< Return to Video

Chuỗi Taylor của hàm sin tại 0 (Maclaurin)

  • 0:01 - 0:03
    Video trước nói về chuỗi Maclaurin
  • 0:03 - 0:04
    của cos(x)
  • 0:04 - 0:07
    Mình ước lượng nó bằng cách dùng đa thức
  • 0:07 - 0:09
    và thấy điều thú vị là dạng của nó
  • 0:09 - 0:10
    xem mình có thể tìm được dạng tương tự không
  • 0:10 - 0:14
    nếu mình ước lượng sin(x) bằng một chuỗi Maclaurin
  • 0:14 - 0:16
    Một lần nữa chuỗi Maclaurin
  • 0:16 - 0:18
    cũng tương tự như chuỗi Taylor
  • 0:18 - 0:21
    khi ước lượng phải lân cận
  • 0:21 - 0:24
    với x bằng 0.
  • 0:24 - 0:27
    Đây là trường hợp đặc biệt của chuỗi Taylor
  • 0:27 - 0:30
    Ví dụ, f(x) trong trường hợp này
  • 0:30 - 0:31
    bằng sin x
  • 0:36 - 0:39
    và hãy cùng làm giống với những gì đã làm với cos x
  • 0:39 - 0:41
    lấy các đạo hàm khác nhau
  • 0:41 - 0:42
    của sinx
  • 0:42 - 0:46
    đạo hàm bậc 1 của sin x
  • 0:46 - 0:48
    là cos x
  • 0:48 - 0:51
    đạo hàm bậc 2 của sinx
  • 0:51 - 0:56
    là đạo hàm của cos x, bằng trừ sin x
  • 0:56 - 0:59
    đạo hàm bậc 3 là bằng đạo hàm của biểu thức này
  • 0:59 - 1:00
    viết 3 trong ngoặc đơn
  • 1:00 - 1:02
    đó, thay vì phẩy phẩy phẩy
  • 1:02 - 1:04
    đạo hàm bậc 3 là đạo hàm của
  • 1:04 - 1:08
    cái này, bằng trừ cos(x)
  • 1:08 - 1:12
    đạo hàm bậc 4
  • 1:12 - 1:15
    là đạo hàm của cái này lại là dương sin(x)
  • 1:15 - 1:18
    bận thấy đó, giống cos(x), thì ở đây cũng là sự tuần hoàn
  • 1:18 - 1:20
    nếu lấy đạo hàm đủ số lần
  • 1:20 - 1:23
    để làm được chuỗi Maclaurin,
  • 1:23 - 1:27
    mình cần ước lượng giá trị của hàm số
  • 1:27 - 1:28
    và mỗi đạo hàm tại x bằng 0
  • 1:28 - 1:30
    hãy làm thôi
  • 1:30 - 1:33
    với điều này thì để mình viết màu khác
  • 1:33 - 1:34
    khác màu xanh biển
  • 1:34 - 1:36
    viết màu tím nha
  • 1:36 - 1:39
    cũng hơi khó nhìn
  • 1:39 - 1:41
    đổi màu xanh khác
  • 1:41 - 1:46
    f(0), trong trường hợp này là 0
  • 1:46 - 1:50
    và f, có đạo hàm bậc 1 tại 0 là 1
  • 1:50 - 1:53
    cos 0 = 1
  • 1:53 - 1:57
    - sin 0 = 0
  • 1:57 - 2:01
    f'', đạo hàm bậc 2, tại 0 bằng 0
  • 2:01 - 2:06
    đạo hàm bậc 3, tại 0 bằng 1
  • 2:06 - 2:08
    cos 0 = 1
  • 2:08 - 2:10
    có dấu âm ở ngoài
  • 2:10 - 2:11
    nên kết quả là -1
  • 2:11 - 2:15
    và đạo hàm bậc 4 tại 0
  • 2:15 - 2:17
    lại bằng 0
  • 2:17 - 2:18
    mình tiếp tục làm
  • 2:18 - 2:20
    và thấy được dạng
  • 2:20 - 2:21
    0,1,0, -1,0 rồi
  • 2:21 - 2:23
    lại quay lại dương 1
  • 2:23 - 2:25
    và cứ như thế
  • 2:25 - 2:28
    vậy hãy tìm đại diện của đa thức
  • 2:28 - 2:30
    bằng chuỗi Maclaurin
  • 2:30 - 2:31
    Lưu ý nhỏ là, với cái này ở đây,
  • 2:31 - 2:34
    là ước lượng của cos(x)
  • 2:34 - 2:36
    và bạn sẽ tiến gần đến với cos(x)
  • 2:36 - 2:38
    mình không chắc chắc cho bạn thấy
  • 2:38 - 2:41
    là gần như thế nào, nhưng đó chính là cos(x)
  • 2:41 - 2:43
    và bạn sẽ càng đến gần
  • 2:43 - 2:45
    gần với cos(x) khi thêm nhiều số hạng vào đây
  • 2:45 - 2:46
    và khi đến với vô hạn, thì bạn
  • 2:46 - 2:49
    đã đến rất sát với cos(x)
  • 2:49 - 2:51
    hãy làm điều tương tự với sin(x)
  • 2:51 - 2:53
    Chọn một màu bút khác
  • 2:53 - 2:55
    xanh lá khá đẹp
  • 2:55 - 2:57
    đây là P(x)
  • 2:57 - 2:59
    và ước lượng này thì sẽ trở thành
  • 2:59 - 3:02
    sin(x), khi mình thêm nhiều số hạng hơn nữa
  • 3:02 - 3:07
    và số hạng đầu tiên, f(0) cũng sẽ bằng 0.
  • 3:07 - 3:09
    và mình cũng sẽ không cần phải thêm điều đó vào
  • 3:09 - 3:11
    số hạng tiếp theo sẽ là f'(0)
  • 3:11 - 3:14
    sẽ là bằng 1, nhân x
  • 3:14 - 3:16
    vậy mình có x
  • 3:16 - 3:18
    và tiếp theo là f'', đạo hàm bậc 2
  • 3:18 - 3:21
    tại 0, ở đây mình thấy 0
  • 3:21 - 3:23
    và để mình kéo xuống dưới
  • 3:23 - 3:24
    Nó là 0
  • 3:24 - 3:27
    Vậy là mình sẽ không có số hạng thứ 2
  • 3:27 - 3:30
    số hạng thứ 3 là, đạo hàm bậc 3
  • 3:30 - 3:33
    của sin(x) tại 0 bằng -1
  • 3:33 - 3:37
    và bây giờ thì mình có -1
  • 3:37 - 3:39
    để mình kéo xuống cho bạn nhìn thấy
  • 3:39 - 3:42
    trừ 1, trong trường hợp này
  • 3:42 - 3:46
    nhân x^3 chia 3!
  • 3:51 - 3:53
    số hạng tiếp theo bằng 0
  • 3:53 - 3:56
    vì đó là đạo hàm lần 4.
  • 3:56 - 4:00
    đạo hàm bậc 4 tại 0 là hệ số tiếp theo
  • 4:00 - 4:03
    mình cũng thấy nó sẽ bằng 0, sẽ được rút gọn
  • 4:03 - 4:05
    những gì bạn thấy ở đây,
  • 4:05 - 4:07
    và có lẽ là mình đã chưa tìm đủ số số hạng
  • 4:07 - 4:08
    để bạn cảm thấy tốt về cách làm
  • 4:08 - 4:10
    để mình tìm thêm một số hạng nữa, ở đây
  • 4:10 - 4:13
    cho rõ hơn.
  • 4:13 - 4:15
    f của đạo hàm bậc 5 của x là
  • 4:15 - 4:17
    sẽ là cos của x
  • 4:17 - 4:20
    với đạo hàm bậc 5, mình sẽ viết bằng màu khác
  • 4:20 - 4:27
    đạo hàm bậc 5 tại 0
  • 4:27 - 4:30
    sẽ bằng 1
  • 4:30 - 4:33
    đạo hàm bậc 4 tại 0 bằng 0
  • 4:33 - 4:37
    và sau đó là đạo hàm bậc 5 tại 0
  • 4:37 - 4:39
    nếu tiếp tục làm thì sẽ có 1
  • 4:39 - 4:41
    tiếp tục làm thì sẽ là dương
  • 4:41 - 4:44
    1, mình phải viết 1 là hệ số nhân x
  • 4:44 - 4:48
    chia 5!
  • 4:48 - 4:51
    có điều thú vị xảy ra ở đây
  • 4:51 - 4:56
    với cos(x) mình có 1, vì x^0= 1
  • 4:56 - 4:58
    nên là mình không có x^1
  • 4:58 - 5:00
    mình không có x mũ lẻ, thì đúng hơn
  • 5:00 - 5:03
    và mình chỉ có x mũ chẵn thôi
  • 5:03 - 5:07
    dù số mũ bằng bao nhiêu, thì mình cũng chia nó cho số giai thừa như thế
  • 5:07 - 5:09
    và các giá trị sin sẽ thay đổi
  • 5:09 - 5:12
    mình không nên nói đây toàn là sỗ mũ chẵn, vì 0 không phải
  • 5:12 - 5:14
    nhưng mà bạn có thể cứ xem như nó là số mũ chẵn
  • 5:14 - 5:18
    mình không đi quá sâu vào lý do tại sao
  • 5:18 - 5:22
    nhưng nó sẽ gồm 0,2,4,6, vân vân
  • 5:22 - 5:24
    nên là nó rất thú vị,
  • 5:24 - 5:25
    khi bạn so sánh nó với điều này
  • 5:25 - 5:27
    đây toàn là mũ lẻ
  • 5:27 - 5:29
    x^1 chia 1!
  • 5:29 - 5:30
    và mình đã không viết nó ở đây
  • 5:30 - 5:33
    x^3 chia 3!
  • 5:33 - 5:34
    cộng x^5 chia 5!
  • 5:34 - 5:36
    0 là một số chẵn
  • 5:36 - 5:40
    dù sao thì tâm trí mình cũng đang ở chỗ khác rồi
  • 5:40 - 5:41
    bạn hãy cứ làm tiếp tục làm
  • 5:41 - 5:43
    nếu bạn làm tương tự như vậy thì
  • 5:43 - 5:44
    sẽ thay đổi các giá trị sin
  • 5:44 - 5:48
    x^7 chia 7!, cộng
  • 5:48 - 5:50
    x^9 chia 9!
  • 5:50 - 5:51
    vậy đây là một vài điều hay ho
  • 5:51 - 5:55
    một lần nữa, bạn thấy được bản chất hỗ trợ
  • 5:55 - 5:57
    của sin và cos
  • 5:57 - 5:59
    và chúng gần như
  • 5:59 - 6:01
    là đã lấp vào khoảng trống của nhau ở đây
  • 6:01 - 6:03
    cos(x) của tất cả những số mũ chẵn
  • 6:03 - 6:06
    của x chia chính giai thừa của số mũ đó
  • 6:06 - 6:08
    sin(x), khi bạn lấy đại diện đa thức của nó
  • 6:08 - 6:12
    sẽ là tất cả những số mũ lẻ của x chia giai thừa số mũ
  • 6:12 - 6:14
    và thay đổi các giá trị sin
  • 6:14 - 6:17
    video tới, mình sẽ học về e^x
  • 6:17 - 6:19
    và điều thú vị là e
  • 6:19 - 6:22
    mũ x sẽ trông giống như tổ hợp của
  • 6:22 - 6:24
    điều này, không hoàn toàn giống
  • 6:24 - 6:26
    và bạn sẽ có được tổ hợp của chúng
  • 6:26 - 6:28
    khi cho các số ảo vào
  • 6:28 - 6:33
    sẽ vô cùng ngạc nhiên đấy
Title:
Chuỗi Taylor của hàm sin tại 0 (Maclaurin)
Description:

Ước lượng sin (x) với một chuỗi Maclaurin (giống như một đa thức Taylor có lân cận tại x = 0 với vô số số hạng). Hóa ra chuỗi này giống hệt như đạo hàm!

Xem bài tiếp theo: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-maclaurin-series/v/taylor-series-at-0-maclaurin-for-e-to -the-x? utm_source = YT & utm_medium = Desc & utm_campaign = APCalculusBC

Bỏ lỡ bài học trước? https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-maclaurin-series/v/cosine-taylor-series-at-0-maclaurin?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC

AP Calculus BC trên Khan Academy: Tìm hiểu AP Calculus BC - mọi thứ từ AP Calculus AB cùng với một số tính năng bổ sung, chẳng hạn như chuỗi Taylor, để chuẩn bị cho bài kiểm tra AP

Giới thiệu về Học viện Khan: Học viện Khan là một tổ chức phi lợi nhuận với sứ mệnh cung cấp nền giáo dục miễn phí đẳng cấp thế giới cho mọi người, ở bất kỳ đâu. Chúng tôi tin rằng người học ở mọi lứa tuổi nên có quyền truy cập không giới hạn vào nội dung giáo dục miễn phí mà họ có thể làm chủ theo tốc độ của riêng mình. Chúng tôi sử dụng phần mềm thông minh, phân tích dữ liệu sâu và giao diện người dùng trực quan để trợ giúp sinh viên và giáo viên trên toàn thế giới. Các nguồn lực của chúng tôi bao gồm giáo dục mầm non đến giáo dục đại học sớm, bao gồm toán, sinh học, hóa học, vật lý, kinh tế, tài chính, lịch sử, ngữ pháp và hơn thế nữa. Chúng tôi cung cấp dịch vụ luyện thi SAT được cá nhân hóa miễn phí với sự hợp tác của nhà phát triển bài thi, College Board. Học viện Khan đã được dịch sang hàng chục ngôn ngữ và 100 triệu người sử dụng nền tảng của chúng tôi trên toàn thế giới mỗi năm. Để biết thêm thông tin, hãy truy cập www.khanacademy.org, tham gia với chúng tôi trên Facebook hoặc theo dõi chúng tôi trên Twitter tại @khanacademy. Và hãy nhớ rằng, bạn có thể học bất cứ điều gì.

Miễn phí. Cho tất cả mọi người. Mãi mãi. #YouCanLearnAnything

Đăng ký kênh AP Calculus BC của Khan Academy: https://www.youtube.com/channel/UC5A2DBjjUVNz8axD-90jdfQ?sub_confirmation=1
Đăng ký Học viện Khan: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
06:33

Vietnamese subtitles

Revisions Compare revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.