W ostatnim filmie rozwinęliśmy w szereg Maclaurin`a cosinus x przybliżaliśmy go używając wielomianu i zauważyliśmy dość ciekawy wzorzec. Zobaczmy czy możemy znaleźć podobny wzorzec jeśli spróbujemy przybliżyć sin(x) używając szeregu Maclaurin`a. Raz jeszcze - szereg Maclaurin`a jest tym samym co szereg Taylora, w którym ustalamy punkt przybliżenia wokół x równego 0, zatem jest to szczególny przypadek szeregu Taylora. Zdefiniujmy f(x) = sin(x) f(x) jest teraz równe sin(x) i zróbmy to samo co zrobiliśmy w przypadku cosinusa x. Bierzmy tylko kolejne pochodne z sin(s) dużo szybciej. W przypadku pierwszej pochodnej z sin(x) - jest ona zwyczajnie równa cos(x). Druga pochodna sin(x) jest pochodną cox(x), która to jest równa minus sin(x) trzecia pochodna będzie pochodną tego napisze więc (3) zamiast pisać te wszystkie prim, prim, prim. Zatem trzecia pochodna jest pochodną tego, czyli jest to minus cos(x). Czwarta pochodna, czwarta pochodna jest pochodną tego czyli znów jest to plus sin(x). Widzisz, więc że jest tok samo jak z cos(x). Zapętla się to - po tym jak policzysz pochodne odpowiednią ilość czasu. Zależy nam - aby stworzyć szereg Maclauren`a - zależy nam na wyliczeniu funkcji oraz wszystkich tych pochodnych dla x = 0 Zatem zróbmy to! Tym razem pozwól, że zrobię to innym kolorem, nie tym samym, niebieskim. Zrobię to fioletowym kolorem. Zatem f -ledwo go widać, weźmy jakiś inny odcień niebieskiego, ergo f(0) w tym przypadku wynosi zero i f - jej pierwsza pochodna w zerze jest równa 1. Cos(0)=1 minus sin(0) będzie równy 0. Wobec tego f prim prim - druga pochodna w zerze jest równa 0. Trzecia pochodna w zerze jest równa minus 1. Cos(0)=1, masz minus tam, więc jest to minus jeden i czwarta pochodna w zerze będzie równa 0 - znów. Moglibyśmy tak kontynuować, ale znów wydaje się, że widać schemat 0, 1, 0, -1, 0 a później wracasz do dodatniej jedynki itd. itd.W takim razie znajdźmy wielomianowe przedstawienie używając szeregu Maclaurina. Tylko przypomnę - to tutaj rozpatrywaliśmy w przybliżeniu cos(x) i będziesz coraz bliżej i bliżej wartości cos(x), ściśle nie pokazuję Ci jak blisko i że jest to dokładnie tym samym co cos(x) ale będziesz coraz bliżej wartości cos(x) w miarę jak będziesz dodawał kolejne składniki i jeśli dodasz nieskończoną ilość będziesz nieskończenie blisko cos(x). Zróbmy to dla sin(x) - wezmę nowy kolor. Ten zielony będzie ładny. Zatem jest to nasze nowe p(x) w przybliżeniu będzie równe sin(x) - w miarę jak będziemy dodawać coraz to kolejne wyrazy Pierwszy wyraz - tutaj- f(0) będzie po prostu równy 0 zatem nawet nie będziemy tego wliczać. Następny wyraz będzie równy - f'(0) równe jeden - razy x, więc będzie to x następnym wyrazem jest f'' - druga pochodna w zerze która, jak tu widzimy jest równa zero. Przewinę trochę na dół. To jest 0, więc nie będziemy mieć drugiego wyrazu to jest trzeci wyraz tutaj - trzecia pochodna sin(x) w zerze jest równa minus 1, zatem będziemy mieć minus jedynkę. Przewinę trochę na dół, abyś mógł zobaczyć to - to jest minus jeden, w tym przypadku, razy x^3 / 3! Zatem x^3 / 3! i następny wyraz będzie równy zero, ponieważ tyle jest równa czwarta pochodna. Czwarta pochodna w zerze jest kolejnym współczynnikiem. Widzimy, że będzie to 0 więc odpadnie i tym co tutaj zobaczymy... właściwie to może nie wyliczyłem dostatecznie dużo przykładowych wyrazów dla Ciebie - abyś czuł się pewniej. Pozwól mi obliczyć jeszcze jeden wyraz do tego, żeby stało się to jasne, piąta pochodna będzie równa cos(x) - znów. Piąta pochodna, zrobię to tym samym kolorem po prostu, by było konsekwentnie. Piąta pochodna Piąta pochodna w zerze będzie równa jeden zatem czwarta pochodna w zerze jest równa zero. Przechodząc do piątej pochodnej będzie to plus jeden i jeśli dalej będę to robił będzie to plus jeden Zapisałbym jeden jako współczynnik razy x^5 przez 5!, więc dzieje się tu coś interesującego i ponieważ cos(x) jest jedynką - w gruncie rzeczy - jeden razy x do zerowej, następnie nie mam x do pierwszej. Nie mam x do parzystych potęg, właściwie jeśli mam x do jakiejkolwiek parzystej potęgi dzielę ją przez silnie tej potęgi a znak zmienia się za każdym razem. Nie powinienem mówić 'parzysta potęga' ponieważ zero nie jest parzyste. Myślę, że możesz sobie wyobrazić je jako parzyste, bo ... nie będę się w to zagłębiał, ale w gruncie rzeczy 0, 2, 4, 6 itd. itd. zatem to jest interesujące jeśli porównasz to do tego. To są wszystkie nieparzyste potęgi - to jest x^1 przez 1!, nie napisałem tego tu, to jest x^3 przez 3! dodać x^5 przez 5! Yah, zero byłoby parzystą liczbą, w każdym razie, nie - prawie. Mój umysł jest teraz gdzie indziej :) mógł(a)byś tak kontynuować, jeśli byś to zrobił zmienił(a)byś znak przy x^7 przez 7! dodać x^9 przez 9! Zatem dzieję się tu coś interesującego - raz jeszcze widzisz ten rodzaj pochlebnej natury sinusa i cosinusa. Prawie to widzisz... one uzupełniają siebie wzajemnie - o tutaj cos(x) jest wszystkimi nieparzystymi potęgami x dzielonymi przez silnie z potęgi. sin(x) -jeśli weźmiesz jego przedstawienie wielomianem będą to wszystkie nieparzyste potęgi x dzielone przez swoje silnie - kolejno ze zmienionymi znakami. W następnym filmie rozwinę e^x i będzie to naprawdę fascynujące, że e^x będzie wyglądał jak kombinacja tego. Jednak nie do końca i tak naprawdę otrzymasz kombinację kiedy przejdziemy na liczby zespolone, a wtedy zacznie się robić naprawdę niesamowicie.