0:00:00.122,0:00:04.184 Bir önceki videoda, kosinüs x'in Maclaurin serisini bulmuştuk. Bu polinomla yaklaşık değerler bulmuştuk ve, şu ilginç örüntüyü görmüştük. 0:00:04.184,0:00:06.738 - 0:00:06.738,0:00:08.334 - 0:00:08.334,0:00:10.782 Şimdi, Maclaurin serisiyle sinüs x'e yakın değerler bulalım ve benzer bir örüntü olup olmadığını görelim. 0:00:10.782,0:00:14.384 - 0:00:14.384,0:00:17.293 Hatırlamak istersek, Maclaurin serisi, 0'da ortalanmış bir Taylor serisidir. 0:00:17.293,0:00:21.595 - 0:00:21.595,0:00:27.108 - 0:00:27.108,0:00:32.762 Şimdi, f x'i sinüs x'e eşitleyelim. Ve, kosinüs x'e uyguladığımız süreci tekrarlayalım. 0:00:32.808,0:00:37.877 - 0:00:37.877,0:00:40.256 - 0:00:40.256,0:00:44.754 sinüs x'in türevlerini hızlıca alalım. Birinci türevi, kosinüs x. İkinci türevi, kosinüs x'in türevi, yani eksi sinüs x. 0:00:44.754,0:00:50.348 - 0:00:50.348,0:00:56.441 - 0:00:56.441,0:00:59.302 Üçüncü türevi ise, bunun türevi olacak. Üssü üssü üssü yazacağıma, parantez içinde 3 yazayım. Buna göre, üçüncü türev, eksi kosinüs x. 0:00:59.302,0:01:01.098 - 0:01:01.098,0:01:04.231 - 0:01:04.231,0:01:09.021 - 0:01:09.021,0:01:12.975 Dördüncü türev ise, tekrar sinüs x. Görüyorsunuz ki, sinüs de kosinüs gibi, belli sayıda türev aldığınızda bir döngüye gidiyor. 0:01:12.975,0:01:17.467 - 0:01:17.467,0:01:20.436 - 0:01:20.436,0:01:23.252 Maclaurin serisini yazmak için, fonksiyonun ve türevlerinin 0'daki değerlerini bulmamız gerekiyor. 0:01:23.252,0:01:29.169 - 0:01:29.169,0:01:32.215 Şimdi bunları bulayım. 0:01:32.215,0:01:37.800 - 0:01:37.800,0:01:40.329 - 0:01:40.329,0:01:47.733 f 0 eşittir 0. f üssü 0 eşittir 1, kosinüs 0 eşittir 1. 0:01:47.733,0:01:51.938 - 0:01:52.846,0:01:59.267 eksi sinüs 0 eşittir 0, yani f'nin 0'daki ikinci türevi eşittir 0. 0:01:59.267,0:02:01.652 - 0:02:01.652,0:02:06.944 0'daki üçüncü türev, eksi 1. 0:02:06.944,0:02:10.800 Kosinüs 0 eşittir 1, başta da eksi var, yani eksi 1. 0'daki dördüncü türev de 0. Böyle devam edebiliriz, ama 1, 0, eksi 1, 0 gibi bir örüntü gördüğümüz için, bu örüntüyü de kullanabiliriz. 0:02:10.800,0:02:15.421 - 0:02:15.421,0:02:19.733 - 0:02:19.733,0:02:22.169 - 0:02:22.169,0:02:27.000 - 0:02:27.000,0:02:30.001 Şimdi, Maclaurin serisi kullanarak, sinüs x'i polinom cinsinden tanımlayalım. 0:02:30.001,0:02:33.995 Şuradakinin kosinüs x'in Maclaurin serisi olduğunu hatırlayalım. 0:02:33.995,0:02:36.148 Kosinüs x'e yaklaştığını biliyoruz. Ne kadar yaklaştığını ispatlamasam da,terim sayısı sonsuza doğru arttıkça, bunun kosinüs x'le aynı olduğunu biliyoruz 0:02:36.148,0:02:38.615 - 0:02:38.615,0:02:41.843 - 0:02:41.843,0:02:43.441 - 0:02:43.441,0:02:46.046 - 0:02:46.046,0:02:49.179 - 0:02:49.179,0:02:52.435 Şimdi aynı şeyi sinüs x için yapalım. İşte, yeni p x'imiz. Buna terimler ekledikçe, sinüs x'e yaklaşacak. 0:02:52.435,0:02:56.518 - 0:02:56.518,0:02:58.827 - 0:02:58.827,0:03:02.067 - 0:03:02.067,0:03:07.133 İlk terim, f 0 eşittir 0. Yani, bunu katmamıza gerek yok. Bir sonraki terim, f üssü 0, eşittir 1, çarpı x. 0:03:07.133,0:03:10.467 - 0:03:10.467,0:03:15.333 - 0:03:15.841,0:03:19.901 Ondan sonraki terim ise, f'nin 0'daki ikinci türevi, ki o da 0. 0:03:19.901,0:03:23.436 - 0:03:23.436,0:03:27.133 O zaman, üçüncü terimimiz olmayacak. Şuradaki dördüncü terim, sinüs x'in 0'daki üçüncü türevi, eksi 1. 0:03:27.133,0:03:30.862 - 0:03:30.862,0:03:34.831 - 0:03:34.831,0:03:40.333 Aşağı ineyim de, eksi 1'i görün. Burada, eksi 1 çarpı x küp bölü 3 faktöriyel olacak, yani eksi x küp bölü 3 faktöriyel.. 0:03:40.333,0:03:44.877 - 0:03:44.877,0:03:50.836 - 0:03:50.836,0:03:54.446 Bir sonraki terim, 0 olacak çünkü 0'daki dördüncü türev bu terimin katsayısı. O da 0. 0:03:54.446,0:03:57.748 - 0:03:57.748,0:04:01.892 - 0:04:01.892,0:04:04.712 O zaman onu da katmıyoruz. Bir terim daha bulayım da, örüntüyü daha iyi anlayalım. 0:04:04.712,0:04:06.823 - 0:04:06.823,0:04:08.917 - 0:04:08.963,0:04:13.379 - 0:04:13.379,0:04:17.067 f'nin beşinci türevi, kosinüs x olacak. 0:04:17.067,0:04:20.249 - 0:04:20.249,0:04:23.200 - 0:04:23.492,0:04:28.608 Yani, f'nin 0'daki beşinci türevi, 1 olacak. 0:04:29.685,0:04:34.148 f'nin 0'daki dördüncü türevi 0, beşinci türevi ise 1. Buna devam edersem, artı 1 çarpı, x üzeri 5, bölü 5 faktöriyel. 0:04:34.148,0:04:38.133 - 0:04:38.133,0:04:41.923 - 0:04:41.923,0:04:47.184 - 0:04:47.184,0:04:49.867 Burada ilginç bir örüntü var. Kosinüs x'te tek üslü x'ler yoktu. Yalnızca, çift üslü x'ler vardı, onları da üssün faktöriyeline bölüyordum. Terimler de bir artı, bir eksi gidiyordu. 0:04:49.867,0:04:54.475 - 0:04:54.475,0:04:58.890 - 0:04:58.890,0:05:01.349 - 0:05:01.349,0:05:04.089 - 0:05:04.089,0:05:07.339 - 0:05:07.339,0:05:10.590 - 0:05:10.590,0:05:13.562 - 0:05:13.562,0:05:16.333 - 0:05:16.333,0:05:21.733 0, 2, 4, 6 olarak sıralanıyordu. Bununla karşılaştırırsanız, ayrıca ilginç. Burada x'in tek üsleri var, x'in birinci kuvveti, bölü 1 faktöriyel - 1 faktöriyeli yazmadım. 0:05:21.733,0:05:25.451 - 0:05:25.451,0:05:28.619 - 0:05:28.619,0:05:31.387 - 0:05:31.387,0:05:34.385 Şurada, x küp bölü 3 faktöriyel artı, x üzeri 5, bölü 5 faktöriyel. 0:05:34.385,0:05:36.831 - 0:05:36.831,0:05:40.033 - 0:05:40.033,0:05:42.866 Ve böyle devam edebiliriz. Ayrıca, artı, eksi diye işaretleri değiştire değiştire yazmamız gerekiyor. 0:05:42.866,0:05:45.672 - 0:05:45.672,0:05:49.460 x üzeri 7, bölü 7 faktöriyel artı, x üzeri 9, bölü 9 faktöriyel. 0:05:49.460,0:05:51.067 Kosinüs ve sinüs arasındaki tamamlayıcı unsuru burada görebilirsiniz. 0:05:51.067,0:05:56.400 - 0:05:56.400,0:05:59.467 - 0:05:59.467,0:06:01.395 Kosinüs x, x'in çift üsleri bölü üssün faktöriyeli. 0:06:01.395,0:06:05.714 - 0:06:05.714,0:06:09.133 Sinüs x'in polinom gösterimi ise, x'in tek üsleri bölü üssün faktöriyeli ve işaretleri değiştiriyoruz. 0:06:09.133,0:06:12.867 - 0:06:12.867,0:06:17.195 Bir sonraki videoda ise, e üzeri x'i yapacağım. e üzeri x, ikisinin birazcık birleşimi gibi görünüyor, tam olmasa da. 0:06:17.195,0:06:20.477 - 0:06:20.477,0:06:24.430 - 0:06:24.430,0:06:27.462 İmajiner sayıları eklediğimizde ise, sinüs ve kosinüsün birleşimi oluyor ve bu, gerçekten inanılmaz bir olay. 0:06:27.462,0:06:30.333 - 0:06:30.333,99:59:59.999 -