Linear Algebra: Eigenvectors and Eigenspaces for a 3x3 matrix

Eigenvectors and eigenspaces for a 3x3 matrix

上次影片中

我們開始著手計算特征值

對於這個3×3矩陣A

我們說過 看 特征值是任意值

λ 滿足這個等式

如果v是一個非零向量

那就是說 任意值 λ 滿足

對於任意非零v這個等式成立

然後我們就做了一些工作 我想我們可以稱它

向量代數上面我們給出的

你也可以再複習一下那個影片

然後我們確定 看 唯一的方法使得這個

有一個非零解就是如果這個矩陣有

一個非平凡的零核空間

只有非可逆的矩陣才有

一個非平凡的零核空間

或者 只有行列式爲0的矩陣

才有非平凡的零核空間

所以你那樣做 你得到特征多項式

我們能夠解它

我們得到特征值λ=3

和λ=-3

現在 我們來做

我認爲是更有意思的部分

是計算出特征向量或者特征空間

我們可以回到這個等式

對於任意的特征值這個一定成立

這個也一定成立但是這個好求

所以 這個矩陣乘以特征向量一定

等於0對任意給定的特征值

這個矩陣

我已經從上面拷貝和粘貼了

我把它按照Sarrus法則標記 因此你可以忽略

那些線 就是這個矩陣

對於任意的λ

λ乘以單位陣減A

結果就是這個

因此我們來取這個矩陣的每一個λ

然後去解它們對應的特征向量或特征空間

我們以λ=3爲例先做一下

如果λ=3

這個矩陣就變成λ+1是4

λ-2是1 λ-2是1

然後所有其它項保持不變 -2

有-2 -2 1 -2 1

然後這時候向量v

或者我們的特征向量 等於0

或者我們可以說對於特征值爲3的特征空間

是這個矩陣的零核空間

不是這個矩陣

是λ乘以單位陣減A

因此這個矩陣的零核空間是特征空間

因此所有的值滿足這個組成

特征向量組成的特征空間

在λ=3時

我們來解一下這個

這個矩陣的零核空間 我們可以就寫

成行簡化階梯形 這個矩陣的零核空間

等同於這個矩陣的

行簡化階梯形的零核空間

因此我們來把它寫成行簡化階梯形

首先我想要做的

我再往下點

我來 我現在保持第一行不變

有4 -2 -2

我們替換第二行用第二行

乘以2加第一行

-2乘以2加1是0

1乘以2加-2是0

1乘以2加-2是0

這一行等同於這一行

我將做同樣的事情

-2乘以2加4是0

1乘以2加2是0

然後1乘以2加上-2是0

這個等式的解等同於

這個等式的解

我這麽寫

我不把它寫成向量v

我把它具體寫出來

即[v1；v2；v3] 將等於0向量

是0 0

就是把它寫得有點不同罷了

所以這兩行 或者這兩個等式

沒給我們任何信息

唯一的信息就是這一行 它告訴我們

4v1-2v2 實際上這個還不是

完整的行簡化階梯形但是已經足夠

它已經達到了簡化的目的 4v1-2

v2-2v3等於0

整體除以4

我本應該在這就除以4

可能就多走一步

除以4 就得到v1-1/2v2-1/2v3

等於0

或者v1=1/2v2+1/2v3

只要在等式兩邊都加上這個就行了

或者我們可以說 比方說v2等於

我不知道

我將寫某個隨機數

a v3=b 然後我們可以說

v1將等於1/2a+1/2b

我們可以說λ=3的特征空間

是所有這些向量v1 v2 v3組成的集合

滿足等於a倍的 v2=a 對吧？

所以v2等於a乘1

v3沒有a

它是a乘以0

加b乘以 v2就是a了

v2沒有b

所以它是0

v3是1倍的 0倍的a加1倍的b

然後v1=1/2a+1/2b

對於任意的a和b 使得a和b是

實數

正式一些

它就是 任意的向量

滿足這個是一個特征向量

它們是特征向量

對應於特征值λ=3

因此如果你把這個矩陣變換作用到

任意的這些向量

你就將把它擴大3倍

我這麽寫

λ=3的特征空間

等於空間

所有可能的線性組合 這個向量

和這個向量

即[1/2；1；0]

和[1/2；0；1]

它只是其中一個特征空間

它是那個特征空間

對應於λ=3的

我們來做一下那個特征空間

對應於特征值λ=-3

如果λ=-3 我在上面做

我想我有足夠的空間

λ等於-3

這個矩陣就變成 我做一下對角

-3加1是-2

-3減2是-5

-3減2是-5

所有其它不變

是-2 -2 1

是-2 -2 1

然後乘以特征空間內的向量

對應於λ=-3

是等於0的

我們正在應用這個等式

我們就從這個等式中得到的

因此 特征空間對應於

λ=-3 是零核空間

這個矩陣的

是所有的向量滿足這個等式

這個矩陣的零核空間等同於

這個矩陣的行簡化階梯形的零核空間

我們把它寫成行簡化階梯形

首先我想做的

保持第一行不變

我寫得小一點

因爲我怕寫不開

是-2 -2 -2

我來這麽做

我會跳過幾步

我們就把第一行除以-2

我們得到1 1 1

然後我們來替換第二行用第二行

加上這個第一行

這個加上那個是0減5加-

或者我這麽說

我替換它用第一行

減第二行

-2減-2是0

-2減-5是+3

然後-2減1是-3

然後我來做最後一行

用不同的顏色

我會做同樣的事情

我用這一行減這一行

-2減-2是0

-2加2

-2減1是-3

然後我們有-2減-5

就是-2加5

是3

現在我替換 我分兩步來做

這是1 1 1

我把它保持不變像這樣

實際上 我會保持它不變

然後我來替換第三行用第三行

加上第二行

就變成0了

如果你加上這些項 這些全變成0

這一項就被消掉了

我把第二行再除以3

這就變成了0 1 -1

再差一點了

我用橘色筆

我替換第一行用第一行

減去第二行

這就變成1 0 然後1減-1就是2

1減-1是2

然後第二行是0 1 -1

最後一行0 0 0

因此任意v滿足這個等式同樣

滿足這個等式

這個矩陣的零核空間將會是

這個矩陣的行簡化階梯形的零核空間

[v1；v2；v3] 等於[0；0；0]

我移一下這個

因爲我已經正式地沒地方了

我把這個往下移一點

這有點地方

我把它移到這

這個對應於λ=-3

這是λ=-3 就使得

它和這些沒有關係

那麽所有[v1；v2；v3]滿足這個的是什麽

如果我們說v3=t

如果v3=t 然後我們有什麽

我們有 這個告訴我們v2-v3=0

那就是告訴我們v2-v3

0乘以v1加v2減v3等於0

或者v2=v3 就等於t

這就是第二個等式告訴我們的

然後第三個等式告訴我們

或者上面的等式告訴我們 v1乘以1

v1加0乘以v2加2乘以v3等於0

或者v1等於-2v3等於-2t

所以特征空間對應於λ=

-3就是所有這些向量v1 v2 v3組成的集合

其中 它等於t倍的 v3就是t

v3就是t

v2結果也是t

1倍的t

v1是-2t

對於t是任意實數

或者換一句話說它是特征空間對於

λ=-3就是空間

我寫得有點亂

λ=-3就是

向量[-2；1；1]張成的空間

就像這樣

它看起來挺有意思

因爲如果你取這個向量把它點乘

這兩個向量任意一個 我想都會是0

這確實是事實嗎？

算-2乘以1/2 得到1

然後有個加1

這是0

然後-2乘以1/2

對吧

你點乘任意一個向量都是0

所以這條線正交於那個平面

很有意思

我們來把它畫出來 這樣我們就有

很好的直觀印象 我們到底在做什麽

我們有那個33矩陣A

它表示R3中的某個變換

它有兩個特征值

每一個特征值對應一個特征空間

特征空間對應於

特征值3是一個R3中的平面

這個特征空間對應λ=3

它是這兩個向量張成的

如果我畫它們 它們可能是這樣

就像這樣

然後特征空間對於λ=-3

是一條線

它是一條垂直於這個平面的線

它是一條直線像這樣

它是由這個向量張成的

可能如果我畫那個向量

向量看起來像這樣

它就是那個向量張成的空間

這個告訴我們 這是特征空間

對於λ=-3

那個告訴我們 爲了確保我們

解釋特征值和特征空間是準確的

就是 看 你給我任意的特征向量

你給我任意的向量屬於這個集合

你給我任意向量在這

比方說那是向量x

如果我應用這個變換 把它乘以A

我就會得到3倍的這個向量

因爲它是特征空間滿足λ=3

所以如果我想用A乘以x Ax會是

3倍的x

那是Ax

那就是它想告訴我們的

這個是成立的對於任意的這些向量

如果這是x 你算A乘以x 它會是

3倍那麽長

現在上面的這些向量 如果你有某個向量

在這個特征空間內對應於

λ等於3

你應用這個變換

比方說這是x

如果你計算x的這個變換 它將會

沿著反方向變成原來的3倍

它仍會在這條直線上

它會像這樣往下走

那就是Ax

它會是一樣的 它是3倍的這個長度

但是是反方向

因爲它對應於λ=-3

無論怎樣 我們已經 我想 做出很大的成果了

我們不僅算出了

一個3×3矩陣的特征值

我們現在還算出了所有的特征向量

特征向量有無限多個

但是它們表示成兩個特征空間

對應於那兩個特征值 或者-3和3

下次影片見