-
Bir önceki videoda, kosinüs x'in Maclaurin serisini bulmuştuk. Bu polinomla yaklaşık değerler bulmuştuk ve, şu ilginç örüntüyü görmüştük.
-
-
-
-
-
Şimdi, Maclaurin serisiyle sinüs x'e yakın değerler bulalım ve benzer bir örüntü olup olmadığını görelim.
-
-
-
Hatırlamak istersek, Maclaurin serisi, 0'da ortalanmış bir Taylor serisidir.
-
-
-
-
-
Şimdi, f x'i sinüs x'e eşitleyelim. Ve, kosinüs x'e uyguladığımız süreci tekrarlayalım.
-
-
-
-
-
sinüs x'in türevlerini hızlıca alalım. Birinci türevi, kosinüs x. İkinci türevi, kosinüs x'in türevi, yani eksi sinüs x.
-
-
-
-
-
Üçüncü türevi ise, bunun türevi olacak. Üssü üssü üssü yazacağıma, parantez içinde 3 yazayım. Buna göre, üçüncü türev, eksi kosinüs x.
-
-
-
-
-
-
-
Dördüncü türev ise, tekrar sinüs x. Görüyorsunuz ki, sinüs de kosinüs gibi, belli sayıda türev aldığınızda bir döngüye gidiyor.
-
-
-
-
-
Maclaurin serisini yazmak için, fonksiyonun ve türevlerinin 0'daki değerlerini bulmamız gerekiyor.
-
-
-
Şimdi bunları bulayım.
-
-
-
-
-
f 0 eşittir 0. f üssü 0 eşittir 1, kosinüs 0 eşittir 1.
-
-
-
eksi sinüs 0 eşittir 0, yani f'nin 0'daki ikinci türevi eşittir 0.
-
-
-
0'daki üçüncü türev, eksi 1.
-
Kosinüs 0 eşittir 1, başta da eksi var, yani eksi 1. 0'daki dördüncü türev de 0. Böyle devam edebiliriz, ama 1, 0, eksi 1, 0 gibi bir örüntü gördüğümüz için, bu örüntüyü de kullanabiliriz.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Şimdi, Maclaurin serisi kullanarak, sinüs x'i polinom cinsinden tanımlayalım.
-
Şuradakinin kosinüs x'in Maclaurin serisi olduğunu hatırlayalım.
-
Kosinüs x'e yaklaştığını biliyoruz. Ne kadar yaklaştığını ispatlamasam da,terim sayısı sonsuza doğru arttıkça, bunun kosinüs x'le aynı olduğunu biliyoruz
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Şimdi aynı şeyi sinüs x için yapalım. İşte, yeni p x'imiz. Buna terimler ekledikçe, sinüs x'e yaklaşacak.
-
-
-
-
-
-
-
İlk terim, f 0 eşittir 0. Yani, bunu katmamıza gerek yok. Bir sonraki terim, f üssü 0, eşittir 1, çarpı x.
-
-
-
-
-
Ondan sonraki terim ise, f'nin 0'daki ikinci türevi, ki o da 0.
-
-
-
O zaman, üçüncü terimimiz olmayacak. Şuradaki dördüncü terim, sinüs x'in 0'daki üçüncü türevi, eksi 1.
-
-
-
-
-
Aşağı ineyim de, eksi 1'i görün. Burada, eksi 1 çarpı x küp bölü 3 faktöriyel olacak, yani eksi x küp bölü 3 faktöriyel..
-
-
-
-
-
Bir sonraki terim, 0 olacak çünkü 0'daki dördüncü türev bu terimin katsayısı. O da 0.
-
-
-
-
-
O zaman onu da katmıyoruz. Bir terim daha bulayım da, örüntüyü daha iyi anlayalım.
-
-
-
-
-
-
-
f'nin beşinci türevi, kosinüs x olacak.
-
-
-
-
-
Yani, f'nin 0'daki beşinci türevi, 1 olacak.
-
f'nin 0'daki dördüncü türevi 0, beşinci türevi ise 1. Buna devam edersem, artı 1 çarpı, x üzeri 5, bölü 5 faktöriyel.
-
-
-
-
-
-
-
Burada ilginç bir örüntü var. Kosinüs x'te tek üslü x'ler yoktu. Yalnızca, çift üslü x'ler vardı, onları da üssün faktöriyeline bölüyordum. Terimler de bir artı, bir eksi gidiyordu.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
0, 2, 4, 6 olarak sıralanıyordu. Bununla karşılaştırırsanız, ayrıca ilginç. Burada x'in tek üsleri var, x'in birinci kuvveti, bölü 1 faktöriyel - 1 faktöriyeli yazmadım.
-
-
-
-
-
-
-
Şurada, x küp bölü 3 faktöriyel artı, x üzeri 5, bölü 5 faktöriyel.
-
-
-
-
-
Ve böyle devam edebiliriz. Ayrıca, artı, eksi diye işaretleri değiştire değiştire yazmamız gerekiyor.
-
-
-
x üzeri 7, bölü 7 faktöriyel artı, x üzeri 9, bölü 9 faktöriyel.
-
Kosinüs ve sinüs arasındaki tamamlayıcı unsuru burada görebilirsiniz.
-
-
-
-
-
Kosinüs x, x'in çift üsleri bölü üssün faktöriyeli.
-
-
-
Sinüs x'in polinom gösterimi ise, x'in tek üsleri bölü üssün faktöriyeli ve işaretleri değiştiriyoruz.
-
-
-
Bir sonraki videoda ise, e üzeri x'i yapacağım. e üzeri x, ikisinin birazcık birleşimi gibi görünüyor, tam olmasa da.
-
-
-
-
-
İmajiner sayıları eklediğimizde ise, sinüs ve kosinüsün birleşimi oluyor ve bu, gerçekten inanılmaz bir olay.
-
-
-
-
Khan Academy
