0:00:00.000,0:00:00.620 W poprzednim filmie obliczyliśmy wartości własne tej 0:00:00.620,0:00:03.410 W poprzednim filmie obliczyliśmy wartości własne tej 0:00:03.410,0:00:05.830 macierzy A, wymiaru 3 na 3. 0:00:05.830,0:00:08.280 I powiedzieliśmy, że wartość własne to jest liczba 0:00:08.280,0:00:11.410 lambda, która spełnia to równanie, jeżeli v 0:00:11.410,0:00:13.280 jest niezerowym wektorem. 0:00:13.280,0:00:17.300 A to oznacza, dowolną wartość lambda, która spełnia 0:00:17.300,0:00:20.390 to równanie dla niezerowego wektora v. 0:00:20.390,0:00:22.760 Potem zrobiliśmy trochę przekształceń, które można nazwać 0:00:22.760,0:00:25.370 algebrą wektorową, żeby dostać to tutaj. 0:00:25.370,0:00:26.890 Możecie obejrzeć jeszcze raz tamten film, jak chcecie. 0:00:26.890,0:00:29.700 A potem ustaliliśmy, że jedyna możliwość, żeby 0:00:29.700,0:00:33.710 to miało niezerowe rozwiązanie jest taka, że ta macierz 0:00:33.710,0:00:36.320 ma nietrywialne jądro. 0:00:36.320,0:00:39.790 A tylko nieodwracalne macierze mają 0:00:39.790,0:00:40.970 nietrywialne jądro. 0:00:40.970,0:00:45.020 Albo inaczej, tylko macierze których wyznacznik jest równy 0 0:00:45.020,0:00:46.770 mają nietrywialne jądro. 0:00:46.770,0:00:49.510 Czyli robimy to, dostajemy wielomian charakterystyczny 0:00:49.510,0:00:50.680 i możemy go rozwiązać. 0:00:50.680,0:00:55.000 Obliczyliśmy nasze wartości własne, lambda równe 3 0:00:55.000,0:00:58.370 lub lambda równe minus 3. 0:00:58.370,0:01:01.050 A teraz zróbmy -- ja uważam to za najciekawszą 0:01:01.050,0:01:03.840 część -- znajdźmy wektory własne 0:01:03.840,0:01:05.530 albo przestrzenie własne. 0:01:05.530,0:01:08.800 Czyli możemy wrócić do tego równania, dla dowolnej wartości własnej 0:01:08.800,0:01:09.570 to musi być spełnione. 0:01:09.570,0:01:12.300 To musi być spełnione, ale z tym łatwiej jest pracować. 0:01:12.300,0:01:18.140 A więc ta macierz tutaj razy nasz wektor własny musi 0:01:18.140,0:01:21.100 być równe 0 dla dowolnej danej wartości własnej. 0:01:21.100,0:01:23.720 Ta macierz tutaj -- po prostu skopiowałem 0:01:23.720,0:01:24.740 i wkleiłem ją z góry. 0:01:24.740,0:01:27.120 Zrobiłem na niej linie do reguły Sarrusa, które możecie 0:01:27.120,0:01:28.870 zignorować -- to jest po prostu ta macierz 0:01:28.870,0:01:30.430 tutaj dla dowolnego lambda. 0:01:30.430,0:01:32.810 Lambda razy macierz jednostkowa odjąć A 0:01:32.810,0:01:34.330 jest równe temu. 0:01:34.330,0:01:37.600 Weźmy więc tę macierz dla każdej z naszych wartości własnych 0:01:37.600,0:01:42.190 a potem znajdziemy wektory własne lub przestrzenie własne. 0:01:42.190,0:01:47.390 Zaczniemy od przypadku lambda równe 3. 0:01:47.390,0:01:52.290 Czyli jeżeli lambda jest równe 3, ta macierz przyjmuje postać lambda dodać 1 0:01:52.290,0:01:58.900 czyli 4, lambda odjąć 2 daje 1, lambda odjąć 2 daje 1. 0:01:58.900,0:02:02.590 A pozostałe elementy pozostają takie same, minus 2, 0:02:02.590,0:02:08.380 minus 2, minus 2, 1, minus 2 i 1. 0:02:08.380,0:02:12.390 A potem to razy ten wektor v, nasz wektor własny v, 0:02:12.390,0:02:15.010 ma być równe 0. 0:02:15.010,0:02:19.070 Albo możemy powiedzieć, że przestrzeń własna dla 0:02:19.070,0:02:21.990 wartości własnej 3 jest jądrem tej macierzy. 0:02:21.990,0:02:23.230 Która nie jest tą macierzą. 0:02:23.230,0:02:25.690 To jest lambda razy macierz jednostkowa odjąć A. 0:02:25.690,0:02:29.060 Czyli jądro tej macierzy jest przestrzenią własną. 0:02:29.060,0:02:32.510 Czyli wszystkie wartości, które to spełniają stanowią 0:02:32.510,0:02:36.540 wektory własne z przestrzeni własnej odpowiadającej lambda równemu 3. 0:02:36.540,0:02:37.400 Czyli rozwiążmy to. 0:02:37.400,0:02:39.940 Czyli jądro tej macierzy -- możemy sprowadzić ją 0:02:39.940,0:02:42.750 do postaci wierszowo zredukowanej -- jądro tej macierzy 0:02:42.750,0:02:44.580 jest tym samy to jądro tej macierzy sprowadzonej do 0:02:44.580,0:02:45.560 postaci wierszowo zredukowanej. 0:02:45.560,0:02:48.310 A więc zredukujmy ją wierszowo. 0:02:48.310,0:02:51.650 Pierwszą rzeczą którą chcę zrobić -- 0:02:51.650,0:02:54.070 zrobię to tu. 0:02:54.070,0:02:58.940 Zaczynam -- na razie pierwszy wiersz zostawię bez zmian. 0:02:58.940,0:03:02.200 4, minus 2, minus 2. 0:03:02.200,0:03:07.250 A teraz zastąpię drugi wiersz sumą drugiego pomnożonego przez 2 0:03:07.250,0:03:08.150 i pierwszego wiersza. 0:03:08.150,0:03:12.970 Czyli minus 2 razy2 dodać 1 daje 0. 0:03:12.970,0:03:16.270 1 razy 2 dodać minus 2 daje 0. 0:03:16.270,0:03:19.190 1 razy 2 dodać minus 2 daje 0. 0:03:19.190,0:03:20.900 Ten wiersz jest taki sam jak ten wiersz. 0:03:20.900,0:03:22.180 Czyli zrobię to samo. 0:03:22.180,0:03:25.360 Minus 2 razy 2 dodać 4 daje 0. 0:03:25.360,0:03:27.860 1 razy 2 dodać 2 daje 0. 0:03:27.860,0:03:31.570 A potem 1 razy 2 dodać minus 2 daje 0. 0:03:31.570,0:03:33.840 Czyli rozwiązania tego równania są takie same 0:03:33.840,0:03:35.270 jak rozwiązania tego równania. 0:03:35.270,0:03:37.250 Zapiszę to w ten sposób. 0:03:37.250,0:03:38.470 Zamiast pisać po prostu wektor v, 0:03:38.470,0:03:40.700 napiszę składowe. 0:03:40.700,0:03:47.570 Czyli v1, v2, v3. To ma być równe wektorowi 0. 0:03:47.570,0:03:48.300 0, 0, 0. 0:03:48.300,0:03:50.180 Przepisałem to trochę inaczej. 0:03:50.180,0:03:53.010 Czyli te dwa wiersze, czy te dwa równania, nie dają 0:03:53.010,0:03:53.700 nam żadnej informacji. 0:03:53.700,0:03:58.490 Jedyną informację niesie ten wiersz tutaj na górze, który mówi 0:03:58.490,0:04:04.560 że 4 razy v1 odjąć 2 razy v2 -- właściwie to nie była do końca 0:04:04.560,0:04:06.820 zredukowana wierszowo macierz, ale wystarczająco blisko, 0:04:06.820,0:04:10.050 żeby łatwo się z nią pracowało -- 4 razy v1 odjąć 2 razy v2 0:04:10.050,0:04:17.920 odjąć 2 razy v3 równa się 0. 0:04:17.920,0:04:20.050 Podzielmy przez 4. 0:04:20.050,0:04:22.830 Mogłem podzielić przez 4 tutaj. 0:04:22.830,0:04:23.970 Pominąłem wtedy ten krok. 0:04:23.970,0:04:30.210 Ale jak podzielimy przez 4 dotaniemy v1 odjąć 1/2 v2 odjąć 1/2 v3 0:04:30.210,0:04:31.620 równa się 0. 0:04:31.620,0:04:36.490 Albo v1 równa się 1/2 v2 dodać 1/2 v3. 0:04:36.490,0:04:39.400 Po prostu dodałem tych dwóch kolesi do obu stron równania. 0:04:39.400,0:04:45.770 Moglibyśmy powiedzieć, powiedzmy, że v2 jest równe -- no nie wiem 0:04:45.770,0:04:50.180 wybiorę jakąś losową liczbę -- a 0:04:50.180,0:04:55.830 a v3 jest równe b, wtedy możemy powiedzieć -- wtedy v1 będzie 0:04:55.830,0:05:00.200 równe 1/2 a dodać 1/2 b. 0:05:00.200,0:05:07.020 Możemy powiedzieć, że przestrzeń własna dla lambda równego 3 jest 0:05:07.020,0:05:14.900 zbiorem wszystkich wektorów, v1, v2, v3, które są równe 0:05:14.900,0:05:18.350 a razy, razy -- v2 równa się a, zgadza się? 0:05:18.350,0:05:21.200 Czyli v2 równa się a razy 1. 0:05:21.200,0:05:22.810 v3 nie ma w sobie a. 0:05:22.810,0:05:26.020 Czyli to jest a razy 0. 0:05:26.020,0:05:30.950 Dodać b razy -- v2 to jest po prostu a. 0:05:30.950,0:05:32.490 v2 nie ma w sobie b. 0:05:32.490,0:05:33.640 Czyli tu jest 0. 0:05:33.640,0:05:39.290 v3 równa się 1 razy -- czyli 0 razy a dodać 1 razy b. 0:05:39.290,0:05:43.745 A potem v1 równa się 1/2 a dodać 1/2 b. 0:05:43.745,0:05:48.260 A potem v1 równa się 1/2 a dodać 1/2 b. 0:05:48.260,0:05:52.800 Dla każdego a i b, takiego że a i b są 0:05:52.800,0:05:54.600 dowolnymi liczbami rzeczywistymi. 0:05:54.600,0:05:56.660 Robię to dosyć formalnie. 0:05:56.660,0:06:02.180 Czyli to jest nasza -- każdy wektor, który to spełnia 0:06:02.180,0:06:03.320 jest wektorem własnym. 0:06:03.320,0:06:05.260 I to są wektory własne, które odpowiadają wartości własnej 0:06:05.260,0:06:07.190 lambda równej 3. 0:06:07.190,0:06:10.200 Czyli jeżeli na dowolny z tych wektorów zadziałamy naszą macierzą, 0:06:10.200,0:06:14.450 to dostaniemy ten sam wektor przeskalowany 3 razy. 0:06:14.450,0:06:16.800 Zapiszę to w ten sposób. 0:06:16.800,0:06:20.220 Przestrzeń własna dla lambda równego 3 jest równa 0:06:20.220,0:06:23.950 przestrzeni rozpiętej -- wszystkim możliwym kombinacjom liniowym 0:06:23.950,0:06:25.290 tego kolesia i tego kolesia. 0:06:25.290,0:06:28.710 Czyli 1/2, 1, 0, 0:06:28.710,0:06:36.430 i 1/2, 0, 1. 0:06:36.430,0:06:39.640 Czyli to jest jedna z przestrzeni własnych. 0:06:39.640,0:06:40.750 To jest ta, która odpowiada wartości własnej 0:06:40.750,0:06:41.640 lambda równej 3. 0:06:41.640,0:06:43.290 Zajmijmy się tą odpowiadającą lambda 0:06:43.290,0:06:45.060 równemu minus 3. 0:06:45.060,0:06:47.420 Czyli jeżeli lambda jest równe minus 3 -- zrobię to tutaj, 0:06:47.420,0:06:50.410 myślę, że mam wystarczająco dużo miejsca -- lambda równa się minus 3. 0:06:50.410,0:06:57.850 Ta macierz przyjmuje postać-- zacznę od diagonali -- minus 3 plus 1 0:06:57.850,0:06:59.300 daje minus 2. 0:06:59.300,0:07:02.950 Minus 3 odjąć 2 daje minus 5. 0:07:02.950,0:07:05.960 Minus 3 odjąć 2 daje minus 5. 0:07:05.960,0:07:08.160 Pozostałe elementy się nie zmieniają. 0:07:08.160,0:07:11.520 Minus 2, minus 2, 1. 0:07:11.520,0:07:15.110 Minus 2, minus 2 i 1. 0:07:15.110,0:07:20.210 A potem mnożymy to przez wektor z przestrzeni własnej 0:07:20.210,0:07:24.390 odpowiadającej lambda równemu minus 3 i mamy 0:07:24.390,0:07:25.050 dostać 0. 0:07:25.050,0:07:27.140 Po prostu stosuję to równanie tutaj, które wyprowadziliśmy 0:07:27.140,0:07:29.550 z tego tutaj. 0:07:29.550,0:07:34.116 Czyli przestrzeń własna, odpowiadająca lambda równemu 0:07:34.116,0:07:37.315 minus 3 jest jądrem tej macierzy tutaj, jest 0:07:37.315,0:07:40.040 zbiorem wektorów spełniających to równanie. 0:07:40.040,0:07:42.210 Jądro tego jest tym samym, co 0:07:42.210,0:07:45.670 jądro postaci wierszowo zredukowanej tej macierzy, a więc 0:07:45.670,0:07:48.190 sprowadźmy ją do postaci wierszowo zredukowanej. 0:07:48.190,0:07:51.510 Pierwszą rzeczą, którą chcę zrobić -- pierwszy 0:07:51.510,0:07:52.360 wiersz zachowam bez zmian. 0:07:52.360,0:07:54.620 Będą pisał trochę mniejszymi literami niż zwykle 0:07:54.620,0:07:56.800 bo obawiam się, że zabraknie mi miejsca. 0:07:56.800,0:08:01.010 Czyli minus 2, minus 2, minus 2. 0:08:01.010,0:08:03.170 Właściwie zrobię to w ten sposób. 0:08:03.170,0:08:04.830 Pominę niektóre kroki. 0:08:04.830,0:08:07.000 Podzielmy pierwszy wiersz przez minus 2. 0:08:07.000,0:08:10.230 Dostajemy 1, 1, 1. 0:08:10.230,0:08:14.190 A teraz zamieńmy ten drugi wiersz sumą drugiego wiersza 0:08:14.190,0:08:16.470 i tej wersji pierwszego wiersza. 0:08:16.470,0:08:22.170 Czyli ten koleś dodać tamten koleś daje 0, minus 5, minus -- albo 0:08:22.170,0:08:22.960 sformułuję to inaczej. 0:08:22.960,0:08:27.350 Zastąpię ten wiersz różnicą: 0:08:27.350,0:08:28.720 pierwszy wiersz odjąć drugi wiersz. 0:08:28.720,0:08:32.179 Czyli minus 2 odjąć minus 2 daje 0. 0:08:32.179,0:08:36.450 Minus 2 odjąć minus 5 daje plus 3. 0:08:36.450,0:08:43.669 A potem minus 2 odjąć 1 daje minus 3. 0:08:43.669,0:08:44.770 Teraz napiszę dla zabawy 0:08:44.770,0:08:46.060 ostatni wiersz innym kolorem. 0:08:46.060,0:08:47.330 I zrobię to samo. 0:08:47.330,0:08:49.840 Odejmę od tego wiersza ten wiersz. 0:08:49.840,0:08:54.110 Czyli minus 2 odjąć minus 2 daje 0. 0:08:54.110,0:08:55.150 Minus 2 dodać 2. 0:08:55.150,0:08:58.390 Minus 2 odjąć 1 daje minus 3. 0:08:58.390,0:09:03.210 I wreszcie mamy minus 2 odjąć minus 5. 0:09:03.210,0:09:04.330 Czyli minus 2 dodać 5. 0:09:04.330,0:09:06.090 A to jest 3. 0:09:06.090,0:09:13.770 Teraz zastąpię -- zrobię to w dwóch krokach. 0:09:13.770,0:09:15.570 Czyli to jest 1, 1, 1. 0:09:15.570,0:09:18.770 Zostawię to tak. 0:09:18.770,0:09:23.480 Właściwie -- no niech już zostanie tak. 0:09:23.480,0:09:26.590 Zastąpię teraz mój trzeci wiersz sumą trzeciego 0:09:26.590,0:09:27.870 i drugiego wiersza. 0:09:27.870,0:09:28.660 To się po prostu wyzeruje. 0:09:28.660,0:09:31.270 Jeżeli dodamy te elementy, to wszędzie dostaniemy 0. 0:09:31.270,0:09:32.540 Ten koleś się wyzerował. 0:09:32.540,0:09:35.410 A drugi wiersz podzielę przez 3. 0:09:35.410,0:09:39.530 Dostanę 0, 1, minus 1. 0:09:39.530,0:09:42.970 Już prawie skończyłem. 0:09:42.970,0:09:45.330 Zrobię to na pomarańczowo. 0:09:45.330,0:09:48.680 Teraz zastąpię pierwszy wiersz różnicą pierwszy wiersz 0:09:48.680,0:09:49.470 odjąć drugi wiersz. 0:09:49.470,0:09:57.250 Czyli dostajemy 1, 0, a potem 1 odjąć minus 1 daje 2. 0:09:57.250,0:09:59.440 1 odjąć minus 1 daje 2. 0:09:59.440,0:10:03.760 A potem w drugim wierszu mamy 0, 1, minus 1. 0:10:03.760,0:10:07.770 A ostatni wiersz jest równy 0, 0, 0. 0:10:07.770,0:10:10.910 Czyli dowolny v, który spełnia to równanie, będzie również 0:10:10.910,0:10:13.480 spełniał to równanie. 0:10:13.480,0:10:15.650 Jądro tej macierzy jest również jądrem 0:10:15.650,0:10:18.180 tamtej macierzy w postaci wierszowo zredukowanej. 0:10:18.180,0:10:26.010 Czyli v1, v2, v3 jest równe 0, 0, 0. 0:10:26.010,0:10:26.930 Przesunę to. 0:10:26.930,0:10:29.530 Ponieważ oficjalnie brakuje mi miejsca. 0:10:29.530,0:10:33.110 Przesunę to tutaj na dół, gdzie 0:10:33.110,0:10:35.620 mam trochę wolnego miejsca. 0:10:35.620,0:10:36.800 Przesuwam to na dół. 0:10:36.800,0:10:41.430 To odpowiada lambdzie równej minus 3. 0:10:41.430,0:10:44.830 To było dla lambda równego minus 3 -- 0:10:44.830,0:10:47.200 to nie jest związane z tymi rzeczami tutaj. 0:10:47.200,0:10:51.620 Czyli jakie są wszystkie v1, v2 i v3, które spełniają to? 0:10:51.620,0:11:00.100 Czyli jeżeli powiemy, że v3 jest równe t. 0:11:00.100,0:11:04.310 Jeżeli v3 jest równe t, to co będziemy mieli tutaj? 0:11:04.310,0:11:08.530 Mamy -- to nam mówi, że v2 odjąć v3 jest równe 0. 0:11:08.530,0:11:15.700 Czyli to nam mówi, że v2 odjąć v3 -- 0 razy v1 dodać v2 0:11:15.700,0:11:18.150 odjąć v3 równa się 0. 0:11:18.150,0:11:22.660 Albo że v2 równa się v3, które jest równe t. 0:11:22.660,0:11:25.340 Tyle nam mówi drugie równanie. 0:11:25.340,0:11:28.150 A trzecie równanie mówi nam, albo górne równanie 0:11:28.150,0:11:34.060 mówi nam, v1 razy 1 -- czyli v1 dodać 0 razy v2 dodać 2 razy 0:11:34.060,0:11:37.990 v3 równa się 0. 0:11:37.990,0:11:45.240 Albo v1 równa się minus 2 v3, równa się minus 2 razy t. 0:11:45.240,0:11:50.110 Czyli przestrzeń własna odpowiadająca lambdzie równej 0:11:50.110,0:11:56.930 minus 3 jest równa zbiorowi wszystkich wektorów v1, v2 0:11:56.930,0:12:07.820 i v3, gdzie -- cóż, jest równa t razy -- v3 jest równe po prostu t. 0:12:07.820,0:12:09.790 v3 to jest po prostu t. 0:12:09.790,0:12:12.400 v2 również okazuje się być równe t. 0:12:12.400,0:12:13.320 Czyli 1 razy t. 0:12:13.320,0:12:17.530 A v1 równa się minus 2 razy t. 0:12:17.530,0:12:20.390 Dla t będącego dowolną liczbą rzeczywistą. 0:12:20.390,0:12:25.030 Albo inny sposób wysłowienia tego, to: przestrzeń własna dla lambda 0:12:25.030,0:12:31.380 równego minus 3 jest równa przestrzeni rozpiętej -- napisałem to 0:12:31.380,0:12:36.200 nieporządnie -- gdzie lambda równa się minus 3, jest równa 0:12:36.200,0:12:45.020 przestrzeni rozpiętej na wektorze minus 2, 1 i 1. 0:12:45.020,0:12:46.540 Tak po prostu. 0:12:46.540,0:12:47.620 Wygląda to interesująco, 0:12:47.620,0:12:50.510 ponieważ jeżeli weźmiecie iloczyn skalarny tego kolesia 0:12:50.510,0:12:52.280 z którymś z tych kolesi, myślę, że dostaniecie 0. 0:12:52.280,0:12:54.510 Czy to jest na pewno prawda? 0:12:54.510,0:12:59.790 Weźmy minus 2 razy 1/2, dostajemy minus 1 tutaj. 0:12:59.790,0:13:00.750 Potem mamy plus 1. 0:13:00.750,0:13:01.580 Razem 0. 0:13:01.580,0:13:03.750 A potem minus 2 razy 1/2. 0:13:03.750,0:13:04.160 Taak. 0:13:04.160,0:13:06.230 Jak zrobicie to z każdym z tych kolesi, dostajecie 0. 0:13:06.230,0:13:09.200 Czyli ta linia jest prostopadła do tamtej płaszczyzny. 0:13:09.200,0:13:09.790 Bardzo interesujące. 0:13:09.790,0:13:12.990 Narysujmy to więc, żeby mieć dobre wyobrażenie 0:13:12.990,0:13:13.770 tego co robimy. 0:13:13.770,0:13:16.070 Czyli mieliśmy macierz A rozmiaru 3 na 3. 0:13:16.070,0:13:18.920 Reprezentuje ona jakieś przekształcenie w R3. 0:13:18.920,0:13:21.210 I ma dwie wartości własne. 0:13:21.210,0:13:24.030 A każda z nich ma odpowiadającą wartość własną. 0:13:24.030,0:13:26.030 Czyli przestrzenią własną odpowiadającą wartości własnej 0:13:26.030,0:13:27.930 3 jest płaszczyzna w R3. 0:13:27.930,0:13:31.940 3 jest płaszczyzna w R3. 0:13:31.940,0:13:37.600 Czyli to jest przestrzeń własna dla lambda równego 3. 0:13:37.600,0:13:40.370 To jest przestrzeń rozpięta na tych dwóch wektorach. 0:13:40.370,0:13:43.040 Jeżeli je narysuję, to może wyglądają jakoś tak. 0:13:43.040,0:13:44.040 Tak po prostu. 0:13:44.040,0:13:46.440 A przestrzeń własna dla lambda równego 0:13:46.440,0:13:47.850 minus 3 jest prostą. 0:13:47.850,0:13:50.260 To jest prosta prostopadła do tej płaszczyzny. 0:13:50.260,0:13:52.460 Czyli taka prosta. 0:13:52.460,0:13:53.710 To jest przestrzeń rozpięta na tym kolesiu. 0:13:53.710,0:13:55.870 Jeżeli narysuję ten wektor, to może on wyglądać 0:13:55.870,0:13:57.150 jakoś tak. 0:13:57.150,0:13:59.440 A to jest przestrzeń na nim rozpięta. 0:13:59.440,0:14:04.920 Czyli co to nam mówi -- to jest przestrzeń własna dla lambda 0:14:04.920,0:14:06.600 równego minus 3. 0:14:06.600,0:14:08.830 Czyli co to nam mówi -- tak tylko żeby się upewnić, 0:14:08.830,0:14:12.300 że poprawnie interpretujemy nasze wartości i przestrzenie własne -- 0:14:12.300,0:14:15.700 to, że jak mi dacie dowolny wektor własny, dacie mi dowolny 0:14:15.700,0:14:18.960 wektor stąd, dacie mi dowolny wektor leżący tu, 0:14:18.960,0:14:20.800 powiedzmy, że to jest wektor x. 0:14:20.800,0:14:24.320 Jeżeli zadziałam na niego przekształceniem, jeżeli pomnożę go przez A, 0:14:24.320,0:14:25.980 dostanę minus 3 razy to. 0:14:25.980,0:14:29.440 Ponieważ to jest przestrzeń własna odpowiadająca wartości własnej 3. 0:14:29.440,0:14:33.420 Czyli jeżeli zadziałamy A na x, A razy x, to dostaniemy 0:14:33.420,0:14:34.460 3 razy to, tak po prostu. 0:14:34.460,0:14:36.220 Czyli to będzie A razy x. 0:14:36.220,0:14:36.900 Tyle mi to mówi. 0:14:36.900,0:14:38.890 To będzie prawda dla każdego z tych kolesi. 0:14:38.890,0:14:41.390 Jeżeli to było x i wzięliśmy A razy x, to dostaniemy 0:14:41.390,0:14:42.740 3 razy dłuższy wektor. 0:14:42.740,0:14:47.950 Teraz ci kolesie tutaj, jeżeli mamy jakiś wektor 0:14:47.950,0:14:50.520 w tej przestrzeni własnej, który odpowiada lambda równemu 3 0:14:50.520,0:14:51.640 i zastosujemy przekształcenie... 0:14:51.640,0:14:53.500 Powiedzmy, że x leży tutaj. 0:14:53.500,0:14:55.710 Jeżeli weźmiemy przekształcenie x, to dostaniemy wektor 0:14:55.710,0:14:57.320 3 razy dłuższy, przeciwnie skierowany. 0:14:57.320,0:14:59.230 Nadal będzie leżał na tej linii. 0:14:59.230,0:15:01.720 Czyli będzie wskazywał w dół właśnie tak. 0:15:01.720,0:15:03.340 Czyli to będzie A razy x. 0:15:03.340,0:15:05.510 To będzie to samo, będzie 3 razy dłuższy, ale 0:15:05.510,0:15:06.360 skierowany w przeciwną stronę. 0:15:06.360,0:15:11.190 Ponieważ odpowiada wartości lambda równej minus 3. 0:15:11.190,0:15:14.420 Tak czy inaczej, myślę że udało nam się dużo osiągnąć. 0:15:14.420,0:15:18.290 Nie tylko znaleźliśmy wartości własne macierzy 3 na 3, 0:15:18.290,0:15:20.760 ale teraz znaleźliśmy wszystkie jej wektory własne. 0:15:20.760,0:15:22.260 Jest ich nieskończenie wiele, ale składają się 0:15:22.260,0:15:26.590 na dwie przestrzenie własne, które odpowiadają 0:15:26.590,0:15:31.170 tym dwóm wartościom własnym: minus 3 i 3. 0:15:31.170,0:15:33.270 Do zobaczenia w następnym filmie. 0:15:33.270,0:15:33.399 Do zobaczenia w następnym filmie.