上次影片中
我們開始著手計算特征值
對於這個3×3矩陣A
我們說過 看 特征值是任意值
λ 滿足這個等式
如果v是一個非零向量
那就是說 任意值 λ 滿足
對於任意非零v這個等式成立
然後我們就做了一些工作 我想我們可以稱它
向量代數上面我們給出的
你也可以再複習一下那個影片
然後我們確定 看 唯一的方法使得這個
有一個非零解就是如果這個矩陣有
一個非平凡的零核空間
只有非可逆的矩陣才有
一個非平凡的零核空間
或者 只有行列式爲0的矩陣
才有非平凡的零核空間
所以你那樣做 你得到特征多項式
我們能夠解它
我們得到特征值λ=3
和λ=-3
現在 我們來做
我認爲是更有意思的部分
是計算出特征向量或者特征空間
我們可以回到這個等式
對於任意的特征值這個一定成立
這個也一定成立但是這個好求
所以 這個矩陣乘以特征向量一定
等於0對任意給定的特征值
這個矩陣
我已經從上面拷貝和粘貼了
我把它按照Sarrus法則標記 因此你可以忽略
那些線 就是這個矩陣
對於任意的λ
λ乘以單位陣減A
結果就是這個
因此我們來取這個矩陣的每一個λ
然後去解它們對應的特征向量或特征空間
我們以λ=3爲例先做一下
如果λ=3
這個矩陣就變成λ+1是4
λ-2是1 λ-2是1
然後所有其它項保持不變 -2
有-2 -2 1 -2 1
然後這時候向量v
或者我們的特征向量 等於0
或者我們可以說對於特征值爲3的特征空間
是這個矩陣的零核空間
不是這個矩陣
是λ乘以單位陣減A
因此這個矩陣的零核空間是特征空間
因此所有的值滿足這個組成
特征向量組成的特征空間
在λ=3時
我們來解一下這個
這個矩陣的零核空間 我們可以就寫
成行簡化階梯形 這個矩陣的零核空間
等同於這個矩陣的
行簡化階梯形的零核空間
因此我們來把它寫成行簡化階梯形
首先我想要做的
我再往下點
我來 我現在保持第一行不變
有4 -2 -2
我們替換第二行用第二行
乘以2加第一行
-2乘以2加1是0
1乘以2加-2是0
1乘以2加-2是0
這一行等同於這一行
我將做同樣的事情
-2乘以2加4是0
1乘以2加2是0
然後1乘以2加上-2是0
這個等式的解等同於
這個等式的解
我這麽寫
我不把它寫成向量v
我把它具體寫出來
即[v1；v2；v3] 將等於0向量
是0 0
就是把它寫得有點不同罷了
所以這兩行 或者這兩個等式
沒給我們任何信息
唯一的信息就是這一行 它告訴我們
4v1-2v2 實際上這個還不是
完整的行簡化階梯形但是已經足夠
它已經達到了簡化的目的 4v1-2
v2-2v3等於0
整體除以4
我本應該在這就除以4
可能就多走一步
除以4 就得到v1-1/2v2-1/2v3
等於0
或者v1=1/2v2+1/2v3
只要在等式兩邊都加上這個就行了
或者我們可以說 比方說v2等於
我不知道
我將寫某個隨機數
a v3=b 然後我們可以說
v1將等於1/2a+1/2b
我們可以說λ=3的特征空間
是所有這些向量v1 v2 v3組成的集合
滿足等於a倍的 v2=a 對吧？
所以v2等於a乘1
v3沒有a
它是a乘以0
加b乘以 v2就是a了
v2沒有b
所以它是0
v3是1倍的 0倍的a加1倍的b
然後v1=1/2a+1/2b
對於任意的a和b 使得a和b是
實數
正式一些
它就是 任意的向量
滿足這個是一個特征向量
它們是特征向量
對應於特征值λ=3
因此如果你把這個矩陣變換作用到
任意的這些向量
你就將把它擴大3倍
我這麽寫
λ=3的特征空間
等於空間
所有可能的線性組合 這個向量
和這個向量
即[1/2；1；0]
和[1/2；0；1]
它只是其中一個特征空間
它是那個特征空間
對應於λ=3的
我們來做一下那個特征空間
對應於特征值λ=-3
如果λ=-3 我在上面做
我想我有足夠的空間
λ等於-3
這個矩陣就變成 我做一下對角
-3加1是-2
-3減2是-5
-3減2是-5
所有其它不變
是-2 -2 1
是-2 -2 1
然後乘以特征空間內的向量
對應於λ=-3
是等於0的
我們正在應用這個等式
我們就從這個等式中得到的
因此 特征空間對應於
λ=-3 是零核空間
這個矩陣的
是所有的向量滿足這個等式
這個矩陣的零核空間等同於
這個矩陣的行簡化階梯形的零核空間
我們把它寫成行簡化階梯形
首先我想做的
保持第一行不變
我寫得小一點
因爲我怕寫不開
是-2 -2 -2
我來這麽做
我會跳過幾步
我們就把第一行除以-2
我們得到1 1 1
然後我們來替換第二行用第二行
加上這個第一行
這個加上那個是0減5加-
或者我這麽說
我替換它用第一行
減第二行
-2減-2是0
-2減-5是+3
然後-2減1是-3
然後我來做最後一行
用不同的顏色
我會做同樣的事情
我用這一行減這一行
-2減-2是0
-2加2
-2減1是-3
然後我們有-2減-5
就是-2加5
是3
現在我替換 我分兩步來做
這是1 1 1
我把它保持不變像這樣
實際上 我會保持它不變
然後我來替換第三行用第三行
加上第二行
就變成0了
如果你加上這些項 這些全變成0
這一項就被消掉了
我把第二行再除以3
這就變成了0 1 -1
再差一點了
我用橘色筆
我替換第一行用第一行
減去第二行
這就變成1 0 然後1減-1就是2
1減-1是2
然後第二行是0 1 -1
最後一行0 0 0
因此任意v滿足這個等式同樣
滿足這個等式
這個矩陣的零核空間將會是
這個矩陣的行簡化階梯形的零核空間
[v1；v2；v3] 等於[0；0；0]
我移一下這個
因爲我已經正式地沒地方了
我把這個往下移一點
這有點地方
我把它移到這
這個對應於λ=-3
這是λ=-3 就使得
它和這些沒有關係
那麽所有[v1；v2；v3]滿足這個的是什麽
如果我們說v3=t
如果v3=t 然後我們有什麽
我們有 這個告訴我們v2-v3=0
那就是告訴我們v2-v3
0乘以v1加v2減v3等於0
或者v2=v3 就等於t
這就是第二個等式告訴我們的
然後第三個等式告訴我們
或者上面的等式告訴我們 v1乘以1
v1加0乘以v2加2乘以v3等於0
或者v1等於-2v3等於-2t
所以特征空間對應於λ=
-3就是所有這些向量v1 v2 v3組成的集合
其中 它等於t倍的 v3就是t
v3就是t
v2結果也是t
1倍的t
v1是-2t
對於t是任意實數
或者換一句話說它是特征空間對於
λ=-3就是空間
我寫得有點亂
λ=-3就是
向量[-2；1；1]張成的空間
就像這樣
它看起來挺有意思
因爲如果你取這個向量把它點乘
這兩個向量任意一個 我想都會是0
這確實是事實嗎？
算-2乘以1/2 得到1
然後有個加1
這是0
然後-2乘以1/2
對吧
你點乘任意一個向量都是0
所以這條線正交於那個平面
很有意思
我們來把它畫出來 這樣我們就有
很好的直觀印象 我們到底在做什麽
我們有那個33矩陣A
它表示R3中的某個變換
它有兩個特征值
每一個特征值對應一個特征空間
特征空間對應於
特征值3是一個R3中的平面
這個特征空間對應λ=3
它是這兩個向量張成的
如果我畫它們 它們可能是這樣
就像這樣
然後特征空間對於λ=-3
是一條線
它是一條垂直於這個平面的線
它是一條直線像這樣
它是由這個向量張成的
可能如果我畫那個向量
向量看起來像這樣
它就是那個向量張成的空間
這個告訴我們 這是特征空間
對於λ=-3
那個告訴我們 爲了確保我們
解釋特征值和特征空間是準確的
就是 看 你給我任意的特征向量
你給我任意的向量屬於這個集合
你給我任意向量在這
比方說那是向量x
如果我應用這個變換 把它乘以A
我就會得到3倍的這個向量
因爲它是特征空間滿足λ=3
所以如果我想用A乘以x Ax會是
3倍的x
那是Ax
那就是它想告訴我們的
這個是成立的對於任意的這些向量
如果這是x 你算A乘以x 它會是
3倍那麽長
現在上面的這些向量 如果你有某個向量
在這個特征空間內對應於
λ等於3
你應用這個變換
比方說這是x
如果你計算x的這個變換 它將會
沿著反方向變成原來的3倍
它仍會在這條直線上
它會像這樣往下走
那就是Ax
它會是一樣的 它是3倍的這個長度
但是是反方向
因爲它對應於λ=-3
無論怎樣 我們已經 我想 做出很大的成果了
我們不僅算出了
一個3×3矩陣的特征值
我們現在還算出了所有的特征向量
特征向量有無限多個
但是它們表示成兩個特征空間
對應於那兩個特征值 或者-3和3
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