1
00:00:00,122 --> 00:00:04,184
Bir önceki videoda, kosinüs x'in Maclaurin serisini bulmuştuk. Bu polinomla yaklaşık değerler bulmuştuk ve, şu ilginç örüntüyü görmüştük.

2
00:00:04,184 --> 00:00:06,738
-

3
00:00:06,738 --> 00:00:08,334
-

4
00:00:08,334 --> 00:00:10,782
Şimdi, Maclaurin serisiyle sinüs x'e yakın değerler bulalım ve benzer bir örüntü olup olmadığını görelim.

5
00:00:10,782 --> 00:00:14,384
-

6
00:00:14,384 --> 00:00:17,293
Hatırlamak istersek, Maclaurin serisi, 0'da ortalanmış bir Taylor serisidir.

7
00:00:17,293 --> 00:00:21,595
-

8
00:00:21,595 --> 00:00:27,108
-

9
00:00:27,108 --> 00:00:32,762
Şimdi, f x'i sinüs x'e eşitleyelim. Ve, kosinüs x'e uyguladığımız süreci tekrarlayalım.

10
00:00:32,808 --> 00:00:37,877
-

11
00:00:37,877 --> 00:00:40,256
-

12
00:00:40,256 --> 00:00:44,754
sinüs x'in türevlerini hızlıca alalım. Birinci türevi, kosinüs x. İkinci türevi, kosinüs x'in türevi, yani eksi sinüs x.

13
00:00:44,754 --> 00:00:50,348
-

14
00:00:50,348 --> 00:00:56,441
-

15
00:00:56,441 --> 00:00:59,302
Üçüncü türevi ise, bunun türevi olacak. Üssü üssü üssü yazacağıma, parantez içinde 3 yazayım. Buna göre, üçüncü türev, eksi kosinüs x.

16
00:00:59,302 --> 00:01:01,098
-

17
00:01:01,098 --> 00:01:04,231
-

18
00:01:04,231 --> 00:01:09,021
-

19
00:01:09,021 --> 00:01:12,975
Dördüncü türev ise, tekrar sinüs x. Görüyorsunuz ki, sinüs de kosinüs gibi, belli sayıda türev aldığınızda bir döngüye gidiyor.

20
00:01:12,975 --> 00:01:17,467
-

21
00:01:17,467 --> 00:01:20,436
-

22
00:01:20,436 --> 00:01:23,252
Maclaurin serisini yazmak için, fonksiyonun ve türevlerinin 0'daki değerlerini bulmamız gerekiyor.

23
00:01:23,252 --> 00:01:29,169
-

24
00:01:29,169 --> 00:01:32,215
Şimdi bunları bulayım.

25
00:01:32,215 --> 00:01:37,800
-

26
00:01:37,800 --> 00:01:40,329
-

27
00:01:40,329 --> 00:01:47,733
f 0 eşittir 0. f üssü 0 eşittir 1, kosinüs 0 eşittir 1.

28
00:01:47,733 --> 00:01:51,938
-

29
00:01:52,846 --> 00:01:59,267
eksi sinüs 0 eşittir 0, yani f'nin 0'daki ikinci türevi eşittir 0.

30
00:01:59,267 --> 00:02:01,652
-

31
00:02:01,652 --> 00:02:06,944
0'daki üçüncü türev, eksi 1.

32
00:02:06,944 --> 00:02:10,800
Kosinüs 0 eşittir 1, başta da eksi var, yani eksi 1. 0'daki dördüncü türev de 0. Böyle devam edebiliriz, ama 1, 0, eksi 1, 0 gibi bir örüntü gördüğümüz için, bu örüntüyü de kullanabiliriz.

33
00:02:10,800 --> 00:02:15,421
-

34
00:02:15,421 --> 00:02:19,733
-

35
00:02:19,733 --> 00:02:22,169
-

36
00:02:22,169 --> 00:02:27,000
-

37
00:02:27,000 --> 00:02:30,001
Şimdi, Maclaurin serisi kullanarak, sinüs x'i polinom cinsinden tanımlayalım.

38
00:02:30,001 --> 00:02:33,995
Şuradakinin kosinüs x'in Maclaurin serisi olduğunu hatırlayalım.

39
00:02:33,995 --> 00:02:36,148
Kosinüs x'e yaklaştığını biliyoruz. Ne kadar yaklaştığını ispatlamasam da,terim sayısı sonsuza doğru arttıkça, bunun kosinüs x'le aynı olduğunu biliyoruz

40
00:02:36,148 --> 00:02:38,615
-

41
00:02:38,615 --> 00:02:41,843
-

42
00:02:41,843 --> 00:02:43,441
-

43
00:02:43,441 --> 00:02:46,046
-

44
00:02:46,046 --> 00:02:49,179
-

45
00:02:49,179 --> 00:02:52,435
Şimdi aynı şeyi sinüs x için yapalım. İşte, yeni p x'imiz. Buna terimler ekledikçe, sinüs x'e yaklaşacak.

46
00:02:52,435 --> 00:02:56,518
-

47
00:02:56,518 --> 00:02:58,827
-

48
00:02:58,827 --> 00:03:02,067
-

49
00:03:02,067 --> 00:03:07,133
İlk terim, f 0 eşittir 0. Yani, bunu katmamıza gerek yok. Bir sonraki terim, f üssü 0, eşittir 1, çarpı x.

50
00:03:07,133 --> 00:03:10,467
-

51
00:03:10,467 --> 00:03:15,333
-

52
00:03:15,841 --> 00:03:19,901
Ondan sonraki terim ise, f'nin 0'daki ikinci türevi, ki o da 0.

53
00:03:19,901 --> 00:03:23,436
-

54
00:03:23,436 --> 00:03:27,133
O zaman, üçüncü terimimiz olmayacak. Şuradaki dördüncü terim, sinüs x'in 0'daki üçüncü türevi, eksi 1.

55
00:03:27,133 --> 00:03:30,862
-

56
00:03:30,862 --> 00:03:34,831
-

57
00:03:34,831 --> 00:03:40,333
Aşağı ineyim de, eksi 1'i görün. Burada, eksi 1 çarpı x küp bölü 3 faktöriyel olacak, yani eksi x küp bölü 3 faktöriyel..

58
00:03:40,333 --> 00:03:44,877
-

59
00:03:44,877 --> 00:03:50,836
-

60
00:03:50,836 --> 00:03:54,446
Bir sonraki terim, 0 olacak çünkü 0'daki dördüncü türev bu terimin katsayısı. O da 0.

61
00:03:54,446 --> 00:03:57,748
-

62
00:03:57,748 --> 00:04:01,892
-

63
00:04:01,892 --> 00:04:04,712
O zaman onu da katmıyoruz. Bir terim daha bulayım da, örüntüyü daha iyi anlayalım.

64
00:04:04,712 --> 00:04:06,823
-

65
00:04:06,823 --> 00:04:08,917
-

66
00:04:08,963 --> 00:04:13,379
-

67
00:04:13,379 --> 00:04:17,067
f'nin beşinci türevi, kosinüs x olacak.

68
00:04:17,067 --> 00:04:20,249
-

69
00:04:20,249 --> 00:04:23,200
-

70
00:04:23,492 --> 00:04:28,608
Yani, f'nin 0'daki beşinci türevi, 1 olacak.

71
00:04:29,685 --> 00:04:34,148
f'nin 0'daki dördüncü türevi 0, beşinci türevi ise 1. Buna devam edersem, artı 1 çarpı, x üzeri 5, bölü 5 faktöriyel.

72
00:04:34,148 --> 00:04:38,133
-

73
00:04:38,133 --> 00:04:41,923
-

74
00:04:41,923 --> 00:04:47,184
-

75
00:04:47,184 --> 00:04:49,867
Burada ilginç bir örüntü var. Kosinüs x'te tek üslü x'ler yoktu. Yalnızca, çift üslü x'ler vardı, onları da üssün faktöriyeline bölüyordum. Terimler de bir artı, bir eksi gidiyordu.

76
00:04:49,867 --> 00:04:54,475
-

77
00:04:54,475 --> 00:04:58,890
-

78
00:04:58,890 --> 00:05:01,349
-

79
00:05:01,349 --> 00:05:04,089
-

80
00:05:04,089 --> 00:05:07,339
-

81
00:05:07,339 --> 00:05:10,590
-

82
00:05:10,590 --> 00:05:13,562
-

83
00:05:13,562 --> 00:05:16,333
-

84
00:05:16,333 --> 00:05:21,733
0, 2, 4, 6 olarak sıralanıyordu. Bununla karşılaştırırsanız, ayrıca ilginç. Burada x'in tek üsleri var, x'in birinci kuvveti, bölü 1 faktöriyel - 1 faktöriyeli yazmadım.

85
00:05:21,733 --> 00:05:25,451
-

86
00:05:25,451 --> 00:05:28,619
-

87
00:05:28,619 --> 00:05:31,387
-

88
00:05:31,387 --> 00:05:34,385
Şurada, x küp bölü 3 faktöriyel artı, x üzeri 5, bölü 5 faktöriyel.

89
00:05:34,385 --> 00:05:36,831
-

90
00:05:36,831 --> 00:05:40,033
-

91
00:05:40,033 --> 00:05:42,866
Ve böyle devam edebiliriz. Ayrıca, artı, eksi diye işaretleri değiştire değiştire yazmamız gerekiyor.

92
00:05:42,866 --> 00:05:45,672
-

93
00:05:45,672 --> 00:05:49,460
x üzeri 7, bölü 7 faktöriyel artı, x üzeri 9, bölü 9 faktöriyel.

94
00:05:49,460 --> 00:05:51,067
Kosinüs ve sinüs arasındaki tamamlayıcı unsuru burada görebilirsiniz.

95
00:05:51,067 --> 00:05:56,400
-

96
00:05:56,400 --> 00:05:59,467
-

97
00:05:59,467 --> 00:06:01,395
Kosinüs x, x'in çift üsleri bölü üssün faktöriyeli.

98
00:06:01,395 --> 00:06:05,714
-

99
00:06:05,714 --> 00:06:09,133
Sinüs x'in polinom gösterimi ise, x'in tek üsleri bölü üssün faktöriyeli ve işaretleri değiştiriyoruz.

100
00:06:09,133 --> 00:06:12,867
-

101
00:06:12,867 --> 00:06:17,195
Bir sonraki videoda ise, e üzeri x'i yapacağım. e üzeri x, ikisinin birazcık birleşimi gibi görünüyor, tam olmasa da.

102
00:06:17,195 --> 00:06:20,477
-

103
00:06:20,477 --> 00:06:24,430
-

104
00:06:24,430 --> 00:06:27,462
İmajiner sayıları eklediğimizde ise, sinüs ve kosinüsün birleşimi oluyor ve bu, gerçekten inanılmaz bir olay.

105
00:06:27,462 --> 00:06:30,333
-

106
00:06:30,333 --> 99:59:59,999
-