上次影片中 我們開始著手計算特征值 對於這個3×3矩陣A 我們說過 看 特征值是任意值 λ 滿足這個等式 如果v是一個非零向量 那就是說 任意值 λ 滿足 對於任意非零v這個等式成立 然後我們就做了一些工作 我想我們可以稱它 向量代數上面我們給出的 你也可以再複習一下那個影片 然後我們確定 看 唯一的方法使得這個 有一個非零解就是如果這個矩陣有 一個非平凡的零核空間 只有非可逆的矩陣才有 一個非平凡的零核空間 或者 只有行列式爲0的矩陣 才有非平凡的零核空間 所以你那樣做 你得到特征多項式 我們能夠解它 我們得到特征值λ=3 和λ=-3 現在 我們來做 我認爲是更有意思的部分 是計算出特征向量或者特征空間 我們可以回到這個等式 對於任意的特征值這個一定成立 這個也一定成立但是這個好求 所以 這個矩陣乘以特征向量一定 等於0對任意給定的特征值 這個矩陣 我已經從上面拷貝和粘貼了 我把它按照Sarrus法則標記 因此你可以忽略 那些線 就是這個矩陣 對於任意的λ λ乘以單位陣減A 結果就是這個 因此我們來取這個矩陣的每一個λ 然後去解它們對應的特征向量或特征空間 我們以λ=3爲例先做一下 如果λ=3 這個矩陣就變成λ+1是4 λ-2是1 λ-2是1 然後所有其它項保持不變 -2 有-2 -2 1 -2 1 然後這時候向量v 或者我們的特征向量 等於0 或者我們可以說對於特征值爲3的特征空間 是這個矩陣的零核空間 不是這個矩陣 是λ乘以單位陣減A 因此這個矩陣的零核空間是特征空間 因此所有的值滿足這個組成 特征向量組成的特征空間 在λ=3時 我們來解一下這個 這個矩陣的零核空間 我們可以就寫 成行簡化階梯形 這個矩陣的零核空間 等同於這個矩陣的 行簡化階梯形的零核空間 因此我們來把它寫成行簡化階梯形 首先我想要做的 我再往下點 我來 我現在保持第一行不變 有4 -2 -2 我們替換第二行用第二行 乘以2加第一行 -2乘以2加1是0 1乘以2加-2是0 1乘以2加-2是0 這一行等同於這一行 我將做同樣的事情 -2乘以2加4是0 1乘以2加2是0 然後1乘以2加上-2是0 這個等式的解等同於 這個等式的解 我這麽寫 我不把它寫成向量v 我把它具體寫出來 即[v1；v2；v3] 將等於0向量 是0 0 就是把它寫得有點不同罷了 所以這兩行 或者這兩個等式 沒給我們任何信息 唯一的信息就是這一行 它告訴我們 4v1-2v2 實際上這個還不是 完整的行簡化階梯形但是已經足夠 它已經達到了簡化的目的 4v1-2 v2-2v3等於0 整體除以4 我本應該在這就除以4 可能就多走一步 除以4 就得到v1-1/2v2-1/2v3 等於0 或者v1=1/2v2+1/2v3 只要在等式兩邊都加上這個就行了 或者我們可以說 比方說v2等於 我不知道 我將寫某個隨機數 a v3=b 然後我們可以說 v1將等於1/2a+1/2b 我們可以說λ=3的特征空間 是所有這些向量v1 v2 v3組成的集合 滿足等於a倍的 v2=a 對吧？ 所以v2等於a乘1 v3沒有a 它是a乘以0 加b乘以 v2就是a了 v2沒有b 所以它是0 v3是1倍的 0倍的a加1倍的b 然後v1=1/2a+1/2b 對於任意的a和b 使得a和b是 實數 正式一些 它就是 任意的向量 滿足這個是一個特征向量 它們是特征向量 對應於特征值λ=3 因此如果你把這個矩陣變換作用到 任意的這些向量 你就將把它擴大3倍 我這麽寫 λ=3的特征空間 等於空間 所有可能的線性組合 這個向量 和這個向量 即[1/2；1；0] 和[1/2；0；1] 它只是其中一個特征空間 它是那個特征空間 對應於λ=3的 我們來做一下那個特征空間 對應於特征值λ=-3 如果λ=-3 我在上面做 我想我有足夠的空間 λ等於-3 這個矩陣就變成 我做一下對角 -3加1是-2 -3減2是-5 -3減2是-5 所有其它不變 是-2 -2 1 是-2 -2 1 然後乘以特征空間內的向量 對應於λ=-3 是等於0的 我們正在應用這個等式 我們就從這個等式中得到的 因此 特征空間對應於 λ=-3 是零核空間 這個矩陣的 是所有的向量滿足這個等式 這個矩陣的零核空間等同於 這個矩陣的行簡化階梯形的零核空間 我們把它寫成行簡化階梯形 首先我想做的 保持第一行不變 我寫得小一點 因爲我怕寫不開 是-2 -2 -2 我來這麽做 我會跳過幾步 我們就把第一行除以-2 我們得到1 1 1 然後我們來替換第二行用第二行 加上這個第一行 這個加上那個是0減5加- 或者我這麽說 我替換它用第一行 減第二行 -2減-2是0 -2減-5是+3 然後-2減1是-3 然後我來做最後一行 用不同的顏色 我會做同樣的事情 我用這一行減這一行 -2減-2是0 -2加2 -2減1是-3 然後我們有-2減-5 就是-2加5 是3 現在我替換 我分兩步來做 這是1 1 1 我把它保持不變像這樣 實際上 我會保持它不變 然後我來替換第三行用第三行 加上第二行 就變成0了 如果你加上這些項 這些全變成0 這一項就被消掉了 我把第二行再除以3 這就變成了0 1 -1 再差一點了 我用橘色筆 我替換第一行用第一行 減去第二行 這就變成1 0 然後1減-1就是2 1減-1是2 然後第二行是0 1 -1 最後一行0 0 0 因此任意v滿足這個等式同樣 滿足這個等式 這個矩陣的零核空間將會是 這個矩陣的行簡化階梯形的零核空間 [v1；v2；v3] 等於[0；0；0] 我移一下這個 因爲我已經正式地沒地方了 我把這個往下移一點 這有點地方 我把它移到這 這個對應於λ=-3 這是λ=-3 就使得 它和這些沒有關係 那麽所有[v1；v2；v3]滿足這個的是什麽 如果我們說v3=t 如果v3=t 然後我們有什麽 我們有 這個告訴我們v2-v3=0 那就是告訴我們v2-v3 0乘以v1加v2減v3等於0 或者v2=v3 就等於t 這就是第二個等式告訴我們的 然後第三個等式告訴我們 或者上面的等式告訴我們 v1乘以1 v1加0乘以v2加2乘以v3等於0 或者v1等於-2v3等於-2t 所以特征空間對應於λ= -3就是所有這些向量v1 v2 v3組成的集合 其中 它等於t倍的 v3就是t v3就是t v2結果也是t 1倍的t v1是-2t 對於t是任意實數 或者換一句話說它是特征空間對於 λ=-3就是空間 我寫得有點亂 λ=-3就是 向量[-2；1；1]張成的空間 就像這樣 它看起來挺有意思 因爲如果你取這個向量把它點乘 這兩個向量任意一個 我想都會是0 這確實是事實嗎？ 算-2乘以1/2 得到1 然後有個加1 這是0 然後-2乘以1/2 對吧 你點乘任意一個向量都是0 所以這條線正交於那個平面 很有意思 我們來把它畫出來 這樣我們就有 很好的直觀印象 我們到底在做什麽 我們有那個33矩陣A 它表示R3中的某個變換 它有兩個特征值 每一個特征值對應一個特征空間 特征空間對應於 特征值3是一個R3中的平面 這個特征空間對應λ=3 它是這兩個向量張成的 如果我畫它們 它們可能是這樣 就像這樣 然後特征空間對於λ=-3 是一條線 它是一條垂直於這個平面的線 它是一條直線像這樣 它是由這個向量張成的 可能如果我畫那個向量 向量看起來像這樣 它就是那個向量張成的空間 這個告訴我們 這是特征空間 對於λ=-3 那個告訴我們 爲了確保我們 解釋特征值和特征空間是準確的 就是 看 你給我任意的特征向量 你給我任意的向量屬於這個集合 你給我任意向量在這 比方說那是向量x 如果我應用這個變換 把它乘以A 我就會得到3倍的這個向量 因爲它是特征空間滿足λ=3 所以如果我想用A乘以x Ax會是 3倍的x 那是Ax 那就是它想告訴我們的 這個是成立的對於任意的這些向量 如果這是x 你算A乘以x 它會是 3倍那麽長 現在上面的這些向量 如果你有某個向量 在這個特征空間內對應於 λ等於3 你應用這個變換 比方說這是x 如果你計算x的這個變換 它將會 沿著反方向變成原來的3倍 它仍會在這條直線上 它會像這樣往下走 那就是Ax 它會是一樣的 它是3倍的這個長度 但是是反方向 因爲它對應於λ=-3 無論怎樣 我們已經 我想 做出很大的成果了 我們不僅算出了 一個3×3矩陣的特征值 我們現在還算出了所有的特征向量 特征向量有無限多個 但是它們表示成兩個特征空間 對應於那兩個特征值 或者-3和3 下次影片見