[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.00,0:00:00.62,Default,,0000,0000,0000,,W poprzednim filmie obliczyliśmy wartości własne tej
Dialogue: 0,0:00:00.62,0:00:03.41,Default,,0000,0000,0000,,W poprzednim filmie obliczyliśmy wartości własne tej
Dialogue: 0,0:00:03.41,0:00:05.83,Default,,0000,0000,0000,,macierzy A, wymiaru 3 na 3.
Dialogue: 0,0:00:05.83,0:00:08.28,Default,,0000,0000,0000,,I powiedzieliśmy, że wartość własne to jest liczba
Dialogue: 0,0:00:08.28,0:00:11.41,Default,,0000,0000,0000,,lambda, która spełnia to równanie, jeżeli v
Dialogue: 0,0:00:11.41,0:00:13.28,Default,,0000,0000,0000,,jest niezerowym wektorem.
Dialogue: 0,0:00:13.28,0:00:17.30,Default,,0000,0000,0000,,A to oznacza, dowolną wartość lambda, która spełnia
Dialogue: 0,0:00:17.30,0:00:20.39,Default,,0000,0000,0000,,to równanie dla niezerowego wektora v.
Dialogue: 0,0:00:20.39,0:00:22.76,Default,,0000,0000,0000,,Potem zrobiliśmy trochę przekształceń, które można nazwać
Dialogue: 0,0:00:22.76,0:00:25.37,Default,,0000,0000,0000,,algebrą wektorową, żeby dostać to tutaj.
Dialogue: 0,0:00:25.37,0:00:26.89,Default,,0000,0000,0000,,Możecie obejrzeć jeszcze raz tamten film, jak chcecie.
Dialogue: 0,0:00:26.89,0:00:29.70,Default,,0000,0000,0000,,A potem ustaliliśmy, że jedyna możliwość, żeby
Dialogue: 0,0:00:29.70,0:00:33.71,Default,,0000,0000,0000,,to miało niezerowe rozwiązanie jest taka, że ta macierz
Dialogue: 0,0:00:33.71,0:00:36.32,Default,,0000,0000,0000,,ma nietrywialne jądro.
Dialogue: 0,0:00:36.32,0:00:39.79,Default,,0000,0000,0000,,A tylko nieodwracalne macierze mają
Dialogue: 0,0:00:39.79,0:00:40.97,Default,,0000,0000,0000,,nietrywialne jądro.
Dialogue: 0,0:00:40.97,0:00:45.02,Default,,0000,0000,0000,,Albo inaczej, tylko macierze których wyznacznik jest równy 0
Dialogue: 0,0:00:45.02,0:00:46.77,Default,,0000,0000,0000,,mają nietrywialne jądro.
Dialogue: 0,0:00:46.77,0:00:49.51,Default,,0000,0000,0000,,Czyli robimy to, dostajemy wielomian charakterystyczny
Dialogue: 0,0:00:49.51,0:00:50.68,Default,,0000,0000,0000,,i możemy go rozwiązać.
Dialogue: 0,0:00:50.68,0:00:55.00,Default,,0000,0000,0000,,Obliczyliśmy nasze wartości własne, lambda równe 3
Dialogue: 0,0:00:55.00,0:00:58.37,Default,,0000,0000,0000,,lub lambda równe minus 3.
Dialogue: 0,0:00:58.37,0:01:01.05,Default,,0000,0000,0000,,A teraz zróbmy -- ja uważam to za najciekawszą
Dialogue: 0,0:01:01.05,0:01:03.84,Default,,0000,0000,0000,,część -- znajdźmy wektory własne
Dialogue: 0,0:01:03.84,0:01:05.53,Default,,0000,0000,0000,,albo przestrzenie własne.
Dialogue: 0,0:01:05.53,0:01:08.80,Default,,0000,0000,0000,,Czyli możemy wrócić do tego równania, dla dowolnej wartości własnej
Dialogue: 0,0:01:08.80,0:01:09.57,Default,,0000,0000,0000,,to musi być spełnione.
Dialogue: 0,0:01:09.57,0:01:12.30,Default,,0000,0000,0000,,To musi być spełnione, ale z tym łatwiej jest pracować.
Dialogue: 0,0:01:12.30,0:01:18.14,Default,,0000,0000,0000,,A więc ta macierz tutaj razy nasz wektor własny musi
Dialogue: 0,0:01:18.14,0:01:21.10,Default,,0000,0000,0000,,być równe 0 dla dowolnej danej wartości własnej.
Dialogue: 0,0:01:21.10,0:01:23.72,Default,,0000,0000,0000,,Ta macierz tutaj -- po prostu skopiowałem
Dialogue: 0,0:01:23.72,0:01:24.74,Default,,0000,0000,0000,,i wkleiłem ją z góry.
Dialogue: 0,0:01:24.74,0:01:27.12,Default,,0000,0000,0000,,Zrobiłem na niej linie do reguły Sarrusa, które możecie
Dialogue: 0,0:01:27.12,0:01:28.87,Default,,0000,0000,0000,,zignorować -- to jest po prostu ta macierz
Dialogue: 0,0:01:28.87,0:01:30.43,Default,,0000,0000,0000,,tutaj dla dowolnego lambda.
Dialogue: 0,0:01:30.43,0:01:32.81,Default,,0000,0000,0000,,Lambda razy macierz jednostkowa odjąć A
Dialogue: 0,0:01:32.81,0:01:34.33,Default,,0000,0000,0000,,jest równe temu.
Dialogue: 0,0:01:34.33,0:01:37.60,Default,,0000,0000,0000,,Weźmy więc tę macierz dla każdej z naszych wartości własnych
Dialogue: 0,0:01:37.60,0:01:42.19,Default,,0000,0000,0000,,a potem znajdziemy wektory własne lub przestrzenie własne.
Dialogue: 0,0:01:42.19,0:01:47.39,Default,,0000,0000,0000,,Zaczniemy od przypadku lambda równe 3.
Dialogue: 0,0:01:47.39,0:01:52.29,Default,,0000,0000,0000,,Czyli jeżeli lambda jest równe 3, ta macierz przyjmuje postać lambda dodać 1
Dialogue: 0,0:01:52.29,0:01:58.90,Default,,0000,0000,0000,,czyli 4, lambda odjąć 2 daje 1, lambda odjąć 2 daje 1.
Dialogue: 0,0:01:58.90,0:02:02.59,Default,,0000,0000,0000,,A pozostałe elementy pozostają takie same, minus 2,
Dialogue: 0,0:02:02.59,0:02:08.38,Default,,0000,0000,0000,,minus 2, minus 2, 1, minus 2 i 1.
Dialogue: 0,0:02:08.38,0:02:12.39,Default,,0000,0000,0000,,A potem to razy ten wektor v, nasz wektor własny v,
Dialogue: 0,0:02:12.39,0:02:15.01,Default,,0000,0000,0000,,ma być równe 0.
Dialogue: 0,0:02:15.01,0:02:19.07,Default,,0000,0000,0000,,Albo możemy powiedzieć, że przestrzeń własna dla
Dialogue: 0,0:02:19.07,0:02:21.99,Default,,0000,0000,0000,,wartości własnej 3 jest jądrem tej macierzy.
Dialogue: 0,0:02:21.99,0:02:23.23,Default,,0000,0000,0000,,Która nie jest tą macierzą.
Dialogue: 0,0:02:23.23,0:02:25.69,Default,,0000,0000,0000,,To jest lambda razy macierz jednostkowa odjąć A.
Dialogue: 0,0:02:25.69,0:02:29.06,Default,,0000,0000,0000,,Czyli jądro tej macierzy jest przestrzenią własną.
Dialogue: 0,0:02:29.06,0:02:32.51,Default,,0000,0000,0000,,Czyli wszystkie wartości, które to spełniają stanowią
Dialogue: 0,0:02:32.51,0:02:36.54,Default,,0000,0000,0000,,wektory własne z przestrzeni własnej odpowiadającej lambda równemu 3.
Dialogue: 0,0:02:36.54,0:02:37.40,Default,,0000,0000,0000,,Czyli rozwiążmy to.
Dialogue: 0,0:02:37.40,0:02:39.94,Default,,0000,0000,0000,,Czyli jądro tej macierzy -- możemy sprowadzić ją
Dialogue: 0,0:02:39.94,0:02:42.75,Default,,0000,0000,0000,,do postaci wierszowo zredukowanej -- jądro tej macierzy
Dialogue: 0,0:02:42.75,0:02:44.58,Default,,0000,0000,0000,,jest tym samy to jądro tej macierzy sprowadzonej do
Dialogue: 0,0:02:44.58,0:02:45.56,Default,,0000,0000,0000,,postaci wierszowo zredukowanej.
Dialogue: 0,0:02:45.56,0:02:48.31,Default,,0000,0000,0000,,A więc zredukujmy ją wierszowo.
Dialogue: 0,0:02:48.31,0:02:51.65,Default,,0000,0000,0000,,Pierwszą rzeczą którą chcę zrobić --
Dialogue: 0,0:02:51.65,0:02:54.07,Default,,0000,0000,0000,,zrobię to tu.
Dialogue: 0,0:02:54.07,0:02:58.94,Default,,0000,0000,0000,,Zaczynam -- na razie pierwszy wiersz zostawię bez zmian.
Dialogue: 0,0:02:58.94,0:03:02.20,Default,,0000,0000,0000,,4, minus 2, minus 2.
Dialogue: 0,0:03:02.20,0:03:07.25,Default,,0000,0000,0000,,A teraz zastąpię drugi wiersz sumą drugiego pomnożonego przez 2
Dialogue: 0,0:03:07.25,0:03:08.15,Default,,0000,0000,0000,,i pierwszego wiersza.
Dialogue: 0,0:03:08.15,0:03:12.97,Default,,0000,0000,0000,,Czyli minus 2 razy2 dodać 1 daje 0.
Dialogue: 0,0:03:12.97,0:03:16.27,Default,,0000,0000,0000,,1 razy 2 dodać minus 2 daje 0.
Dialogue: 0,0:03:16.27,0:03:19.19,Default,,0000,0000,0000,,1 razy 2 dodać minus 2 daje 0.
Dialogue: 0,0:03:19.19,0:03:20.90,Default,,0000,0000,0000,,Ten wiersz jest taki sam jak ten wiersz.
Dialogue: 0,0:03:20.90,0:03:22.18,Default,,0000,0000,0000,,Czyli zrobię to samo.
Dialogue: 0,0:03:22.18,0:03:25.36,Default,,0000,0000,0000,,Minus 2 razy 2 dodać 4 daje 0.
Dialogue: 0,0:03:25.36,0:03:27.86,Default,,0000,0000,0000,,1 razy 2 dodać 2 daje 0.
Dialogue: 0,0:03:27.86,0:03:31.57,Default,,0000,0000,0000,,A potem 1 razy 2 dodać minus 2 daje 0.
Dialogue: 0,0:03:31.57,0:03:33.84,Default,,0000,0000,0000,,Czyli rozwiązania tego równania są takie same
Dialogue: 0,0:03:33.84,0:03:35.27,Default,,0000,0000,0000,,jak rozwiązania tego równania.
Dialogue: 0,0:03:35.27,0:03:37.25,Default,,0000,0000,0000,,Zapiszę to w ten sposób.
Dialogue: 0,0:03:37.25,0:03:38.47,Default,,0000,0000,0000,,Zamiast pisać po prostu wektor v,
Dialogue: 0,0:03:38.47,0:03:40.70,Default,,0000,0000,0000,,napiszę składowe.
Dialogue: 0,0:03:40.70,0:03:47.57,Default,,0000,0000,0000,,Czyli v1, v2, v3. To ma być równe wektorowi 0.
Dialogue: 0,0:03:47.57,0:03:48.30,Default,,0000,0000,0000,,0, 0, 0.
Dialogue: 0,0:03:48.30,0:03:50.18,Default,,0000,0000,0000,,Przepisałem to trochę inaczej.
Dialogue: 0,0:03:50.18,0:03:53.01,Default,,0000,0000,0000,,Czyli te dwa wiersze, czy te dwa równania, nie dają
Dialogue: 0,0:03:53.01,0:03:53.70,Default,,0000,0000,0000,,nam żadnej informacji.
Dialogue: 0,0:03:53.70,0:03:58.49,Default,,0000,0000,0000,,Jedyną informację niesie ten wiersz tutaj na górze, który mówi
Dialogue: 0,0:03:58.49,0:04:04.56,Default,,0000,0000,0000,,że 4 razy v1 odjąć 2 razy v2 -- właściwie to nie była do końca
Dialogue: 0,0:04:04.56,0:04:06.82,Default,,0000,0000,0000,,zredukowana wierszowo macierz, ale wystarczająco blisko,
Dialogue: 0,0:04:06.82,0:04:10.05,Default,,0000,0000,0000,,żeby łatwo się z nią pracowało -- 4 razy v1 odjąć 2 razy v2
Dialogue: 0,0:04:10.05,0:04:17.92,Default,,0000,0000,0000,,odjąć 2 razy v3 równa się 0.
Dialogue: 0,0:04:17.92,0:04:20.05,Default,,0000,0000,0000,,Podzielmy przez 4.
Dialogue: 0,0:04:20.05,0:04:22.83,Default,,0000,0000,0000,,Mogłem podzielić przez 4 tutaj.
Dialogue: 0,0:04:22.83,0:04:23.97,Default,,0000,0000,0000,,Pominąłem wtedy ten krok.
Dialogue: 0,0:04:23.97,0:04:30.21,Default,,0000,0000,0000,,Ale jak podzielimy przez 4 dotaniemy v1 odjąć 1/2 v2 odjąć 1/2 v3
Dialogue: 0,0:04:30.21,0:04:31.62,Default,,0000,0000,0000,,równa się 0.
Dialogue: 0,0:04:31.62,0:04:36.49,Default,,0000,0000,0000,,Albo v1 równa się 1/2 v2 dodać 1/2 v3.
Dialogue: 0,0:04:36.49,0:04:39.40,Default,,0000,0000,0000,,Po prostu dodałem tych dwóch kolesi do obu stron równania.
Dialogue: 0,0:04:39.40,0:04:45.77,Default,,0000,0000,0000,,Moglibyśmy powiedzieć, powiedzmy, że v2 jest równe -- no nie wiem
Dialogue: 0,0:04:45.77,0:04:50.18,Default,,0000,0000,0000,,wybiorę jakąś losową liczbę -- a
Dialogue: 0,0:04:50.18,0:04:55.83,Default,,0000,0000,0000,,a v3 jest równe b, wtedy możemy powiedzieć -- wtedy v1 będzie
Dialogue: 0,0:04:55.83,0:05:00.20,Default,,0000,0000,0000,,równe 1/2 a dodać 1/2 b.
Dialogue: 0,0:05:00.20,0:05:07.02,Default,,0000,0000,0000,,Możemy powiedzieć, że przestrzeń własna dla lambda równego 3 jest
Dialogue: 0,0:05:07.02,0:05:14.90,Default,,0000,0000,0000,,zbiorem wszystkich wektorów, v1, v2, v3, które są równe
Dialogue: 0,0:05:14.90,0:05:18.35,Default,,0000,0000,0000,,a razy, razy -- v2 równa się a, zgadza się?
Dialogue: 0,0:05:18.35,0:05:21.20,Default,,0000,0000,0000,,Czyli v2 równa się a razy 1.
Dialogue: 0,0:05:21.20,0:05:22.81,Default,,0000,0000,0000,,v3 nie ma w sobie a.
Dialogue: 0,0:05:22.81,0:05:26.02,Default,,0000,0000,0000,,Czyli to jest a razy 0.
Dialogue: 0,0:05:26.02,0:05:30.95,Default,,0000,0000,0000,,Dodać b razy -- v2 to jest po prostu a.
Dialogue: 0,0:05:30.95,0:05:32.49,Default,,0000,0000,0000,,v2 nie ma w sobie b.
Dialogue: 0,0:05:32.49,0:05:33.64,Default,,0000,0000,0000,,Czyli tu jest 0.
Dialogue: 0,0:05:33.64,0:05:39.29,Default,,0000,0000,0000,,v3 równa się 1 razy -- czyli 0 razy a dodać 1 razy b.
Dialogue: 0,0:05:39.29,0:05:43.74,Default,,0000,0000,0000,,A potem v1 równa się 1/2 a dodać 1/2 b.
Dialogue: 0,0:05:43.74,0:05:48.26,Default,,0000,0000,0000,,A potem v1 równa się 1/2 a dodać 1/2 b.
Dialogue: 0,0:05:48.26,0:05:52.80,Default,,0000,0000,0000,,Dla każdego a i b, takiego że a i b są
Dialogue: 0,0:05:52.80,0:05:54.60,Default,,0000,0000,0000,,dowolnymi liczbami rzeczywistymi.
Dialogue: 0,0:05:54.60,0:05:56.66,Default,,0000,0000,0000,,Robię to dosyć formalnie.
Dialogue: 0,0:05:56.66,0:06:02.18,Default,,0000,0000,0000,,Czyli to jest nasza -- każdy wektor, który to spełnia
Dialogue: 0,0:06:02.18,0:06:03.32,Default,,0000,0000,0000,,jest wektorem własnym.
Dialogue: 0,0:06:03.32,0:06:05.26,Default,,0000,0000,0000,,I to są wektory własne, które odpowiadają wartości własnej
Dialogue: 0,0:06:05.26,0:06:07.19,Default,,0000,0000,0000,,lambda równej 3.
Dialogue: 0,0:06:07.19,0:06:10.20,Default,,0000,0000,0000,,Czyli jeżeli na dowolny z tych wektorów zadziałamy naszą macierzą,
Dialogue: 0,0:06:10.20,0:06:14.45,Default,,0000,0000,0000,,to dostaniemy ten sam wektor przeskalowany 3 razy.
Dialogue: 0,0:06:14.45,0:06:16.80,Default,,0000,0000,0000,,Zapiszę to w ten sposób.
Dialogue: 0,0:06:16.80,0:06:20.22,Default,,0000,0000,0000,,Przestrzeń własna dla lambda równego 3 jest równa
Dialogue: 0,0:06:20.22,0:06:23.95,Default,,0000,0000,0000,,przestrzeni rozpiętej -- wszystkim możliwym kombinacjom liniowym
Dialogue: 0,0:06:23.95,0:06:25.29,Default,,0000,0000,0000,,tego kolesia i tego kolesia.
Dialogue: 0,0:06:25.29,0:06:28.71,Default,,0000,0000,0000,,Czyli 1/2, 1, 0,
Dialogue: 0,0:06:28.71,0:06:36.43,Default,,0000,0000,0000,,i 1/2, 0, 1.
Dialogue: 0,0:06:36.43,0:06:39.64,Default,,0000,0000,0000,,Czyli to jest jedna z przestrzeni własnych.
Dialogue: 0,0:06:39.64,0:06:40.75,Default,,0000,0000,0000,,To jest ta, która odpowiada wartości własnej
Dialogue: 0,0:06:40.75,0:06:41.64,Default,,0000,0000,0000,,lambda równej 3.
Dialogue: 0,0:06:41.64,0:06:43.29,Default,,0000,0000,0000,,Zajmijmy się tą odpowiadającą lambda
Dialogue: 0,0:06:43.29,0:06:45.06,Default,,0000,0000,0000,,równemu minus 3.
Dialogue: 0,0:06:45.06,0:06:47.42,Default,,0000,0000,0000,,Czyli jeżeli lambda jest równe minus 3 -- zrobię to tutaj,
Dialogue: 0,0:06:47.42,0:06:50.41,Default,,0000,0000,0000,,myślę, że mam wystarczająco dużo miejsca -- lambda równa się minus 3.
Dialogue: 0,0:06:50.41,0:06:57.85,Default,,0000,0000,0000,,Ta macierz przyjmuje postać-- zacznę od diagonali -- minus 3 plus 1
Dialogue: 0,0:06:57.85,0:06:59.30,Default,,0000,0000,0000,,daje minus 2.
Dialogue: 0,0:06:59.30,0:07:02.95,Default,,0000,0000,0000,,Minus 3 odjąć 2 daje minus 5.
Dialogue: 0,0:07:02.95,0:07:05.96,Default,,0000,0000,0000,,Minus 3 odjąć 2 daje minus 5.
Dialogue: 0,0:07:05.96,0:07:08.16,Default,,0000,0000,0000,,Pozostałe elementy się nie zmieniają.
Dialogue: 0,0:07:08.16,0:07:11.52,Default,,0000,0000,0000,,Minus 2, minus 2, 1.
Dialogue: 0,0:07:11.52,0:07:15.11,Default,,0000,0000,0000,,Minus 2, minus 2 i 1.
Dialogue: 0,0:07:15.11,0:07:20.21,Default,,0000,0000,0000,,A potem mnożymy to przez wektor z przestrzeni własnej
Dialogue: 0,0:07:20.21,0:07:24.39,Default,,0000,0000,0000,,odpowiadającej lambda równemu minus 3 i mamy
Dialogue: 0,0:07:24.39,0:07:25.05,Default,,0000,0000,0000,,dostać 0.
Dialogue: 0,0:07:25.05,0:07:27.14,Default,,0000,0000,0000,,Po prostu stosuję to równanie tutaj, które wyprowadziliśmy
Dialogue: 0,0:07:27.14,0:07:29.55,Default,,0000,0000,0000,,z tego tutaj.
Dialogue: 0,0:07:29.55,0:07:34.12,Default,,0000,0000,0000,,Czyli przestrzeń własna, odpowiadająca lambda równemu
Dialogue: 0,0:07:34.12,0:07:37.32,Default,,0000,0000,0000,,minus 3 jest jądrem tej macierzy tutaj, jest
Dialogue: 0,0:07:37.32,0:07:40.04,Default,,0000,0000,0000,,zbiorem wektorów spełniających to równanie.
Dialogue: 0,0:07:40.04,0:07:42.21,Default,,0000,0000,0000,,Jądro tego jest tym samym, co
Dialogue: 0,0:07:42.21,0:07:45.67,Default,,0000,0000,0000,,jądro postaci wierszowo zredukowanej tej macierzy, a więc
Dialogue: 0,0:07:45.67,0:07:48.19,Default,,0000,0000,0000,,sprowadźmy ją do postaci wierszowo zredukowanej.
Dialogue: 0,0:07:48.19,0:07:51.51,Default,,0000,0000,0000,,Pierwszą rzeczą, którą chcę zrobić -- pierwszy
Dialogue: 0,0:07:51.51,0:07:52.36,Default,,0000,0000,0000,,wiersz zachowam bez zmian.
Dialogue: 0,0:07:52.36,0:07:54.62,Default,,0000,0000,0000,,Będą pisał trochę mniejszymi literami niż zwykle
Dialogue: 0,0:07:54.62,0:07:56.80,Default,,0000,0000,0000,,bo obawiam się, że zabraknie mi miejsca.
Dialogue: 0,0:07:56.80,0:08:01.01,Default,,0000,0000,0000,,Czyli minus 2, minus 2, minus 2.
Dialogue: 0,0:08:01.01,0:08:03.17,Default,,0000,0000,0000,,Właściwie zrobię to w ten sposób.
Dialogue: 0,0:08:03.17,0:08:04.83,Default,,0000,0000,0000,,Pominę niektóre kroki.
Dialogue: 0,0:08:04.83,0:08:07.00,Default,,0000,0000,0000,,Podzielmy pierwszy wiersz przez minus 2.
Dialogue: 0,0:08:07.00,0:08:10.23,Default,,0000,0000,0000,,Dostajemy 1, 1, 1.
Dialogue: 0,0:08:10.23,0:08:14.19,Default,,0000,0000,0000,,A teraz zamieńmy ten drugi wiersz sumą drugiego wiersza
Dialogue: 0,0:08:14.19,0:08:16.47,Default,,0000,0000,0000,,i tej wersji pierwszego wiersza.
Dialogue: 0,0:08:16.47,0:08:22.17,Default,,0000,0000,0000,,Czyli ten koleś dodać tamten koleś daje 0, minus 5, minus -- albo
Dialogue: 0,0:08:22.17,0:08:22.96,Default,,0000,0000,0000,,sformułuję to inaczej.
Dialogue: 0,0:08:22.96,0:08:27.35,Default,,0000,0000,0000,,Zastąpię ten wiersz różnicą:
Dialogue: 0,0:08:27.35,0:08:28.72,Default,,0000,0000,0000,,pierwszy wiersz odjąć drugi wiersz.
Dialogue: 0,0:08:28.72,0:08:32.18,Default,,0000,0000,0000,,Czyli minus 2 odjąć minus 2 daje 0.
Dialogue: 0,0:08:32.18,0:08:36.45,Default,,0000,0000,0000,,Minus 2 odjąć minus 5 daje plus 3.
Dialogue: 0,0:08:36.45,0:08:43.67,Default,,0000,0000,0000,,A potem minus 2 odjąć 1 daje minus 3.
Dialogue: 0,0:08:43.67,0:08:44.77,Default,,0000,0000,0000,,Teraz napiszę dla zabawy
Dialogue: 0,0:08:44.77,0:08:46.06,Default,,0000,0000,0000,,ostatni wiersz innym kolorem.
Dialogue: 0,0:08:46.06,0:08:47.33,Default,,0000,0000,0000,,I zrobię to samo.
Dialogue: 0,0:08:47.33,0:08:49.84,Default,,0000,0000,0000,,Odejmę od tego wiersza ten wiersz.
Dialogue: 0,0:08:49.84,0:08:54.11,Default,,0000,0000,0000,,Czyli minus 2 odjąć minus 2 daje 0.
Dialogue: 0,0:08:54.11,0:08:55.15,Default,,0000,0000,0000,,Minus 2 dodać 2.
Dialogue: 0,0:08:55.15,0:08:58.39,Default,,0000,0000,0000,,Minus 2 odjąć 1 daje minus 3.
Dialogue: 0,0:08:58.39,0:09:03.21,Default,,0000,0000,0000,,I wreszcie mamy minus 2 odjąć minus 5.
Dialogue: 0,0:09:03.21,0:09:04.33,Default,,0000,0000,0000,,Czyli minus 2 dodać 5.
Dialogue: 0,0:09:04.33,0:09:06.09,Default,,0000,0000,0000,,A to jest 3.
Dialogue: 0,0:09:06.09,0:09:13.77,Default,,0000,0000,0000,,Teraz zastąpię -- zrobię to w dwóch krokach.
Dialogue: 0,0:09:13.77,0:09:15.57,Default,,0000,0000,0000,,Czyli to jest 1, 1, 1.
Dialogue: 0,0:09:15.57,0:09:18.77,Default,,0000,0000,0000,,Zostawię to tak.
Dialogue: 0,0:09:18.77,0:09:23.48,Default,,0000,0000,0000,,Właściwie -- no niech już zostanie tak.
Dialogue: 0,0:09:23.48,0:09:26.59,Default,,0000,0000,0000,,Zastąpię teraz mój trzeci wiersz sumą trzeciego
Dialogue: 0,0:09:26.59,0:09:27.87,Default,,0000,0000,0000,,i drugiego wiersza.
Dialogue: 0,0:09:27.87,0:09:28.66,Default,,0000,0000,0000,,To się po prostu wyzeruje.
Dialogue: 0,0:09:28.66,0:09:31.27,Default,,0000,0000,0000,,Jeżeli dodamy te elementy, to wszędzie dostaniemy 0.
Dialogue: 0,0:09:31.27,0:09:32.54,Default,,0000,0000,0000,,Ten koleś się wyzerował.
Dialogue: 0,0:09:32.54,0:09:35.41,Default,,0000,0000,0000,,A drugi wiersz podzielę przez 3.
Dialogue: 0,0:09:35.41,0:09:39.53,Default,,0000,0000,0000,,Dostanę 0, 1, minus 1.
Dialogue: 0,0:09:39.53,0:09:42.97,Default,,0000,0000,0000,,Już prawie skończyłem.
Dialogue: 0,0:09:42.97,0:09:45.33,Default,,0000,0000,0000,,Zrobię to na pomarańczowo.
Dialogue: 0,0:09:45.33,0:09:48.68,Default,,0000,0000,0000,,Teraz zastąpię pierwszy wiersz różnicą pierwszy wiersz
Dialogue: 0,0:09:48.68,0:09:49.47,Default,,0000,0000,0000,,odjąć drugi wiersz.
Dialogue: 0,0:09:49.47,0:09:57.25,Default,,0000,0000,0000,,Czyli dostajemy 1, 0, a potem 1 odjąć minus 1 daje 2.
Dialogue: 0,0:09:57.25,0:09:59.44,Default,,0000,0000,0000,,1 odjąć minus 1 daje 2.
Dialogue: 0,0:09:59.44,0:10:03.76,Default,,0000,0000,0000,,A potem w drugim wierszu mamy 0, 1, minus 1.
Dialogue: 0,0:10:03.76,0:10:07.77,Default,,0000,0000,0000,,A ostatni wiersz jest równy 0, 0, 0.
Dialogue: 0,0:10:07.77,0:10:10.91,Default,,0000,0000,0000,,Czyli dowolny v, który spełnia to równanie, będzie również
Dialogue: 0,0:10:10.91,0:10:13.48,Default,,0000,0000,0000,,spełniał to równanie.
Dialogue: 0,0:10:13.48,0:10:15.65,Default,,0000,0000,0000,,Jądro tej macierzy jest również jądrem
Dialogue: 0,0:10:15.65,0:10:18.18,Default,,0000,0000,0000,,tamtej macierzy w postaci wierszowo zredukowanej.
Dialogue: 0,0:10:18.18,0:10:26.01,Default,,0000,0000,0000,,Czyli v1, v2, v3 jest równe 0, 0, 0.
Dialogue: 0,0:10:26.01,0:10:26.93,Default,,0000,0000,0000,,Przesunę to.
Dialogue: 0,0:10:26.93,0:10:29.53,Default,,0000,0000,0000,,Ponieważ oficjalnie brakuje mi miejsca.
Dialogue: 0,0:10:29.53,0:10:33.11,Default,,0000,0000,0000,,Przesunę to tutaj na dół, gdzie
Dialogue: 0,0:10:33.11,0:10:35.62,Default,,0000,0000,0000,,mam trochę wolnego miejsca.
Dialogue: 0,0:10:35.62,0:10:36.80,Default,,0000,0000,0000,,Przesuwam to na dół.
Dialogue: 0,0:10:36.80,0:10:41.43,Default,,0000,0000,0000,,To odpowiada lambdzie równej minus 3.
Dialogue: 0,0:10:41.43,0:10:44.83,Default,,0000,0000,0000,,To było dla lambda równego minus 3 --
Dialogue: 0,0:10:44.83,0:10:47.20,Default,,0000,0000,0000,,to nie jest związane z tymi rzeczami tutaj.
Dialogue: 0,0:10:47.20,0:10:51.62,Default,,0000,0000,0000,,Czyli jakie są wszystkie v1, v2 i v3, które spełniają to?
Dialogue: 0,0:10:51.62,0:11:00.10,Default,,0000,0000,0000,,Czyli jeżeli powiemy, że v3 jest równe t.
Dialogue: 0,0:11:00.10,0:11:04.31,Default,,0000,0000,0000,,Jeżeli v3 jest równe t, to co będziemy mieli tutaj?
Dialogue: 0,0:11:04.31,0:11:08.53,Default,,0000,0000,0000,,Mamy -- to nam mówi, że v2 odjąć v3 jest równe 0.
Dialogue: 0,0:11:08.53,0:11:15.70,Default,,0000,0000,0000,,Czyli to nam mówi, że v2 odjąć v3 -- 0 razy v1 dodać v2
Dialogue: 0,0:11:15.70,0:11:18.15,Default,,0000,0000,0000,,odjąć v3 równa się 0.
Dialogue: 0,0:11:18.15,0:11:22.66,Default,,0000,0000,0000,,Albo że v2 równa się v3, które jest równe t.
Dialogue: 0,0:11:22.66,0:11:25.34,Default,,0000,0000,0000,,Tyle nam mówi drugie równanie.
Dialogue: 0,0:11:25.34,0:11:28.15,Default,,0000,0000,0000,,A trzecie równanie mówi nam, albo górne równanie
Dialogue: 0,0:11:28.15,0:11:34.06,Default,,0000,0000,0000,,mówi nam, v1 razy 1 -- czyli v1 dodać 0 razy v2 dodać 2 razy
Dialogue: 0,0:11:34.06,0:11:37.99,Default,,0000,0000,0000,,v3 równa się 0.
Dialogue: 0,0:11:37.99,0:11:45.24,Default,,0000,0000,0000,,Albo v1 równa się minus 2 v3, równa się minus 2 razy t.
Dialogue: 0,0:11:45.24,0:11:50.11,Default,,0000,0000,0000,,Czyli przestrzeń własna odpowiadająca lambdzie równej
Dialogue: 0,0:11:50.11,0:11:56.93,Default,,0000,0000,0000,,minus 3 jest równa zbiorowi wszystkich wektorów v1, v2
Dialogue: 0,0:11:56.93,0:12:07.82,Default,,0000,0000,0000,,i v3, gdzie -- cóż, jest równa t razy -- v3 jest równe po prostu t.
Dialogue: 0,0:12:07.82,0:12:09.79,Default,,0000,0000,0000,,v3 to jest po prostu t.
Dialogue: 0,0:12:09.79,0:12:12.40,Default,,0000,0000,0000,,v2 również okazuje się być równe t.
Dialogue: 0,0:12:12.40,0:12:13.32,Default,,0000,0000,0000,,Czyli 1 razy t.
Dialogue: 0,0:12:13.32,0:12:17.53,Default,,0000,0000,0000,,A v1 równa się minus 2 razy t.
Dialogue: 0,0:12:17.53,0:12:20.39,Default,,0000,0000,0000,,Dla t będącego dowolną liczbą rzeczywistą.
Dialogue: 0,0:12:20.39,0:12:25.03,Default,,0000,0000,0000,,Albo inny sposób wysłowienia tego, to: przestrzeń własna dla lambda
Dialogue: 0,0:12:25.03,0:12:31.38,Default,,0000,0000,0000,,równego minus 3 jest równa przestrzeni rozpiętej -- napisałem to
Dialogue: 0,0:12:31.38,0:12:36.20,Default,,0000,0000,0000,,nieporządnie -- gdzie lambda równa się minus 3, jest równa
Dialogue: 0,0:12:36.20,0:12:45.02,Default,,0000,0000,0000,,przestrzeni rozpiętej na wektorze minus 2, 1 i 1.
Dialogue: 0,0:12:45.02,0:12:46.54,Default,,0000,0000,0000,,Tak po prostu.
Dialogue: 0,0:12:46.54,0:12:47.62,Default,,0000,0000,0000,,Wygląda to interesująco,
Dialogue: 0,0:12:47.62,0:12:50.51,Default,,0000,0000,0000,,ponieważ jeżeli weźmiecie iloczyn skalarny tego kolesia
Dialogue: 0,0:12:50.51,0:12:52.28,Default,,0000,0000,0000,,z którymś z tych kolesi, myślę, że dostaniecie 0.
Dialogue: 0,0:12:52.28,0:12:54.51,Default,,0000,0000,0000,,Czy to jest na pewno prawda?
Dialogue: 0,0:12:54.51,0:12:59.79,Default,,0000,0000,0000,,Weźmy minus 2 razy 1/2, dostajemy minus 1 tutaj.
Dialogue: 0,0:12:59.79,0:13:00.75,Default,,0000,0000,0000,,Potem mamy plus 1.
Dialogue: 0,0:13:00.75,0:13:01.58,Default,,0000,0000,0000,,Razem 0.
Dialogue: 0,0:13:01.58,0:13:03.75,Default,,0000,0000,0000,,A potem minus 2 razy 1/2.
Dialogue: 0,0:13:03.75,0:13:04.16,Default,,0000,0000,0000,,Taak.
Dialogue: 0,0:13:04.16,0:13:06.23,Default,,0000,0000,0000,,Jak zrobicie to z każdym z tych kolesi, dostajecie 0.
Dialogue: 0,0:13:06.23,0:13:09.20,Default,,0000,0000,0000,,Czyli ta linia jest prostopadła do tamtej płaszczyzny.
Dialogue: 0,0:13:09.20,0:13:09.79,Default,,0000,0000,0000,,Bardzo interesujące.
Dialogue: 0,0:13:09.79,0:13:12.99,Default,,0000,0000,0000,,Narysujmy to więc, żeby mieć dobre wyobrażenie
Dialogue: 0,0:13:12.99,0:13:13.77,Default,,0000,0000,0000,,tego co robimy.
Dialogue: 0,0:13:13.77,0:13:16.07,Default,,0000,0000,0000,,Czyli mieliśmy macierz A rozmiaru 3 na 3.
Dialogue: 0,0:13:16.07,0:13:18.92,Default,,0000,0000,0000,,Reprezentuje ona jakieś przekształcenie w R3.
Dialogue: 0,0:13:18.92,0:13:21.21,Default,,0000,0000,0000,,I ma dwie wartości własne.
Dialogue: 0,0:13:21.21,0:13:24.03,Default,,0000,0000,0000,,A każda z nich ma odpowiadającą wartość własną.
Dialogue: 0,0:13:24.03,0:13:26.03,Default,,0000,0000,0000,,Czyli przestrzenią własną odpowiadającą wartości własnej
Dialogue: 0,0:13:26.03,0:13:27.93,Default,,0000,0000,0000,,3 jest płaszczyzna w R3.
Dialogue: 0,0:13:27.93,0:13:31.94,Default,,0000,0000,0000,,3 jest płaszczyzna w R3.
Dialogue: 0,0:13:31.94,0:13:37.60,Default,,0000,0000,0000,,Czyli to jest przestrzeń własna dla lambda równego 3.
Dialogue: 0,0:13:37.60,0:13:40.37,Default,,0000,0000,0000,,To jest przestrzeń rozpięta na tych dwóch wektorach.
Dialogue: 0,0:13:40.37,0:13:43.04,Default,,0000,0000,0000,,Jeżeli je narysuję, to może wyglądają jakoś tak.
Dialogue: 0,0:13:43.04,0:13:44.04,Default,,0000,0000,0000,,Tak po prostu.
Dialogue: 0,0:13:44.04,0:13:46.44,Default,,0000,0000,0000,,A przestrzeń własna dla lambda równego
Dialogue: 0,0:13:46.44,0:13:47.85,Default,,0000,0000,0000,,minus 3 jest prostą.
Dialogue: 0,0:13:47.85,0:13:50.26,Default,,0000,0000,0000,,To jest prosta prostopadła do tej płaszczyzny.
Dialogue: 0,0:13:50.26,0:13:52.46,Default,,0000,0000,0000,,Czyli taka prosta.
Dialogue: 0,0:13:52.46,0:13:53.71,Default,,0000,0000,0000,,To jest przestrzeń rozpięta na tym kolesiu.
Dialogue: 0,0:13:53.71,0:13:55.87,Default,,0000,0000,0000,,Jeżeli narysuję ten wektor, to może on wyglądać
Dialogue: 0,0:13:55.87,0:13:57.15,Default,,0000,0000,0000,,jakoś tak.
Dialogue: 0,0:13:57.15,0:13:59.44,Default,,0000,0000,0000,,A to jest przestrzeń na nim rozpięta.
Dialogue: 0,0:13:59.44,0:14:04.92,Default,,0000,0000,0000,,Czyli co to nam mówi -- to jest przestrzeń własna dla lambda
Dialogue: 0,0:14:04.92,0:14:06.60,Default,,0000,0000,0000,,równego minus 3.
Dialogue: 0,0:14:06.60,0:14:08.83,Default,,0000,0000,0000,,Czyli co to nam mówi -- tak tylko żeby się upewnić,
Dialogue: 0,0:14:08.83,0:14:12.30,Default,,0000,0000,0000,,że poprawnie interpretujemy nasze wartości i przestrzenie własne --
Dialogue: 0,0:14:12.30,0:14:15.70,Default,,0000,0000,0000,,to, że jak mi dacie dowolny wektor własny, dacie mi dowolny
Dialogue: 0,0:14:15.70,0:14:18.96,Default,,0000,0000,0000,,wektor stąd, dacie mi dowolny wektor leżący tu,
Dialogue: 0,0:14:18.96,0:14:20.80,Default,,0000,0000,0000,,powiedzmy, że to jest wektor x.
Dialogue: 0,0:14:20.80,0:14:24.32,Default,,0000,0000,0000,,Jeżeli zadziałam na niego przekształceniem, jeżeli pomnożę go przez A,
Dialogue: 0,0:14:24.32,0:14:25.98,Default,,0000,0000,0000,,dostanę minus 3 razy to.
Dialogue: 0,0:14:25.98,0:14:29.44,Default,,0000,0000,0000,,Ponieważ to jest przestrzeń własna odpowiadająca wartości własnej 3.
Dialogue: 0,0:14:29.44,0:14:33.42,Default,,0000,0000,0000,,Czyli jeżeli zadziałamy A na x, A razy x, to dostaniemy
Dialogue: 0,0:14:33.42,0:14:34.46,Default,,0000,0000,0000,,3 razy to, tak po prostu.
Dialogue: 0,0:14:34.46,0:14:36.22,Default,,0000,0000,0000,,Czyli to będzie A razy x.
Dialogue: 0,0:14:36.22,0:14:36.90,Default,,0000,0000,0000,,Tyle mi to mówi.
Dialogue: 0,0:14:36.90,0:14:38.89,Default,,0000,0000,0000,,To będzie prawda dla każdego z tych kolesi.
Dialogue: 0,0:14:38.89,0:14:41.39,Default,,0000,0000,0000,,Jeżeli to było x i wzięliśmy A razy x, to dostaniemy
Dialogue: 0,0:14:41.39,0:14:42.74,Default,,0000,0000,0000,,3 razy dłuższy wektor.
Dialogue: 0,0:14:42.74,0:14:47.95,Default,,0000,0000,0000,,Teraz ci kolesie tutaj, jeżeli mamy jakiś wektor
Dialogue: 0,0:14:47.95,0:14:50.52,Default,,0000,0000,0000,,w tej przestrzeni własnej, który odpowiada lambda równemu 3
Dialogue: 0,0:14:50.52,0:14:51.64,Default,,0000,0000,0000,,i zastosujemy przekształcenie...
Dialogue: 0,0:14:51.64,0:14:53.50,Default,,0000,0000,0000,,Powiedzmy, że x leży tutaj.
Dialogue: 0,0:14:53.50,0:14:55.71,Default,,0000,0000,0000,,Jeżeli weźmiemy przekształcenie x, to dostaniemy wektor
Dialogue: 0,0:14:55.71,0:14:57.32,Default,,0000,0000,0000,,3 razy dłuższy, przeciwnie skierowany.
Dialogue: 0,0:14:57.32,0:14:59.23,Default,,0000,0000,0000,,Nadal będzie leżał na tej linii.
Dialogue: 0,0:14:59.23,0:15:01.72,Default,,0000,0000,0000,,Czyli będzie wskazywał w dół właśnie tak.
Dialogue: 0,0:15:01.72,0:15:03.34,Default,,0000,0000,0000,,Czyli to będzie A razy x.
Dialogue: 0,0:15:03.34,0:15:05.51,Default,,0000,0000,0000,,To będzie to samo, będzie 3 razy dłuższy, ale
Dialogue: 0,0:15:05.51,0:15:06.36,Default,,0000,0000,0000,,skierowany w przeciwną stronę.
Dialogue: 0,0:15:06.36,0:15:11.19,Default,,0000,0000,0000,,Ponieważ odpowiada wartości lambda równej minus 3.
Dialogue: 0,0:15:11.19,0:15:14.42,Default,,0000,0000,0000,,Tak czy inaczej, myślę że udało nam się dużo osiągnąć.
Dialogue: 0,0:15:14.42,0:15:18.29,Default,,0000,0000,0000,,Nie tylko znaleźliśmy wartości własne macierzy 3 na 3,
Dialogue: 0,0:15:18.29,0:15:20.76,Default,,0000,0000,0000,,ale teraz znaleźliśmy wszystkie jej wektory własne.
Dialogue: 0,0:15:20.76,0:15:22.26,Default,,0000,0000,0000,,Jest ich nieskończenie wiele, ale składają się
Dialogue: 0,0:15:22.26,0:15:26.59,Default,,0000,0000,0000,,na dwie przestrzenie własne, które odpowiadają
Dialogue: 0,0:15:26.59,0:15:31.17,Default,,0000,0000,0000,,tym dwóm wartościom własnym: minus 3 i 3.
Dialogue: 0,0:15:31.17,0:15:33.27,Default,,0000,0000,0000,,Do zobaczenia w następnym filmie.
Dialogue: 0,0:15:33.27,0:15:33.40,Default,,0000,0000,0000,,Do zobaczenia w następnym filmie.