystkie warunki.
Ponieważ minus 3 3 plus 8 wynosi 5.
A minus 3 razy 8 równa się minus 24.
A więc to będzie równe -- nie wolno zapomnieć
o tym minus 1 z przodu, a my zapisujemy w postaci iloczynowej to, co jest w środku.
Minus 1 razy x minus 3, razy x plus 8.
Jesli chcecie, możecie pomnożyć to
przez minus 1, wtedy bedziemy mieli 3
minus x jeśli tak to zrobimy.
Ale nie musimy tak zrobić.
To teraz zróbmy jeszcze jeden przykład.
Sądzę, że im więcej przykładów tym lepiej.
OK, powiedzmy, że mam minus x kwadrat
plus 18x, minus 72.
Tak jak poprzednio, wyciągniemy minus 1 przed nawias.
To będzie równe minus 1 razy x kwadrat
minus 18x, plus 72.
Teraz musimy pomyśleć o dwóch liczbach, takich że jeśli
je pomnożę, otrzymam plus 72.
A więc obie muszą mieć ten sam znak.
To sprawia że łatwiej je znaleźć, przynajmniej dla mnie łatwiej.
Po pomnożeniu mam otrzymać plus 72.
A kiedy je dodam, w wyniku mam otrzymać minus 18.
Obie mają ten sam znak, a ich suma jest liczbą
ujemną, więc obie muszą być ujemne.
Teraz moglibyśmy sprawdzić wszystkie czynniki, na jakie rozkłada się 72.
Ale od razu przychodzi mi do głowy 8 razy 9,
ale 8 razy 9, a właściwie minus 8 razy minus 9, albo minus 8 dodać
minus 9, wcale nie działa.
Bo wychodzi 17.
Prawie, ale nie to.
Pokażę wam to.
Minus 9 dodać minus 8, to równa się minus 17.
Blisko, ale jeszcze za wcześnie otwierać szampana.
Jakie mamy inne możliwości?
Mamy 6 i 12.
To wygląda całkiem dobrze.
Jeśli weźmiemy minus 6 i dodamy minus 12, otrzymamy
minus 18.
Jak widzicie, w tym jest trochę sztuki.
Trzeba próbować różnych możliwości.
A więc będziemy mieli minus 1-- nie możemy o tym zapomnieć
-- razy x minus 6, razy x minus 12.