Sine Taylor Series at 0 (Maclaurin)

W ostatnim filmie rozwinęliśmy w szereg Maclaurin`a cosinus x

przybliżaliśmy go używając wielomianu

i zauważyliśmy dość ciekawy wzorzec.

Zobaczmy czy możemy znaleźć podobny wzorzec jeśli spróbujemy

przybliżyć sin(x) używając szeregu Maclaurin`a.

Raz jeszcze - szereg Maclaurin`a jest tym samym co

szereg Taylora, w którym ustalamy punkt przybliżenia

wokół x równego 0, zatem jest to szczególny przypadek szeregu Taylora.

Zdefiniujmy f(x) = sin(x)

f(x) jest teraz równe sin(x) i zróbmy to samo

co zrobiliśmy w przypadku cosinusa x. Bierzmy tylko kolejne

pochodne z sin(s) dużo szybciej. W przypadku pierwszej

pochodnej z sin(x) - jest ona zwyczajnie równa cos(x). Druga pochodna

sin(x) jest pochodną cox(x), która to jest równa minus sin(x)

trzecia pochodna będzie pochodną tego

napisze więc (3) zamiast pisać

te wszystkie prim, prim, prim. Zatem trzecia pochodna jest

pochodną tego, czyli jest to minus cos(x). Czwarta

pochodna, czwarta pochodna jest pochodną tego

czyli znów jest to plus sin(x). Widzisz, więc że jest tok samo jak z cos(x).

Zapętla się to - po tym jak policzysz pochodne odpowiednią ilość czasu.

Zależy nam - aby stworzyć szereg Maclauren`a - zależy nam

na wyliczeniu funkcji oraz wszystkich tych pochodnych dla x = 0

Zatem zróbmy to! Tym razem pozwól, że zrobię to innym

kolorem, nie tym samym, niebieskim. Zrobię to fioletowym kolorem.

Zatem f -ledwo go widać, weźmy jakiś

inny odcień niebieskiego, ergo f(0) w tym przypadku wynosi zero i f -

jej pierwsza pochodna w zerze jest równa 1. Cos(0)=1

minus sin(0) będzie równy 0. Wobec tego f prim prim -

druga pochodna w zerze jest równa 0.

Trzecia pochodna w zerze jest równa minus 1.

Cos(0)=1, masz minus tam, więc jest to

minus jeden i czwarta pochodna w zerze będzie

równa 0 - znów. Moglibyśmy tak kontynuować, ale znów wydaje się, że

widać schemat 0, 1, 0, -1, 0 a później wracasz do

dodatniej jedynki itd. itd.W takim razie znajdźmy

wielomianowe przedstawienie używając szeregu Maclaurina.

Tylko przypomnę - to tutaj rozpatrywaliśmy w przybliżeniu

cos(x) i będziesz coraz bliżej i bliżej

wartości cos(x), ściśle nie pokazuję Ci jak blisko

i że jest to dokładnie tym samym co cos(x)

ale będziesz coraz bliżej wartości cos(x)

w miarę jak będziesz dodawał kolejne składniki i jeśli dodasz nieskończoną ilość

będziesz nieskończenie blisko cos(x).

Zróbmy to dla sin(x) - wezmę

nowy kolor. Ten zielony będzie ładny. Zatem jest to

nasze nowe p(x) w przybliżeniu będzie równe

sin(x) - w miarę jak będziemy dodawać coraz to kolejne wyrazy

Pierwszy wyraz - tutaj- f(0) będzie po prostu równy 0

zatem nawet nie będziemy tego wliczać. Następny wyraz

będzie równy - f'(0) równe jeden - razy x, więc będzie to x

następnym wyrazem jest f'' - druga pochodna w zerze

która, jak tu widzimy jest równa zero. Przewinę trochę na dół.

To jest 0, więc nie będziemy mieć drugiego wyrazu

to jest trzeci wyraz tutaj - trzecia pochodna sin(x)

w zerze jest równa minus 1, zatem będziemy mieć

minus jedynkę. Przewinę trochę na dół, abyś mógł zobaczyć to

- to jest minus jeden, w tym przypadku, razy x^3 / 3!

Zatem x^3 / 3!

i następny wyraz będzie równy zero, ponieważ tyle jest równa

czwarta pochodna. Czwarta pochodna

w zerze jest kolejnym współczynnikiem. Widzimy, że będzie to 0

więc odpadnie i tym co tutaj zobaczymy...

właściwie to może nie wyliczyłem dostatecznie dużo przykładowych wyrazów

dla Ciebie - abyś czuł się pewniej. Pozwól mi obliczyć

jeszcze jeden wyraz do tego, żeby stało się to jasne,

piąta pochodna będzie równa cos(x) - znów.

Piąta pochodna, zrobię to tym samym kolorem

po prostu, by było konsekwentnie. Piąta pochodna

Piąta pochodna w zerze będzie równa jeden

zatem czwarta pochodna w zerze jest równa zero. Przechodząc

do piątej pochodnej będzie to

plus jeden i jeśli dalej będę to robił będzie to plus jeden

Zapisałbym jeden jako współczynnik razy x^5

przez 5!, więc dzieje się tu coś interesującego

i ponieważ cos(x) jest jedynką - w gruncie rzeczy - jeden razy

x do zerowej, następnie nie mam x do pierwszej.

Nie mam x do parzystych potęg, właściwie jeśli

mam x do jakiejkolwiek parzystej potęgi

dzielę ją przez silnie tej potęgi a znak

zmienia się za każdym razem. Nie powinienem mówić

'parzysta potęga' ponieważ zero nie jest parzyste. Myślę, że

możesz sobie wyobrazić je jako parzyste, bo ... nie będę się w to

zagłębiał, ale w gruncie rzeczy 0, 2, 4, 6 itd. itd.

zatem to jest interesujące jeśli porównasz to do tego.

To są wszystkie nieparzyste potęgi - to jest x^1

przez 1!, nie napisałem tego tu, to jest x^3

przez 3! dodać x^5 przez 5!

Yah, zero byłoby parzystą liczbą, w każdym razie,

nie - prawie. Mój umysł jest teraz gdzie indziej :)

mógł(a)byś tak kontynuować, jeśli byś to zrobił

zmienił(a)byś znak przy x^7

przez 7! dodać x^9 przez 9!

Zatem dzieję się tu coś interesującego - raz jeszcze

widzisz ten rodzaj pochlebnej natury

sinusa i cosinusa. Prawie to widzisz... one

uzupełniają siebie wzajemnie - o tutaj cos(x)

jest wszystkimi nieparzystymi potęgami x dzielonymi przez silnie z potęgi.

sin(x) -jeśli weźmiesz jego przedstawienie wielomianem

będą to wszystkie nieparzyste potęgi x dzielone przez swoje silnie -

kolejno ze zmienionymi znakami. W następnym filmie rozwinę e^x

i będzie to naprawdę fascynujące, że e^x będzie

wyglądał jak kombinacja tego. Jednak nie do końca

i tak naprawdę otrzymasz kombinację kiedy przejdziemy na

liczby zespolone, a wtedy zacznie się robić

naprawdę niesamowicie.