1 00:00:00,000 --> 00:00:00,620 W poprzednim filmie obliczyliśmy wartości własne tej 2 00:00:00,620 --> 00:00:03,410 W poprzednim filmie obliczyliśmy wartości własne tej 3 00:00:03,410 --> 00:00:05,830 macierzy A, wymiaru 3 na 3. 4 00:00:05,830 --> 00:00:08,280 I powiedzieliśmy, że wartość własne to jest liczba 5 00:00:08,280 --> 00:00:11,410 lambda, która spełnia to równanie, jeżeli v 6 00:00:11,410 --> 00:00:13,280 jest niezerowym wektorem. 7 00:00:13,280 --> 00:00:17,300 A to oznacza, dowolną wartość lambda, która spełnia 8 00:00:17,300 --> 00:00:20,390 to równanie dla niezerowego wektora v. 9 00:00:20,390 --> 00:00:22,760 Potem zrobiliśmy trochę przekształceń, które można nazwać 10 00:00:22,760 --> 00:00:25,370 algebrą wektorową, żeby dostać to tutaj. 11 00:00:25,370 --> 00:00:26,890 Możecie obejrzeć jeszcze raz tamten film, jak chcecie. 12 00:00:26,890 --> 00:00:29,700 A potem ustaliliśmy, że jedyna możliwość, żeby 13 00:00:29,700 --> 00:00:33,710 to miało niezerowe rozwiązanie jest taka, że ta macierz 14 00:00:33,710 --> 00:00:36,320 ma nietrywialne jądro. 15 00:00:36,320 --> 00:00:39,790 A tylko nieodwracalne macierze mają 16 00:00:39,790 --> 00:00:40,970 nietrywialne jądro. 17 00:00:40,970 --> 00:00:45,020 Albo inaczej, tylko macierze których wyznacznik jest równy 0 18 00:00:45,020 --> 00:00:46,770 mają nietrywialne jądro. 19 00:00:46,770 --> 00:00:49,510 Czyli robimy to, dostajemy wielomian charakterystyczny 20 00:00:49,510 --> 00:00:50,680 i możemy go rozwiązać. 21 00:00:50,680 --> 00:00:55,000 Obliczyliśmy nasze wartości własne, lambda równe 3 22 00:00:55,000 --> 00:00:58,370 lub lambda równe minus 3. 23 00:00:58,370 --> 00:01:01,050 A teraz zróbmy -- ja uważam to za najciekawszą 24 00:01:01,050 --> 00:01:03,840 część -- znajdźmy wektory własne 25 00:01:03,840 --> 00:01:05,530 albo przestrzenie własne. 26 00:01:05,530 --> 00:01:08,800 Czyli możemy wrócić do tego równania, dla dowolnej wartości własnej 27 00:01:08,800 --> 00:01:09,570 to musi być spełnione. 28 00:01:09,570 --> 00:01:12,300 To musi być spełnione, ale z tym łatwiej jest pracować. 29 00:01:12,300 --> 00:01:18,140 A więc ta macierz tutaj razy nasz wektor własny musi 30 00:01:18,140 --> 00:01:21,100 być równe 0 dla dowolnej danej wartości własnej. 31 00:01:21,100 --> 00:01:23,720 Ta macierz tutaj -- po prostu skopiowałem 32 00:01:23,720 --> 00:01:24,740 i wkleiłem ją z góry. 33 00:01:24,740 --> 00:01:27,120 Zrobiłem na niej linie do reguły Sarrusa, które możecie 34 00:01:27,120 --> 00:01:28,870 zignorować -- to jest po prostu ta macierz 35 00:01:28,870 --> 00:01:30,430 tutaj dla dowolnego lambda. 36 00:01:30,430 --> 00:01:32,810 Lambda razy macierz jednostkowa odjąć A 37 00:01:32,810 --> 00:01:34,330 jest równe temu. 38 00:01:34,330 --> 00:01:37,600 Weźmy więc tę macierz dla każdej z naszych wartości własnych 39 00:01:37,600 --> 00:01:42,190 a potem znajdziemy wektory własne lub przestrzenie własne. 40 00:01:42,190 --> 00:01:47,390 Zaczniemy od przypadku lambda równe 3. 41 00:01:47,390 --> 00:01:52,290 Czyli jeżeli lambda jest równe 3, ta macierz przyjmuje postać lambda dodać 1 42 00:01:52,290 --> 00:01:58,900 czyli 4, lambda odjąć 2 daje 1, lambda odjąć 2 daje 1. 43 00:01:58,900 --> 00:02:02,590 A pozostałe elementy pozostają takie same, minus 2, 44 00:02:02,590 --> 00:02:08,380 minus 2, minus 2, 1, minus 2 i 1. 45 00:02:08,380 --> 00:02:12,390 A potem to razy ten wektor v, nasz wektor własny v, 46 00:02:12,390 --> 00:02:15,010 ma być równe 0. 47 00:02:15,010 --> 00:02:19,070 Albo możemy powiedzieć, że przestrzeń własna dla 48 00:02:19,070 --> 00:02:21,990 wartości własnej 3 jest jądrem tej macierzy. 49 00:02:21,990 --> 00:02:23,230 Która nie jest tą macierzą. 50 00:02:23,230 --> 00:02:25,690 To jest lambda razy macierz jednostkowa odjąć A. 51 00:02:25,690 --> 00:02:29,060 Czyli jądro tej macierzy jest przestrzenią własną. 52 00:02:29,060 --> 00:02:32,510 Czyli wszystkie wartości, które to spełniają stanowią 53 00:02:32,510 --> 00:02:36,540 wektory własne z przestrzeni własnej odpowiadającej lambda równemu 3. 54 00:02:36,540 --> 00:02:37,400 Czyli rozwiążmy to. 55 00:02:37,400 --> 00:02:39,940 Czyli jądro tej macierzy -- możemy sprowadzić ją 56 00:02:39,940 --> 00:02:42,750 do postaci wierszowo zredukowanej -- jądro tej macierzy 57 00:02:42,750 --> 00:02:44,580 jest tym samy to jądro tej macierzy sprowadzonej do 58 00:02:44,580 --> 00:02:45,560 postaci wierszowo zredukowanej. 59 00:02:45,560 --> 00:02:48,310 A więc zredukujmy ją wierszowo. 60 00:02:48,310 --> 00:02:51,650 Pierwszą rzeczą którą chcę zrobić -- 61 00:02:51,650 --> 00:02:54,070 zrobię to tu. 62 00:02:54,070 --> 00:02:58,940 Zaczynam -- na razie pierwszy wiersz zostawię bez zmian. 63 00:02:58,940 --> 00:03:02,200 4, minus 2, minus 2. 64 00:03:02,200 --> 00:03:07,250 A teraz zastąpię drugi wiersz sumą drugiego pomnożonego przez 2 65 00:03:07,250 --> 00:03:08,150 i pierwszego wiersza. 66 00:03:08,150 --> 00:03:12,970 Czyli minus 2 razy2 dodać 1 daje 0. 67 00:03:12,970 --> 00:03:16,270 1 razy 2 dodać minus 2 daje 0. 68 00:03:16,270 --> 00:03:19,190 1 razy 2 dodać minus 2 daje 0. 69 00:03:19,190 --> 00:03:20,900 Ten wiersz jest taki sam jak ten wiersz. 70 00:03:20,900 --> 00:03:22,180 Czyli zrobię to samo. 71 00:03:22,180 --> 00:03:25,360 Minus 2 razy 2 dodać 4 daje 0. 72 00:03:25,360 --> 00:03:27,860 1 razy 2 dodać 2 daje 0. 73 00:03:27,860 --> 00:03:31,570 A potem 1 razy 2 dodać minus 2 daje 0. 74 00:03:31,570 --> 00:03:33,840 Czyli rozwiązania tego równania są takie same 75 00:03:33,840 --> 00:03:35,270 jak rozwiązania tego równania. 76 00:03:35,270 --> 00:03:37,250 Zapiszę to w ten sposób. 77 00:03:37,250 --> 00:03:38,470 Zamiast pisać po prostu wektor v, 78 00:03:38,470 --> 00:03:40,700 napiszę składowe. 79 00:03:40,700 --> 00:03:47,570 Czyli v1, v2, v3. To ma być równe wektorowi 0. 80 00:03:47,570 --> 00:03:48,300 0, 0, 0. 81 00:03:48,300 --> 00:03:50,180 Przepisałem to trochę inaczej. 82 00:03:50,180 --> 00:03:53,010 Czyli te dwa wiersze, czy te dwa równania, nie dają 83 00:03:53,010 --> 00:03:53,700 nam żadnej informacji. 84 00:03:53,700 --> 00:03:58,490 Jedyną informację niesie ten wiersz tutaj na górze, który mówi 85 00:03:58,490 --> 00:04:04,560 że 4 razy v1 odjąć 2 razy v2 -- właściwie to nie była do końca 86 00:04:04,560 --> 00:04:06,820 zredukowana wierszowo macierz, ale wystarczająco blisko, 87 00:04:06,820 --> 00:04:10,050 żeby łatwo się z nią pracowało -- 4 razy v1 odjąć 2 razy v2 88 00:04:10,050 --> 00:04:17,920 odjąć 2 razy v3 równa się 0. 89 00:04:17,920 --> 00:04:20,050 Podzielmy przez 4. 90 00:04:20,050 --> 00:04:22,830 Mogłem podzielić przez 4 tutaj. 91 00:04:22,830 --> 00:04:23,970 Pominąłem wtedy ten krok. 92 00:04:23,970 --> 00:04:30,210 Ale jak podzielimy przez 4 dotaniemy v1 odjąć 1/2 v2 odjąć 1/2 v3 93 00:04:30,210 --> 00:04:31,620 równa się 0. 94 00:04:31,620 --> 00:04:36,490 Albo v1 równa się 1/2 v2 dodać 1/2 v3. 95 00:04:36,490 --> 00:04:39,400 Po prostu dodałem tych dwóch kolesi do obu stron równania. 96 00:04:39,400 --> 00:04:45,770 Moglibyśmy powiedzieć, powiedzmy, że v2 jest równe -- no nie wiem 97 00:04:45,770 --> 00:04:50,180 wybiorę jakąś losową liczbę -- a 98 00:04:50,180 --> 00:04:55,830 a v3 jest równe b, wtedy możemy powiedzieć -- wtedy v1 będzie 99 00:04:55,830 --> 00:05:00,200 równe 1/2 a dodać 1/2 b. 100 00:05:00,200 --> 00:05:07,020 Możemy powiedzieć, że przestrzeń własna dla lambda równego 3 jest 101 00:05:07,020 --> 00:05:14,900 zbiorem wszystkich wektorów, v1, v2, v3, które są równe 102 00:05:14,900 --> 00:05:18,350 a razy, razy -- v2 równa się a, zgadza się? 103 00:05:18,350 --> 00:05:21,200 Czyli v2 równa się a razy 1. 104 00:05:21,200 --> 00:05:22,810 v3 nie ma w sobie a. 105 00:05:22,810 --> 00:05:26,020 Czyli to jest a razy 0. 106 00:05:26,020 --> 00:05:30,950 Dodać b razy -- v2 to jest po prostu a. 107 00:05:30,950 --> 00:05:32,490 v2 nie ma w sobie b. 108 00:05:32,490 --> 00:05:33,640 Czyli tu jest 0. 109 00:05:33,640 --> 00:05:39,290 v3 równa się 1 razy -- czyli 0 razy a dodać 1 razy b. 110 00:05:39,290 --> 00:05:43,745 A potem v1 równa się 1/2 a dodać 1/2 b. 111 00:05:43,745 --> 00:05:48,260 A potem v1 równa się 1/2 a dodać 1/2 b. 112 00:05:48,260 --> 00:05:52,800 Dla każdego a i b, takiego że a i b są 113 00:05:52,800 --> 00:05:54,600 dowolnymi liczbami rzeczywistymi. 114 00:05:54,600 --> 00:05:56,660 Robię to dosyć formalnie. 115 00:05:56,660 --> 00:06:02,180 Czyli to jest nasza -- każdy wektor, który to spełnia 116 00:06:02,180 --> 00:06:03,320 jest wektorem własnym. 117 00:06:03,320 --> 00:06:05,260 I to są wektory własne, które odpowiadają wartości własnej 118 00:06:05,260 --> 00:06:07,190 lambda równej 3. 119 00:06:07,190 --> 00:06:10,200 Czyli jeżeli na dowolny z tych wektorów zadziałamy naszą macierzą, 120 00:06:10,200 --> 00:06:14,450 to dostaniemy ten sam wektor przeskalowany 3 razy. 121 00:06:14,450 --> 00:06:16,800 Zapiszę to w ten sposób. 122 00:06:16,800 --> 00:06:20,220 Przestrzeń własna dla lambda równego 3 jest równa 123 00:06:20,220 --> 00:06:23,950 przestrzeni rozpiętej -- wszystkim możliwym kombinacjom liniowym 124 00:06:23,950 --> 00:06:25,290 tego kolesia i tego kolesia. 125 00:06:25,290 --> 00:06:28,710 Czyli 1/2, 1, 0, 126 00:06:28,710 --> 00:06:36,430 i 1/2, 0, 1. 127 00:06:36,430 --> 00:06:39,640 Czyli to jest jedna z przestrzeni własnych. 128 00:06:39,640 --> 00:06:40,750 To jest ta, która odpowiada wartości własnej 129 00:06:40,750 --> 00:06:41,640 lambda równej 3. 130 00:06:41,640 --> 00:06:43,290 Zajmijmy się tą odpowiadającą lambda 131 00:06:43,290 --> 00:06:45,060 równemu minus 3. 132 00:06:45,060 --> 00:06:47,420 Czyli jeżeli lambda jest równe minus 3 -- zrobię to tutaj, 133 00:06:47,420 --> 00:06:50,410 myślę, że mam wystarczająco dużo miejsca -- lambda równa się minus 3. 134 00:06:50,410 --> 00:06:57,850 Ta macierz przyjmuje postać-- zacznę od diagonali -- minus 3 plus 1 135 00:06:57,850 --> 00:06:59,300 daje minus 2. 136 00:06:59,300 --> 00:07:02,950 Minus 3 odjąć 2 daje minus 5. 137 00:07:02,950 --> 00:07:05,960 Minus 3 odjąć 2 daje minus 5. 138 00:07:05,960 --> 00:07:08,160 Pozostałe elementy się nie zmieniają. 139 00:07:08,160 --> 00:07:11,520 Minus 2, minus 2, 1. 140 00:07:11,520 --> 00:07:15,110 Minus 2, minus 2 i 1. 141 00:07:15,110 --> 00:07:20,210 A potem mnożymy to przez wektor z przestrzeni własnej 142 00:07:20,210 --> 00:07:24,390 odpowiadającej lambda równemu minus 3 i mamy 143 00:07:24,390 --> 00:07:25,050 dostać 0. 144 00:07:25,050 --> 00:07:27,140 Po prostu stosuję to równanie tutaj, które wyprowadziliśmy 145 00:07:27,140 --> 00:07:29,550 z tego tutaj. 146 00:07:29,550 --> 00:07:34,116 Czyli przestrzeń własna, odpowiadająca lambda równemu 147 00:07:34,116 --> 00:07:37,315 minus 3 jest jądrem tej macierzy tutaj, jest 148 00:07:37,315 --> 00:07:40,040 zbiorem wektorów spełniających to równanie. 149 00:07:40,040 --> 00:07:42,210 Jądro tego jest tym samym, co 150 00:07:42,210 --> 00:07:45,670 jądro postaci wierszowo zredukowanej tej macierzy, a więc 151 00:07:45,670 --> 00:07:48,190 sprowadźmy ją do postaci wierszowo zredukowanej. 152 00:07:48,190 --> 00:07:51,510 Pierwszą rzeczą, którą chcę zrobić -- pierwszy 153 00:07:51,510 --> 00:07:52,360 wiersz zachowam bez zmian. 154 00:07:52,360 --> 00:07:54,620 Będą pisał trochę mniejszymi literami niż zwykle 155 00:07:54,620 --> 00:07:56,800 bo obawiam się, że zabraknie mi miejsca. 156 00:07:56,800 --> 00:08:01,010 Czyli minus 2, minus 2, minus 2. 157 00:08:01,010 --> 00:08:03,170 Właściwie zrobię to w ten sposób. 158 00:08:03,170 --> 00:08:04,830 Pominę niektóre kroki. 159 00:08:04,830 --> 00:08:07,000 Podzielmy pierwszy wiersz przez minus 2. 160 00:08:07,000 --> 00:08:10,230 Dostajemy 1, 1, 1. 161 00:08:10,230 --> 00:08:14,190 A teraz zamieńmy ten drugi wiersz sumą drugiego wiersza 162 00:08:14,190 --> 00:08:16,470 i tej wersji pierwszego wiersza. 163 00:08:16,470 --> 00:08:22,170 Czyli ten koleś dodać tamten koleś daje 0, minus 5, minus -- albo 164 00:08:22,170 --> 00:08:22,960 sformułuję to inaczej. 165 00:08:22,960 --> 00:08:27,350 Zastąpię ten wiersz różnicą: 166 00:08:27,350 --> 00:08:28,720 pierwszy wiersz odjąć drugi wiersz. 167 00:08:28,720 --> 00:08:32,179 Czyli minus 2 odjąć minus 2 daje 0. 168 00:08:32,179 --> 00:08:36,450 Minus 2 odjąć minus 5 daje plus 3. 169 00:08:36,450 --> 00:08:43,669 A potem minus 2 odjąć 1 daje minus 3. 170 00:08:43,669 --> 00:08:44,770 Teraz napiszę dla zabawy 171 00:08:44,770 --> 00:08:46,060 ostatni wiersz innym kolorem. 172 00:08:46,060 --> 00:08:47,330 I zrobię to samo. 173 00:08:47,330 --> 00:08:49,840 Odejmę od tego wiersza ten wiersz. 174 00:08:49,840 --> 00:08:54,110 Czyli minus 2 odjąć minus 2 daje 0. 175 00:08:54,110 --> 00:08:55,150 Minus 2 dodać 2. 176 00:08:55,150 --> 00:08:58,390 Minus 2 odjąć 1 daje minus 3. 177 00:08:58,390 --> 00:09:03,210 I wreszcie mamy minus 2 odjąć minus 5. 178 00:09:03,210 --> 00:09:04,330 Czyli minus 2 dodać 5. 179 00:09:04,330 --> 00:09:06,090 A to jest 3. 180 00:09:06,090 --> 00:09:13,770 Teraz zastąpię -- zrobię to w dwóch krokach. 181 00:09:13,770 --> 00:09:15,570 Czyli to jest 1, 1, 1. 182 00:09:15,570 --> 00:09:18,770 Zostawię to tak. 183 00:09:18,770 --> 00:09:23,480 Właściwie -- no niech już zostanie tak. 184 00:09:23,480 --> 00:09:26,590 Zastąpię teraz mój trzeci wiersz sumą trzeciego 185 00:09:26,590 --> 00:09:27,870 i drugiego wiersza. 186 00:09:27,870 --> 00:09:28,660 To się po prostu wyzeruje. 187 00:09:28,660 --> 00:09:31,270 Jeżeli dodamy te elementy, to wszędzie dostaniemy 0. 188 00:09:31,270 --> 00:09:32,540 Ten koleś się wyzerował. 189 00:09:32,540 --> 00:09:35,410 A drugi wiersz podzielę przez 3. 190 00:09:35,410 --> 00:09:39,530 Dostanę 0, 1, minus 1. 191 00:09:39,530 --> 00:09:42,970 Już prawie skończyłem. 192 00:09:42,970 --> 00:09:45,330 Zrobię to na pomarańczowo. 193 00:09:45,330 --> 00:09:48,680 Teraz zastąpię pierwszy wiersz różnicą pierwszy wiersz 194 00:09:48,680 --> 00:09:49,470 odjąć drugi wiersz. 195 00:09:49,470 --> 00:09:57,250 Czyli dostajemy 1, 0, a potem 1 odjąć minus 1 daje 2. 196 00:09:57,250 --> 00:09:59,440 1 odjąć minus 1 daje 2. 197 00:09:59,440 --> 00:10:03,760 A potem w drugim wierszu mamy 0, 1, minus 1. 198 00:10:03,760 --> 00:10:07,770 A ostatni wiersz jest równy 0, 0, 0. 199 00:10:07,770 --> 00:10:10,910 Czyli dowolny v, który spełnia to równanie, będzie również 200 00:10:10,910 --> 00:10:13,480 spełniał to równanie. 201 00:10:13,480 --> 00:10:15,650 Jądro tej macierzy jest również jądrem 202 00:10:15,650 --> 00:10:18,180 tamtej macierzy w postaci wierszowo zredukowanej. 203 00:10:18,180 --> 00:10:26,010 Czyli v1, v2, v3 jest równe 0, 0, 0. 204 00:10:26,010 --> 00:10:26,930 Przesunę to. 205 00:10:26,930 --> 00:10:29,530 Ponieważ oficjalnie brakuje mi miejsca. 206 00:10:29,530 --> 00:10:33,110 Przesunę to tutaj na dół, gdzie 207 00:10:33,110 --> 00:10:35,620 mam trochę wolnego miejsca. 208 00:10:35,620 --> 00:10:36,800 Przesuwam to na dół. 209 00:10:36,800 --> 00:10:41,430 To odpowiada lambdzie równej minus 3. 210 00:10:41,430 --> 00:10:44,830 To było dla lambda równego minus 3 -- 211 00:10:44,830 --> 00:10:47,200 to nie jest związane z tymi rzeczami tutaj. 212 00:10:47,200 --> 00:10:51,620 Czyli jakie są wszystkie v1, v2 i v3, które spełniają to? 213 00:10:51,620 --> 00:11:00,100 Czyli jeżeli powiemy, że v3 jest równe t. 214 00:11:00,100 --> 00:11:04,310 Jeżeli v3 jest równe t, to co będziemy mieli tutaj? 215 00:11:04,310 --> 00:11:08,530 Mamy -- to nam mówi, że v2 odjąć v3 jest równe 0. 216 00:11:08,530 --> 00:11:15,700 Czyli to nam mówi, że v2 odjąć v3 -- 0 razy v1 dodać v2 217 00:11:15,700 --> 00:11:18,150 odjąć v3 równa się 0. 218 00:11:18,150 --> 00:11:22,660 Albo że v2 równa się v3, które jest równe t. 219 00:11:22,660 --> 00:11:25,340 Tyle nam mówi drugie równanie. 220 00:11:25,340 --> 00:11:28,150 A trzecie równanie mówi nam, albo górne równanie 221 00:11:28,150 --> 00:11:34,060 mówi nam, v1 razy 1 -- czyli v1 dodać 0 razy v2 dodać 2 razy 222 00:11:34,060 --> 00:11:37,990 v3 równa się 0. 223 00:11:37,990 --> 00:11:45,240 Albo v1 równa się minus 2 v3, równa się minus 2 razy t. 224 00:11:45,240 --> 00:11:50,110 Czyli przestrzeń własna odpowiadająca lambdzie równej 225 00:11:50,110 --> 00:11:56,930 minus 3 jest równa zbiorowi wszystkich wektorów v1, v2 226 00:11:56,930 --> 00:12:07,820 i v3, gdzie -- cóż, jest równa t razy -- v3 jest równe po prostu t. 227 00:12:07,820 --> 00:12:09,790 v3 to jest po prostu t. 228 00:12:09,790 --> 00:12:12,400 v2 również okazuje się być równe t. 229 00:12:12,400 --> 00:12:13,320 Czyli 1 razy t. 230 00:12:13,320 --> 00:12:17,530 A v1 równa się minus 2 razy t. 231 00:12:17,530 --> 00:12:20,390 Dla t będącego dowolną liczbą rzeczywistą. 232 00:12:20,390 --> 00:12:25,030 Albo inny sposób wysłowienia tego, to: przestrzeń własna dla lambda 233 00:12:25,030 --> 00:12:31,380 równego minus 3 jest równa przestrzeni rozpiętej -- napisałem to 234 00:12:31,380 --> 00:12:36,200 nieporządnie -- gdzie lambda równa się minus 3, jest równa 235 00:12:36,200 --> 00:12:45,020 przestrzeni rozpiętej na wektorze minus 2, 1 i 1. 236 00:12:45,020 --> 00:12:46,540 Tak po prostu. 237 00:12:46,540 --> 00:12:47,620 Wygląda to interesująco, 238 00:12:47,620 --> 00:12:50,510 ponieważ jeżeli weźmiecie iloczyn skalarny tego kolesia 239 00:12:50,510 --> 00:12:52,280 z którymś z tych kolesi, myślę, że dostaniecie 0. 240 00:12:52,280 --> 00:12:54,510 Czy to jest na pewno prawda? 241 00:12:54,510 --> 00:12:59,790 Weźmy minus 2 razy 1/2, dostajemy minus 1 tutaj. 242 00:12:59,790 --> 00:13:00,750 Potem mamy plus 1. 243 00:13:00,750 --> 00:13:01,580 Razem 0. 244 00:13:01,580 --> 00:13:03,750 A potem minus 2 razy 1/2. 245 00:13:03,750 --> 00:13:04,160 Taak. 246 00:13:04,160 --> 00:13:06,230 Jak zrobicie to z każdym z tych kolesi, dostajecie 0. 247 00:13:06,230 --> 00:13:09,200 Czyli ta linia jest prostopadła do tamtej płaszczyzny. 248 00:13:09,200 --> 00:13:09,790 Bardzo interesujące. 249 00:13:09,790 --> 00:13:12,990 Narysujmy to więc, żeby mieć dobre wyobrażenie 250 00:13:12,990 --> 00:13:13,770 tego co robimy. 251 00:13:13,770 --> 00:13:16,070 Czyli mieliśmy macierz A rozmiaru 3 na 3. 252 00:13:16,070 --> 00:13:18,920 Reprezentuje ona jakieś przekształcenie w R3. 253 00:13:18,920 --> 00:13:21,210 I ma dwie wartości własne. 254 00:13:21,210 --> 00:13:24,030 A każda z nich ma odpowiadającą wartość własną. 255 00:13:24,030 --> 00:13:26,030 Czyli przestrzenią własną odpowiadającą wartości własnej 256 00:13:26,030 --> 00:13:27,930 3 jest płaszczyzna w R3. 257 00:13:27,930 --> 00:13:31,940 3 jest płaszczyzna w R3. 258 00:13:31,940 --> 00:13:37,600 Czyli to jest przestrzeń własna dla lambda równego 3. 259 00:13:37,600 --> 00:13:40,370 To jest przestrzeń rozpięta na tych dwóch wektorach. 260 00:13:40,370 --> 00:13:43,040 Jeżeli je narysuję, to może wyglądają jakoś tak. 261 00:13:43,040 --> 00:13:44,040 Tak po prostu. 262 00:13:44,040 --> 00:13:46,440 A przestrzeń własna dla lambda równego 263 00:13:46,440 --> 00:13:47,850 minus 3 jest prostą. 264 00:13:47,850 --> 00:13:50,260 To jest prosta prostopadła do tej płaszczyzny. 265 00:13:50,260 --> 00:13:52,460 Czyli taka prosta. 266 00:13:52,460 --> 00:13:53,710 To jest przestrzeń rozpięta na tym kolesiu. 267 00:13:53,710 --> 00:13:55,870 Jeżeli narysuję ten wektor, to może on wyglądać 268 00:13:55,870 --> 00:13:57,150 jakoś tak. 269 00:13:57,150 --> 00:13:59,440 A to jest przestrzeń na nim rozpięta. 270 00:13:59,440 --> 00:14:04,920 Czyli co to nam mówi -- to jest przestrzeń własna dla lambda 271 00:14:04,920 --> 00:14:06,600 równego minus 3. 272 00:14:06,600 --> 00:14:08,830 Czyli co to nam mówi -- tak tylko żeby się upewnić, 273 00:14:08,830 --> 00:14:12,300 że poprawnie interpretujemy nasze wartości i przestrzenie własne -- 274 00:14:12,300 --> 00:14:15,700 to, że jak mi dacie dowolny wektor własny, dacie mi dowolny 275 00:14:15,700 --> 00:14:18,960 wektor stąd, dacie mi dowolny wektor leżący tu, 276 00:14:18,960 --> 00:14:20,800 powiedzmy, że to jest wektor x. 277 00:14:20,800 --> 00:14:24,320 Jeżeli zadziałam na niego przekształceniem, jeżeli pomnożę go przez A, 278 00:14:24,320 --> 00:14:25,980 dostanę minus 3 razy to. 279 00:14:25,980 --> 00:14:29,440 Ponieważ to jest przestrzeń własna odpowiadająca wartości własnej 3. 280 00:14:29,440 --> 00:14:33,420 Czyli jeżeli zadziałamy A na x, A razy x, to dostaniemy 281 00:14:33,420 --> 00:14:34,460 3 razy to, tak po prostu. 282 00:14:34,460 --> 00:14:36,220 Czyli to będzie A razy x. 283 00:14:36,220 --> 00:14:36,900 Tyle mi to mówi. 284 00:14:36,900 --> 00:14:38,890 To będzie prawda dla każdego z tych kolesi. 285 00:14:38,890 --> 00:14:41,390 Jeżeli to było x i wzięliśmy A razy x, to dostaniemy 286 00:14:41,390 --> 00:14:42,740 3 razy dłuższy wektor. 287 00:14:42,740 --> 00:14:47,950 Teraz ci kolesie tutaj, jeżeli mamy jakiś wektor 288 00:14:47,950 --> 00:14:50,520 w tej przestrzeni własnej, który odpowiada lambda równemu 3 289 00:14:50,520 --> 00:14:51,640 i zastosujemy przekształcenie... 290 00:14:51,640 --> 00:14:53,500 Powiedzmy, że x leży tutaj. 291 00:14:53,500 --> 00:14:55,710 Jeżeli weźmiemy przekształcenie x, to dostaniemy wektor 292 00:14:55,710 --> 00:14:57,320 3 razy dłuższy, przeciwnie skierowany. 293 00:14:57,320 --> 00:14:59,230 Nadal będzie leżał na tej linii. 294 00:14:59,230 --> 00:15:01,720 Czyli będzie wskazywał w dół właśnie tak. 295 00:15:01,720 --> 00:15:03,340 Czyli to będzie A razy x. 296 00:15:03,340 --> 00:15:05,510 To będzie to samo, będzie 3 razy dłuższy, ale 297 00:15:05,510 --> 00:15:06,360 skierowany w przeciwną stronę. 298 00:15:06,360 --> 00:15:11,190 Ponieważ odpowiada wartości lambda równej minus 3. 299 00:15:11,190 --> 00:15:14,420 Tak czy inaczej, myślę że udało nam się dużo osiągnąć. 300 00:15:14,420 --> 00:15:18,290 Nie tylko znaleźliśmy wartości własne macierzy 3 na 3, 301 00:15:18,290 --> 00:15:20,760 ale teraz znaleźliśmy wszystkie jej wektory własne. 302 00:15:20,760 --> 00:15:22,260 Jest ich nieskończenie wiele, ale składają się 303 00:15:22,260 --> 00:15:26,590 na dwie przestrzenie własne, które odpowiadają 304 00:15:26,590 --> 00:15:31,170 tym dwóm wartościom własnym: minus 3 i 3. 305 00:15:31,170 --> 00:15:33,270 Do zobaczenia w następnym filmie. 306 00:15:33,270 --> 00:15:33,399 Do zobaczenia w następnym filmie.