Algebra liniowa: Wektory własne i przestrzenie własne macierzy 3 na 3

Wektory własne i przestrzenie własne macierzy 3 na 3

W poprzednim filmie obliczyliśmy wartości własne tej

W poprzednim filmie obliczyliśmy wartości własne tej

macierzy A, wymiaru 3 na 3.

I powiedzieliśmy, że wartość własne to jest liczba

lambda, która spełnia to równanie, jeżeli v

jest niezerowym wektorem.

A to oznacza, dowolną wartość lambda, która spełnia

to równanie dla niezerowego wektora v.

Potem zrobiliśmy trochę przekształceń, które można nazwać

algebrą wektorową, żeby dostać to tutaj.

Możecie obejrzeć jeszcze raz tamten film, jak chcecie.

A potem ustaliliśmy, że jedyna możliwość, żeby

to miało niezerowe rozwiązanie jest taka, że ta macierz

ma nietrywialne jądro.

A tylko nieodwracalne macierze mają

nietrywialne jądro.

Albo inaczej, tylko macierze których wyznacznik jest równy 0

mają nietrywialne jądro.

Czyli robimy to, dostajemy wielomian charakterystyczny

i możemy go rozwiązać.

Obliczyliśmy nasze wartości własne, lambda równe 3

lub lambda równe minus 3.

A teraz zróbmy -- ja uważam to za najciekawszą

część -- znajdźmy wektory własne

albo przestrzenie własne.

Czyli możemy wrócić do tego równania, dla dowolnej wartości własnej

to musi być spełnione.

To musi być spełnione, ale z tym łatwiej jest pracować.

A więc ta macierz tutaj razy nasz wektor własny musi

być równe 0 dla dowolnej danej wartości własnej.

Ta macierz tutaj -- po prostu skopiowałem

i wkleiłem ją z góry.

Zrobiłem na niej linie do reguły Sarrusa, które możecie

zignorować -- to jest po prostu ta macierz

tutaj dla dowolnego lambda.

Lambda razy macierz jednostkowa odjąć A

jest równe temu.

Weźmy więc tę macierz dla każdej z naszych wartości własnych

a potem znajdziemy wektory własne lub przestrzenie własne.

Zaczniemy od przypadku lambda równe 3.

Czyli jeżeli lambda jest równe 3, ta macierz przyjmuje postać lambda dodać 1

czyli 4, lambda odjąć 2 daje 1, lambda odjąć 2 daje 1.

A pozostałe elementy pozostają takie same, minus 2,

minus 2, minus 2, 1, minus 2 i 1.

A potem to razy ten wektor v, nasz wektor własny v,

ma być równe 0.

Albo możemy powiedzieć, że przestrzeń własna dla

wartości własnej 3 jest jądrem tej macierzy.

Która nie jest tą macierzą.

To jest lambda razy macierz jednostkowa odjąć A.

Czyli jądro tej macierzy jest przestrzenią własną.

Czyli wszystkie wartości, które to spełniają stanowią

wektory własne z przestrzeni własnej odpowiadającej lambda równemu 3.

Czyli rozwiążmy to.

Czyli jądro tej macierzy -- możemy sprowadzić ją

do postaci wierszowo zredukowanej -- jądro tej macierzy

jest tym samy to jądro tej macierzy sprowadzonej do

postaci wierszowo zredukowanej.

A więc zredukujmy ją wierszowo.

Pierwszą rzeczą którą chcę zrobić --

zrobię to tu.

Zaczynam -- na razie pierwszy wiersz zostawię bez zmian.

4, minus 2, minus 2.

A teraz zastąpię drugi wiersz sumą drugiego pomnożonego przez 2

i pierwszego wiersza.

Czyli minus 2 razy2 dodać 1 daje 0.

1 razy 2 dodać minus 2 daje 0.

1 razy 2 dodać minus 2 daje 0.

Ten wiersz jest taki sam jak ten wiersz.

Czyli zrobię to samo.

Minus 2 razy 2 dodać 4 daje 0.

1 razy 2 dodać 2 daje 0.

A potem 1 razy 2 dodać minus 2 daje 0.

Czyli rozwiązania tego równania są takie same

jak rozwiązania tego równania.

Zapiszę to w ten sposób.

Zamiast pisać po prostu wektor v,

napiszę składowe.

Czyli v1, v2, v3. To ma być równe wektorowi 0.

0, 0, 0.

Przepisałem to trochę inaczej.

Czyli te dwa wiersze, czy te dwa równania, nie dają

nam żadnej informacji.

Jedyną informację niesie ten wiersz tutaj na górze, który mówi

że 4 razy v1 odjąć 2 razy v2 -- właściwie to nie była do końca

zredukowana wierszowo macierz, ale wystarczająco blisko,

żeby łatwo się z nią pracowało -- 4 razy v1 odjąć 2 razy v2

odjąć 2 razy v3 równa się 0.

Podzielmy przez 4.

Mogłem podzielić przez 4 tutaj.

Pominąłem wtedy ten krok.

Ale jak podzielimy przez 4 dotaniemy v1 odjąć 1/2 v2 odjąć 1/2 v3

równa się 0.

Albo v1 równa się 1/2 v2 dodać 1/2 v3.

Po prostu dodałem tych dwóch kolesi do obu stron równania.

Moglibyśmy powiedzieć, powiedzmy, że v2 jest równe -- no nie wiem

wybiorę jakąś losową liczbę -- a

a v3 jest równe b, wtedy możemy powiedzieć -- wtedy v1 będzie

równe 1/2 a dodać 1/2 b.

Możemy powiedzieć, że przestrzeń własna dla lambda równego 3 jest

zbiorem wszystkich wektorów, v1, v2, v3, które są równe

a razy, razy -- v2 równa się a, zgadza się?

Czyli v2 równa się a razy 1.

v3 nie ma w sobie a.

Czyli to jest a razy 0.

Dodać b razy -- v2 to jest po prostu a.

v2 nie ma w sobie b.

Czyli tu jest 0.

v3 równa się 1 razy -- czyli 0 razy a dodać 1 razy b.

A potem v1 równa się 1/2 a dodać 1/2 b.

A potem v1 równa się 1/2 a dodać 1/2 b.

Dla każdego a i b, takiego że a i b są

dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Robię to dosyć formalnie.

Czyli to jest nasza -- każdy wektor, który to spełnia

jest wektorem własnym.

I to są wektory własne, które odpowiadają wartości własnej

lambda równej 3.

Czyli jeżeli na dowolny z tych wektorów zadziałamy naszą macierzą,

to dostaniemy ten sam wektor przeskalowany 3 razy.

Zapiszę to w ten sposób.

Przestrzeń własna dla lambda równego 3 jest równa

przestrzeni rozpiętej -- wszystkim możliwym kombinacjom liniowym

tego kolesia i tego kolesia.

Czyli 1/2, 1, 0,

i 1/2, 0, 1.

Czyli to jest jedna z przestrzeni własnych.

To jest ta, która odpowiada wartości własnej

lambda równej 3.

Zajmijmy się tą odpowiadającą lambda

równemu minus 3.

Czyli jeżeli lambda jest równe minus 3 -- zrobię to tutaj,

myślę, że mam wystarczająco dużo miejsca -- lambda równa się minus 3.

Ta macierz przyjmuje postać-- zacznę od diagonali -- minus 3 plus 1

daje minus 2.

Minus 3 odjąć 2 daje minus 5.

Minus 3 odjąć 2 daje minus 5.

Pozostałe elementy się nie zmieniają.

Minus 2, minus 2, 1.

Minus 2, minus 2 i 1.

A potem mnożymy to przez wektor z przestrzeni własnej

odpowiadającej lambda równemu minus 3 i mamy

dostać 0.

Po prostu stosuję to równanie tutaj, które wyprowadziliśmy

z tego tutaj.

Czyli przestrzeń własna, odpowiadająca lambda równemu

minus 3 jest jądrem tej macierzy tutaj, jest

zbiorem wektorów spełniających to równanie.

Jądro tego jest tym samym, co

jądro postaci wierszowo zredukowanej tej macierzy, a więc

sprowadźmy ją do postaci wierszowo zredukowanej.

Pierwszą rzeczą, którą chcę zrobić -- pierwszy

wiersz zachowam bez zmian.

Będą pisał trochę mniejszymi literami niż zwykle

bo obawiam się, że zabraknie mi miejsca.

Czyli minus 2, minus 2, minus 2.

Właściwie zrobię to w ten sposób.

Pominę niektóre kroki.

Podzielmy pierwszy wiersz przez minus 2.

Dostajemy 1, 1, 1.

A teraz zamieńmy ten drugi wiersz sumą drugiego wiersza

i tej wersji pierwszego wiersza.

Czyli ten koleś dodać tamten koleś daje 0, minus 5, minus -- albo

sformułuję to inaczej.

Zastąpię ten wiersz różnicą:

pierwszy wiersz odjąć drugi wiersz.

Czyli minus 2 odjąć minus 2 daje 0.

Minus 2 odjąć minus 5 daje plus 3.

A potem minus 2 odjąć 1 daje minus 3.

Teraz napiszę dla zabawy

ostatni wiersz innym kolorem.

I zrobię to samo.

Odejmę od tego wiersza ten wiersz.

Czyli minus 2 odjąć minus 2 daje 0.

Minus 2 dodać 2.

Minus 2 odjąć 1 daje minus 3.

I wreszcie mamy minus 2 odjąć minus 5.

Czyli minus 2 dodać 5.

A to jest 3.

Teraz zastąpię -- zrobię to w dwóch krokach.

Czyli to jest 1, 1, 1.

Zostawię to tak.

Właściwie -- no niech już zostanie tak.

Zastąpię teraz mój trzeci wiersz sumą trzeciego

i drugiego wiersza.

To się po prostu wyzeruje.

Jeżeli dodamy te elementy, to wszędzie dostaniemy 0.

Ten koleś się wyzerował.

A drugi wiersz podzielę przez 3.

Dostanę 0, 1, minus 1.

Już prawie skończyłem.

Zrobię to na pomarańczowo.

Teraz zastąpię pierwszy wiersz różnicą pierwszy wiersz

odjąć drugi wiersz.

Czyli dostajemy 1, 0, a potem 1 odjąć minus 1 daje 2.

1 odjąć minus 1 daje 2.

A potem w drugim wierszu mamy 0, 1, minus 1.

A ostatni wiersz jest równy 0, 0, 0.

Czyli dowolny v, który spełnia to równanie, będzie również

spełniał to równanie.

Jądro tej macierzy jest również jądrem

tamtej macierzy w postaci wierszowo zredukowanej.

Czyli v1, v2, v3 jest równe 0, 0, 0.

Przesunę to.

Ponieważ oficjalnie brakuje mi miejsca.

Przesunę to tutaj na dół, gdzie

mam trochę wolnego miejsca.

Przesuwam to na dół.

To odpowiada lambdzie równej minus 3.

To było dla lambda równego minus 3 --

to nie jest związane z tymi rzeczami tutaj.

Czyli jakie są wszystkie v1, v2 i v3, które spełniają to?

Czyli jeżeli powiemy, że v3 jest równe t.

Jeżeli v3 jest równe t, to co będziemy mieli tutaj?

Mamy -- to nam mówi, że v2 odjąć v3 jest równe 0.

Czyli to nam mówi, że v2 odjąć v3 -- 0 razy v1 dodać v2

odjąć v3 równa się 0.

Albo że v2 równa się v3, które jest równe t.

Tyle nam mówi drugie równanie.

A trzecie równanie mówi nam, albo górne równanie

mówi nam, v1 razy 1 -- czyli v1 dodać 0 razy v2 dodać 2 razy

v3 równa się 0.

Albo v1 równa się minus 2 v3, równa się minus 2 razy t.

Czyli przestrzeń własna odpowiadająca lambdzie równej

minus 3 jest równa zbiorowi wszystkich wektorów v1, v2

i v3, gdzie -- cóż, jest równa t razy -- v3 jest równe po prostu t.

v3 to jest po prostu t.

v2 również okazuje się być równe t.

Czyli 1 razy t.

A v1 równa się minus 2 razy t.

Dla t będącego dowolną liczbą rzeczywistą.

Albo inny sposób wysłowienia tego, to: przestrzeń własna dla lambda

równego minus 3 jest równa przestrzeni rozpiętej -- napisałem to

nieporządnie -- gdzie lambda równa się minus 3, jest równa

przestrzeni rozpiętej na wektorze minus 2, 1 i 1.

Tak po prostu.

Wygląda to interesująco,

ponieważ jeżeli weźmiecie iloczyn skalarny tego kolesia

z którymś z tych kolesi, myślę, że dostaniecie 0.

Czy to jest na pewno prawda?

Weźmy minus 2 razy 1/2, dostajemy minus 1 tutaj.

Potem mamy plus 1.

Razem 0.

A potem minus 2 razy 1/2.

Taak.

Jak zrobicie to z każdym z tych kolesi, dostajecie 0.

Czyli ta linia jest prostopadła do tamtej płaszczyzny.

Bardzo interesujące.

Narysujmy to więc, żeby mieć dobre wyobrażenie

tego co robimy.

Czyli mieliśmy macierz A rozmiaru 3 na 3.

Reprezentuje ona jakieś przekształcenie w R3.

I ma dwie wartości własne.

A każda z nich ma odpowiadającą wartość własną.

Czyli przestrzenią własną odpowiadającą wartości własnej

3 jest płaszczyzna w R3.

3 jest płaszczyzna w R3.

Czyli to jest przestrzeń własna dla lambda równego 3.

To jest przestrzeń rozpięta na tych dwóch wektorach.

Jeżeli je narysuję, to może wyglądają jakoś tak.

Tak po prostu.

A przestrzeń własna dla lambda równego

minus 3 jest prostą.

To jest prosta prostopadła do tej płaszczyzny.

Czyli taka prosta.

To jest przestrzeń rozpięta na tym kolesiu.

Jeżeli narysuję ten wektor, to może on wyglądać

jakoś tak.

A to jest przestrzeń na nim rozpięta.

Czyli co to nam mówi -- to jest przestrzeń własna dla lambda

równego minus 3.

Czyli co to nam mówi -- tak tylko żeby się upewnić,

że poprawnie interpretujemy nasze wartości i przestrzenie własne --

to, że jak mi dacie dowolny wektor własny, dacie mi dowolny

wektor stąd, dacie mi dowolny wektor leżący tu,

powiedzmy, że to jest wektor x.

Jeżeli zadziałam na niego przekształceniem, jeżeli pomnożę go przez A,

dostanę minus 3 razy to.

Ponieważ to jest przestrzeń własna odpowiadająca wartości własnej 3.

Czyli jeżeli zadziałamy A na x, A razy x, to dostaniemy

3 razy to, tak po prostu.

Czyli to będzie A razy x.

Tyle mi to mówi.

To będzie prawda dla każdego z tych kolesi.

Jeżeli to było x i wzięliśmy A razy x, to dostaniemy

3 razy dłuższy wektor.

Teraz ci kolesie tutaj, jeżeli mamy jakiś wektor

w tej przestrzeni własnej, który odpowiada lambda równemu 3

i zastosujemy przekształcenie...

Powiedzmy, że x leży tutaj.

Jeżeli weźmiemy przekształcenie x, to dostaniemy wektor

3 razy dłuższy, przeciwnie skierowany.

Nadal będzie leżał na tej linii.

Czyli będzie wskazywał w dół właśnie tak.

Czyli to będzie A razy x.

To będzie to samo, będzie 3 razy dłuższy, ale

skierowany w przeciwną stronę.

Ponieważ odpowiada wartości lambda równej minus 3.

Tak czy inaczej, myślę że udało nam się dużo osiągnąć.

Nie tylko znaleźliśmy wartości własne macierzy 3 na 3,

ale teraz znaleźliśmy wszystkie jej wektory własne.

Jest ich nieskończenie wiele, ale składają się

na dwie przestrzenie własne, które odpowiadają

tym dwóm wartościom własnym: minus 3 i 3.

Do zobaczenia w następnym filmie.

Do zobaczenia w następnym filmie.