WEBVTT

00:00:00.620 --> 00:00:01.770
上次影片中

00:00:01.790 --> 00:00:03.590
我們開始著手計算特征值

00:00:03.600 --> 00:00:05.500
對於這個3×3矩陣A

00:00:05.520 --> 00:00:08.350
我們說過 看 特征值是任意值

00:00:08.370 --> 00:00:10.350
λ 滿足這個等式

00:00:10.360 --> 00:00:12.820
如果v是一個非零向量

00:00:12.850 --> 00:00:17.020
那就是說 任意值 λ 滿足

00:00:17.040 --> 00:00:19.740
對於任意非零v這個等式成立

00:00:19.760 --> 00:00:24.250
然後我們就做了一些工作 我想我們可以稱它

00:00:24.280 --> 00:00:25.650
向量代數上面我們給出的

00:00:25.670 --> 00:00:27.200
你也可以再複習一下那個影片

00:00:27.220 --> 00:00:29.930
然後我們確定 看 唯一的方法使得這個

00:00:29.950 --> 00:00:33.870
有一個非零解就是如果這個矩陣有

00:00:33.890 --> 00:00:35.920
一個非平凡的零核空間

00:00:35.940 --> 00:00:38.550
只有非可逆的矩陣才有

00:00:38.570 --> 00:00:40.540
一個非平凡的零核空間

00:00:40.560 --> 00:00:44.830
或者 只有行列式爲0的矩陣

00:00:44.850 --> 00:00:46.830
才有非平凡的零核空間

00:00:46.860 --> 00:00:49.380
所以你那樣做 你得到特征多項式

00:00:49.390 --> 00:00:50.630
我們能夠解它

00:00:50.660 --> 00:00:54.190
我們得到特征值λ=3

00:00:54.210 --> 00:00:57.920
和λ=-3

00:00:57.940 --> 00:00:59.480
現在 我們來做

00:00:59.510 --> 00:01:01.500
我認爲是更有意思的部分

00:01:01.530 --> 00:01:04.820
是計算出特征向量或者特征空間

00:01:04.830 --> 00:01:08.710
我們可以回到這個等式

00:01:08.720 --> 00:01:09.960
對於任意的特征值這個一定成立

00:01:09.990 --> 00:01:12.410
這個也一定成立但是這個好求

00:01:12.430 --> 00:01:19.140
所以 這個矩陣乘以特征向量一定

00:01:19.170 --> 00:01:20.750
等於0對任意給定的特征值

00:01:20.760 --> 00:01:22.500
這個矩陣

00:01:22.520 --> 00:01:24.870
我已經從上面拷貝和粘貼了

00:01:24.880 --> 00:01:26.960
我把它按照Sarrus法則標記 因此你可以忽略

00:01:26.970 --> 00:01:28.720
那些線 就是這個矩陣

00:01:28.750 --> 00:01:30.170
對於任意的λ

00:01:30.180 --> 00:01:32.480
λ乘以單位陣減A

00:01:32.510 --> 00:01:34.080
結果就是這個

00:01:34.090 --> 00:01:37.090
因此我們來取這個矩陣的每一個λ

00:01:37.110 --> 00:01:41.000
然後去解它們對應的特征向量或特征空間

00:01:41.010 --> 00:01:46.410
我們以λ=3爲例先做一下

00:01:46.420 --> 00:01:48.880
如果λ=3

00:01:48.900 --> 00:01:52.890
這個矩陣就變成λ+1是4

00:01:52.920 --> 00:01:58.390
λ-2是1 λ-2是1

00:01:58.410 --> 00:02:01.960
然後所有其它項保持不變 -2

00:02:01.980 --> 00:02:07.910
有-2 -2 1 -2 1

00:02:07.930 --> 00:02:13.050
然後這時候向量v

00:02:13.070 --> 00:02:16.070
或者我們的特征向量 等於0

00:02:16.090 --> 00:02:20.080
或者我們可以說對於特征值爲3的特征空間

00:02:20.100 --> 00:02:21.890
是這個矩陣的零核空間

00:02:21.920 --> 00:02:23.410
不是這個矩陣

00:02:23.430 --> 00:02:25.680
是λ乘以單位陣減A

00:02:25.700 --> 00:02:29.320
因此這個矩陣的零核空間是特征空間

00:02:29.330 --> 00:02:31.230
因此所有的值滿足這個組成

00:02:31.240 --> 00:02:34.730
特征向量組成的特征空間

00:02:34.750 --> 00:02:36.410
在λ=3時

00:02:36.420 --> 00:02:37.900
我們來解一下這個

00:02:37.920 --> 00:02:40.350
這個矩陣的零核空間 我們可以就寫

00:02:40.360 --> 00:02:43.110
成行簡化階梯形 這個矩陣的零核空間

00:02:43.130 --> 00:02:44.750
等同於這個矩陣的

00:02:44.770 --> 00:02:45.960
行簡化階梯形的零核空間

00:02:45.980 --> 00:02:47.640
因此我們來把它寫成行簡化階梯形

00:02:47.660 --> 00:02:49.900
首先我想要做的

00:02:49.920 --> 00:02:52.420
我再往下點

00:02:52.440 --> 00:02:58.120
我來 我現在保持第一行不變

00:02:58.140 --> 00:03:01.690
有4 -2 -2

00:03:01.710 --> 00:03:08.020
我們替換第二行用第二行

00:03:08.040 --> 00:03:09.080
乘以2加第一行

00:03:09.100 --> 00:03:12.370
-2乘以2加1是0

00:03:12.390 --> 00:03:16.340
1乘以2加-2是0

00:03:16.370 --> 00:03:18.630
1乘以2加-2是0

00:03:18.640 --> 00:03:20.960
這一行等同於這一行

00:03:20.980 --> 00:03:22.310
我將做同樣的事情

00:03:22.330 --> 00:03:24.880
-2乘以2加4是0

00:03:24.900 --> 00:03:27.460
1乘以2加2是0

00:03:27.480 --> 00:03:31.080
然後1乘以2加上-2是0

00:03:31.110 --> 00:03:33.730
這個等式的解等同於

00:03:33.750 --> 00:03:35.230
這個等式的解

00:03:35.250 --> 00:03:36.600
我這麽寫

00:03:36.620 --> 00:03:39.980
我不把它寫成向量v

00:03:40.000 --> 00:03:41.230
我把它具體寫出來

00:03:41.250 --> 00:03:47.140
即[v1；v2；v3] 將等於0向量

00:03:47.150 --> 00:03:48.550
是0 0

00:03:48.570 --> 00:03:49.940
就是把它寫得有點不同罷了

00:03:49.950 --> 00:03:52.800
所以這兩行 或者這兩個等式

00:03:52.830 --> 00:03:54.070
沒給我們任何信息

00:03:54.090 --> 00:03:56.880
唯一的信息就是這一行 它告訴我們

00:03:56.890 --> 00:04:04.340
4v1-2v2 實際上這個還不是

00:04:04.360 --> 00:04:06.880
完整的行簡化階梯形但是已經足夠

00:04:06.900 --> 00:04:10.030
它已經達到了簡化的目的 4v1-2

00:04:10.040 --> 00:04:16.590
v2-2v3等於0

00:04:16.600 --> 00:04:19.170
整體除以4

00:04:19.190 --> 00:04:21.480
我本應該在這就除以4

00:04:21.500 --> 00:04:23.700
可能就多走一步

00:04:23.710 --> 00:04:30.170
除以4 就得到v1-1/2v2-1/2v3

00:04:30.180 --> 00:04:31.370
等於0

00:04:31.390 --> 00:04:36.350
或者v1=1/2v2+1/2v3

00:04:36.350 --> 00:04:39.090
只要在等式兩邊都加上這個就行了

00:04:39.110 --> 00:04:44.700
或者我們可以說 比方說v2等於

00:04:44.720 --> 00:04:46.410
我不知道

00:04:46.430 --> 00:04:49.850
我將寫某個隨機數

00:04:49.880 --> 00:04:54.260
a v3=b 然後我們可以說

00:04:54.280 --> 00:04:59.770
v1將等於1/2a+1/2b

00:04:59.780 --> 00:05:06.220
我們可以說λ=3的特征空間

00:05:06.240 --> 00:05:12.360
是所有這些向量v1 v2 v3組成的集合

00:05:12.370 --> 00:05:18.440
滿足等於a倍的 v2=a 對吧？

00:05:18.450 --> 00:05:20.740
所以v2等於a乘1

00:05:20.750 --> 00:05:24.320
v3沒有a

00:05:24.340 --> 00:05:25.790
它是a乘以0

00:05:25.810 --> 00:05:30.820
加b乘以 v2就是a了

00:05:30.850 --> 00:05:32.700
v2沒有b

00:05:32.720 --> 00:05:33.780
所以它是0

00:05:33.810 --> 00:05:37.220
v3是1倍的 0倍的a加1倍的b

00:05:37.240 --> 00:05:43.740
然後v1=1/2a+1/2b

00:05:43.770 --> 00:05:53.290
對於任意的a和b 使得a和b是

00:05:53.310 --> 00:05:54.750
實數

00:05:54.760 --> 00:05:56.440
正式一些

00:05:56.460 --> 00:05:59.750
它就是 任意的向量

00:05:59.770 --> 00:06:03.350
滿足這個是一個特征向量

00:06:03.380 --> 00:06:05.190
它們是特征向量

00:06:05.210 --> 00:06:07.180
對應於特征值λ=3

00:06:07.200 --> 00:06:09.770
因此如果你把這個矩陣變換作用到

00:06:09.780 --> 00:06:10.990
任意的這些向量

00:06:11.020 --> 00:06:13.550
你就將把它擴大3倍

00:06:13.560 --> 00:06:15.270
我這麽寫

00:06:15.290 --> 00:06:19.370
λ=3的特征空間

00:06:19.400 --> 00:06:21.730
等於空間

00:06:21.750 --> 00:06:24.330
所有可能的線性組合 這個向量

00:06:24.350 --> 00:06:25.640
和這個向量

00:06:25.660 --> 00:06:27.950
即[1/2；1；0]

00:06:27.960 --> 00:06:35.790
和[1/2；0；1]

00:06:35.820 --> 00:06:39.680
它只是其中一個特征空間

00:06:39.700 --> 00:06:40.710
它是那個特征空間

00:06:40.730 --> 00:06:42.030
對應於λ=3的

00:06:42.050 --> 00:06:43.390
我們來做一下那個特征空間

00:06:43.410 --> 00:06:44.710
對應於特征值λ=-3

00:06:44.730 --> 00:06:47.690
如果λ=-3 我在上面做

00:06:47.710 --> 00:06:48.790
我想我有足夠的空間

00:06:48.810 --> 00:06:50.020
λ等於-3

00:06:50.040 --> 00:06:55.360
這個矩陣就變成 我做一下對角

00:06:55.370 --> 00:06:58.590
-3加1是-2

00:06:58.610 --> 00:07:02.250
-3減2是-5

00:07:02.270 --> 00:07:05.560
-3減2是-5

00:07:05.580 --> 00:07:07.580
所有其它不變

00:07:07.590 --> 00:07:11.090
是-2 -2 1

00:07:11.110 --> 00:07:14.400
是-2 -2 1

00:07:14.420 --> 00:07:20.590
然後乘以特征空間內的向量

00:07:20.600 --> 00:07:25.380
對應於λ=-3

00:07:25.400 --> 00:07:26.770
是等於0的

00:07:26.790 --> 00:07:28.120
我們正在應用這個等式

00:07:28.140 --> 00:07:29.620
我們就從這個等式中得到的

00:07:29.630 --> 00:07:33.230
因此 特征空間對應於

00:07:33.250 --> 00:07:34.720
λ=-3 是零核空間

00:07:34.730 --> 00:07:37.280
這個矩陣的

00:07:37.300 --> 00:07:39.320
是所有的向量滿足這個等式

00:07:39.330 --> 00:07:42.450
這個矩陣的零核空間等同於

00:07:42.470 --> 00:07:45.670
這個矩陣的行簡化階梯形的零核空間

00:07:45.700 --> 00:07:47.370
我們把它寫成行簡化階梯形

00:07:47.400 --> 00:07:50.460
首先我想做的

00:07:50.470 --> 00:07:52.110
保持第一行不變

00:07:52.120 --> 00:07:54.670
我寫得小一點

00:07:54.690 --> 00:07:56.310
因爲我怕寫不開

00:07:56.330 --> 00:07:59.490
是-2 -2 -2

00:07:59.510 --> 00:08:02.960
我來這麽做

00:08:02.980 --> 00:08:04.850
我會跳過幾步

00:08:04.870 --> 00:08:06.710
我們就把第一行除以-2

00:08:06.730 --> 00:08:09.430
我們得到1 1 1

00:08:09.450 --> 00:08:13.230
然後我們來替換第二行用第二行

00:08:13.240 --> 00:08:16.110
加上這個第一行

00:08:16.130 --> 00:08:21.330
這個加上那個是0減5加-

00:08:21.350 --> 00:08:23.100
或者我這麽說

00:08:23.130 --> 00:08:27.370
我替換它用第一行

00:08:27.400 --> 00:08:29.630
減第二行

00:08:29.640 --> 00:08:32.060
-2減-2是0

00:08:32.070 --> 00:08:36.260
-2減-5是+3

00:08:36.280 --> 00:08:41.870
然後-2減1是-3

00:08:41.890 --> 00:08:45.030
然後我來做最後一行

00:08:45.050 --> 00:08:46.280
用不同的顏色

00:08:46.310 --> 00:08:47.990
我會做同樣的事情

00:08:48.000 --> 00:08:49.290
我用這一行減這一行

00:08:49.320 --> 00:08:53.740
-2減-2是0

00:08:53.770 --> 00:08:55.020
-2加2

00:08:55.030 --> 00:08:57.780
-2減1是-3

00:08:57.800 --> 00:09:03.490
然後我們有-2減-5

00:09:03.500 --> 00:09:04.520
就是-2加5

00:09:04.540 --> 00:09:05.670
是3

00:09:05.680 --> 00:09:14.440
現在我替換 我分兩步來做

00:09:14.470 --> 00:09:16.620
這是1 1 1

00:09:16.640 --> 00:09:17.750
我把它保持不變像這樣

00:09:17.760 --> 00:09:22.020
實際上 我會保持它不變

00:09:22.040 --> 00:09:26.980
然後我來替換第三行用第三行

00:09:27.000 --> 00:09:28.170
加上第二行

00:09:28.180 --> 00:09:29.490
就變成0了

00:09:29.510 --> 00:09:31.020
如果你加上這些項 這些全變成0

00:09:31.030 --> 00:09:32.910
這一項就被消掉了

00:09:32.930 --> 00:09:35.030
我把第二行再除以3

00:09:35.040 --> 00:09:39.220
這就變成了0 1 -1

00:09:39.240 --> 00:09:42.410
再差一點了

00:09:42.430 --> 00:09:44.190
我用橘色筆

00:09:44.200 --> 00:09:47.590
我替換第一行用第一行

00:09:47.610 --> 00:09:51.380
減去第二行

00:09:51.400 --> 00:09:56.540
這就變成1 0 然後1減-1就是2

00:09:56.560 --> 00:09:59.070
1減-1是2

00:09:59.090 --> 00:10:03.520
然後第二行是0 1 -1

00:10:03.540 --> 00:10:07.040
最後一行0 0 0

00:10:07.060 --> 00:10:10.810
因此任意v滿足這個等式同樣

00:10:10.830 --> 00:10:12.440
滿足這個等式

00:10:12.460 --> 00:10:15.180
這個矩陣的零核空間將會是

00:10:15.200 --> 00:10:16.900
這個矩陣的行簡化階梯形的零核空間

00:10:16.920 --> 00:10:25.740
[v1；v2；v3] 等於[0；0；0]

00:10:25.760 --> 00:10:27.370
我移一下這個

00:10:27.390 --> 00:10:30.270
因爲我已經正式地沒地方了

00:10:30.270 --> 00:10:32.170
我把這個往下移一點

00:10:32.210 --> 00:10:34.470
這有點地方

00:10:34.500 --> 00:10:37.230
我把它移到這

00:10:37.250 --> 00:10:40.630
這個對應於λ=-3

00:10:40.650 --> 00:10:45.250
這是λ=-3 就使得

00:10:45.270 --> 00:10:46.960
它和這些沒有關係

00:10:46.970 --> 00:10:51.200
那麽所有[v1；v2；v3]滿足這個的是什麽

00:10:51.220 --> 00:10:59.350
如果我們說v3=t

00:10:59.360 --> 00:11:05.310
如果v3=t 然後我們有什麽

00:11:05.320 --> 00:11:08.680
我們有 這個告訴我們v2-v3=0

00:11:08.680 --> 00:11:12.080
那就是告訴我們v2-v3

00:11:12.100 --> 00:11:17.910
0乘以v1加v2減v3等於0

00:11:17.920 --> 00:11:22.850
或者v2=v3 就等於t

00:11:22.870 --> 00:11:25.180
這就是第二個等式告訴我們的

00:11:25.200 --> 00:11:27.530
然後第三個等式告訴我們

00:11:27.560 --> 00:11:29.870
或者上面的等式告訴我們 v1乘以1

00:11:29.890 --> 00:11:37.280
v1加0乘以v2加2乘以v3等於0

00:11:37.290 --> 00:11:44.500
或者v1等於-2v3等於-2t

00:11:44.520 --> 00:11:50.560
所以特征空間對應於λ=

00:11:50.580 --> 00:11:57.170
-3就是所有這些向量v1 v2 v3組成的集合

00:11:57.190 --> 00:12:06.970
其中 它等於t倍的 v3就是t

00:12:07.000 --> 00:12:09.350
v3就是t

00:12:09.370 --> 00:12:12.430
v2結果也是t

00:12:12.450 --> 00:12:13.680
1倍的t

00:12:13.700 --> 00:12:15.430
v1是-2t

00:12:15.450 --> 00:12:20.100
對於t是任意實數

00:12:20.140 --> 00:12:25.050
或者換一句話說它是特征空間對於

00:12:25.070 --> 00:12:29.640
λ=-3就是空間

00:12:29.660 --> 00:12:32.460
我寫得有點亂

00:12:32.480 --> 00:12:36.490
λ=-3就是

00:12:36.510 --> 00:12:39.590
向量[-2；1；1]張成的空間

00:12:39.610 --> 00:12:46.030
就像這樣

00:12:46.060 --> 00:12:48.230
它看起來挺有意思

00:12:48.250 --> 00:12:51.970
因爲如果你取這個向量把它點乘

00:12:51.990 --> 00:12:53.140
這兩個向量任意一個 我想都會是0

00:12:53.150 --> 00:12:54.620
這確實是事實嗎？

00:12:54.640 --> 00:12:59.730
算-2乘以1/2 得到1

00:12:59.750 --> 00:13:01.130
然後有個加1

00:13:01.170 --> 00:13:02.180
這是0

00:13:02.190 --> 00:13:03.960
然後-2乘以1/2

00:13:03.970 --> 00:13:05.000
對吧

00:13:05.020 --> 00:13:06.350
你點乘任意一個向量都是0

00:13:06.370 --> 00:13:09.290
所以這條線正交於那個平面

00:13:09.300 --> 00:13:10.450
很有意思

00:13:10.470 --> 00:13:11.910
我們來把它畫出來 這樣我們就有

00:13:11.940 --> 00:13:13.830
很好的直觀印象 我們到底在做什麽

00:13:13.860 --> 00:13:16.080
我們有那個3<i>3矩陣A</i>

00:13:16.090 --> 00:13:18.220
它表示R3中的某個變換

00:13:18.240 --> 00:13:21.300
它有兩個特征值

00:13:21.310 --> 00:13:23.560
每一個特征值對應一個特征空間

00:13:23.580 --> 00:13:25.810
特征空間對應於

00:13:25.830 --> 00:13:28.180
特征值3是一個R3中的平面

00:13:28.210 --> 00:13:37.420
這個特征空間對應λ=3

00:13:37.450 --> 00:13:40.780
它是這兩個向量張成的

00:13:40.810 --> 00:13:43.260
如果我畫它們 它們可能是這樣

00:13:43.290 --> 00:13:44.500
就像這樣

00:13:44.510 --> 00:13:47.200
然後特征空間對於λ=-3

00:13:47.220 --> 00:13:48.450
是一條線

00:13:48.470 --> 00:13:50.040
它是一條垂直於這個平面的線

00:13:50.070 --> 00:13:51.680
它是一條直線像這樣

00:13:51.690 --> 00:13:54.140
它是由這個向量張成的

00:13:54.160 --> 00:13:55.340
可能如果我畫那個向量

00:13:55.360 --> 00:13:57.020
向量看起來像這樣

00:13:57.040 --> 00:13:58.890
它就是那個向量張成的空間

00:13:58.900 --> 00:14:03.340
這個告訴我們 這是特征空間

00:14:03.350 --> 00:14:06.140
對於λ=-3

00:14:06.170 --> 00:14:08.960
那個告訴我們 爲了確保我們

00:14:08.970 --> 00:14:11.870
解釋特征值和特征空間是準確的

00:14:11.890 --> 00:14:14.440
就是 看 你給我任意的特征向量

00:14:14.460 --> 00:14:18.520
你給我任意的向量屬於這個集合

00:14:18.540 --> 00:14:19.620
你給我任意向量在這

00:14:19.630 --> 00:14:21.310
比方說那是向量x

00:14:21.320 --> 00:14:23.560
如果我應用這個變換 把它乘以A

00:14:23.580 --> 00:14:26.120
我就會得到3倍的這個向量

00:14:26.140 --> 00:14:29.180
因爲它是特征空間滿足λ=3

00:14:29.200 --> 00:14:33.200
所以如果我想用A乘以x Ax會是

00:14:33.220 --> 00:14:34.680
3倍的x

00:14:34.710 --> 00:14:37.260
那是Ax

00:14:37.280 --> 00:14:38.330
那就是它想告訴我們的

00:14:38.340 --> 00:14:39.460
這個是成立的對於任意的這些向量

00:14:39.480 --> 00:14:42.550
如果這是x 你算A乘以x 它會是

00:14:42.570 --> 00:14:43.630
3倍那麽長

00:14:43.650 --> 00:14:45.610
現在上面的這些向量 如果你有某個向量

00:14:45.630 --> 00:14:49.610
在這個特征空間內對應於

00:14:49.640 --> 00:14:50.880
λ等於3

00:14:50.900 --> 00:14:52.040
你應用這個變換

00:14:52.060 --> 00:14:54.460
比方說這是x

00:14:54.490 --> 00:14:55.740
如果你計算x的這個變換 它將會

00:14:55.770 --> 00:14:57.280
沿著反方向變成原來的3倍

00:14:57.310 --> 00:14:58.660
它仍會在這條直線上

00:14:58.680 --> 00:15:00.930
它會像這樣往下走

00:15:00.950 --> 00:15:03.390
那就是Ax

00:15:03.410 --> 00:15:05.890
它會是一樣的 它是3倍的這個長度

00:15:05.910 --> 00:15:06.930
但是是反方向

00:15:06.940 --> 00:15:10.630
因爲它對應於λ=-3

00:15:10.650 --> 00:15:14.650
無論怎樣 我們已經 我想 做出很大的成果了

00:15:14.680 --> 00:15:15.910
我們不僅算出了

00:15:15.940 --> 00:15:18.840
一個3×3矩陣的特征值

00:15:18.860 --> 00:15:20.580
我們現在還算出了所有的特征向量

00:15:20.590 --> 00:15:22.160
特征向量有無限多個

00:15:22.190 --> 00:15:24.690
但是它們表示成兩個特征空間

00:15:24.700 --> 00:15:30.730
對應於那兩個特征值 或者-3和3

00:15:30.740 --> 00:15:33.140
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