WEBVTT 00:00:00.122 --> 00:00:04.184 W ostatnim filmie rozwinęliśmy w szereg Maclaurin`a cosinus x 00:00:04.184 --> 00:00:06.738 przybliżaliśmy go używając wielomianu 00:00:06.738 --> 00:00:08.334 i zauważyliśmy dość ciekawy wzorzec. 00:00:08.334 --> 00:00:10.782 Zobaczmy czy możemy znaleźć podobny wzorzec jeśli spróbujemy 00:00:10.782 --> 00:00:14.384 przybliżyć sin(x) używając szeregu Maclaurin`a. 00:00:14.384 --> 00:00:17.293 Raz jeszcze - szereg Maclaurin`a jest tym samym co 00:00:17.293 --> 00:00:21.595 szereg Taylora, w którym ustalamy punkt przybliżenia 00:00:21.595 --> 00:00:27.108 wokół x równego 0, zatem jest to szczególny przypadek szeregu Taylora. 00:00:27.108 --> 00:00:32.762 Zdefiniujmy f(x) = sin(x) 00:00:32.808 --> 00:00:37.877 f(x) jest teraz równe sin(x) i zróbmy to samo 00:00:37.877 --> 00:00:40.256 co zrobiliśmy w przypadku cosinusa x. Bierzmy tylko kolejne 00:00:40.256 --> 00:00:44.754 pochodne z sin(s) dużo szybciej. W przypadku pierwszej 00:00:44.754 --> 00:00:50.348 pochodnej z sin(x) - jest ona zwyczajnie równa cos(x). Druga pochodna 00:00:50.348 --> 00:00:56.441 sin(x) jest pochodną cox(x), która to jest równa minus sin(x) 00:00:56.441 --> 00:00:59.302 trzecia pochodna będzie pochodną tego 00:00:59.302 --> 00:01:01.098 napisze więc (3) zamiast pisać 00:01:01.098 --> 00:01:04.231 te wszystkie prim, prim, prim. Zatem trzecia pochodna jest 00:01:04.231 --> 00:01:09.021 pochodną tego, czyli jest to minus cos(x). Czwarta 00:01:09.021 --> 00:01:12.975 pochodna, czwarta pochodna jest pochodną tego 00:01:12.975 --> 00:01:17.467 czyli znów jest to plus sin(x). Widzisz, więc że jest tok samo jak z cos(x). 00:01:17.467 --> 00:01:20.436 Zapętla się to - po tym jak policzysz pochodne odpowiednią ilość czasu. 00:01:20.436 --> 00:01:23.252 Zależy nam - aby stworzyć szereg Maclauren`a - zależy nam 00:01:23.252 --> 00:01:29.169 na wyliczeniu funkcji oraz wszystkich tych pochodnych dla x = 0 00:01:29.169 --> 00:01:32.215 Zatem zróbmy to! Tym razem pozwól, że zrobię to innym 00:01:32.215 --> 00:01:37.800 kolorem, nie tym samym, niebieskim. Zrobię to fioletowym kolorem. 00:01:37.800 --> 00:01:40.329 Zatem f -ledwo go widać, weźmy jakiś 00:01:40.329 --> 00:01:47.733 inny odcień niebieskiego, ergo f(0) w tym przypadku wynosi zero i f - 00:01:47.733 --> 00:01:51.938 jej pierwsza pochodna w zerze jest równa 1. Cos(0)=1 00:01:52.846 --> 00:01:59.267 minus sin(0) będzie równy 0. Wobec tego f prim prim - 00:01:59.267 --> 00:02:01.652 druga pochodna w zerze jest równa 0. 00:02:01.652 --> 00:02:06.944 Trzecia pochodna w zerze jest równa minus 1. 00:02:06.944 --> 00:02:10.800 Cos(0)=1, masz minus tam, więc jest to 00:02:10.800 --> 00:02:15.421 minus jeden i czwarta pochodna w zerze będzie 00:02:15.421 --> 00:02:19.733 równa 0 - znów. Moglibyśmy tak kontynuować, ale znów wydaje się, że 00:02:19.733 --> 00:02:22.169 widać schemat 0, 1, 0, -1, 0 a później wracasz do 00:02:22.169 --> 00:02:27.000 dodatniej jedynki itd. itd.W takim razie znajdźmy 00:02:27.000 --> 00:02:30.001 wielomianowe przedstawienie używając szeregu Maclaurina. 00:02:30.001 --> 00:02:33.995 Tylko przypomnę - to tutaj rozpatrywaliśmy w przybliżeniu 00:02:33.995 --> 00:02:36.148 cos(x) i będziesz coraz bliżej i bliżej 00:02:36.148 --> 00:02:38.615 wartości cos(x), ściśle nie pokazuję Ci jak blisko 00:02:38.615 --> 00:02:41.843 i że jest to dokładnie tym samym co cos(x) 00:02:41.843 --> 00:02:43.441 ale będziesz coraz bliżej wartości cos(x) 00:02:43.441 --> 00:02:46.046 w miarę jak będziesz dodawał kolejne składniki i jeśli dodasz nieskończoną ilość 00:02:46.046 --> 00:02:49.179 będziesz nieskończenie blisko cos(x). 00:02:49.179 --> 00:02:52.435 Zróbmy to dla sin(x) - wezmę 00:02:52.435 --> 00:02:56.518 nowy kolor. Ten zielony będzie ładny. Zatem jest to 00:02:56.518 --> 00:02:58.827 nasze nowe p(x) w przybliżeniu będzie równe 00:02:58.827 --> 00:03:02.067 sin(x) - w miarę jak będziemy dodawać coraz to kolejne wyrazy 00:03:02.067 --> 00:03:07.133 Pierwszy wyraz - tutaj- f(0) będzie po prostu równy 0 00:03:07.133 --> 00:03:10.467 zatem nawet nie będziemy tego wliczać. Następny wyraz 00:03:10.467 --> 00:03:15.333 będzie równy - f'(0) równe jeden - razy x, więc będzie to x 00:03:15.841 --> 00:03:19.901 następnym wyrazem jest f'' - druga pochodna w zerze 00:03:19.901 --> 00:03:23.436 która, jak tu widzimy jest równa zero. Przewinę trochę na dół. 00:03:23.436 --> 00:03:27.133 To jest 0, więc nie będziemy mieć drugiego wyrazu 00:03:27.133 --> 00:03:30.862 to jest trzeci wyraz tutaj - trzecia pochodna sin(x) 00:03:30.862 --> 00:03:34.831 w zerze jest równa minus 1, zatem będziemy mieć 00:03:34.831 --> 00:03:40.333 minus jedynkę. Przewinę trochę na dół, abyś mógł zobaczyć to 00:03:40.333 --> 00:03:44.877 - to jest minus jeden, w tym przypadku, razy x^3 / 3! 00:03:44.877 --> 00:03:50.836 Zatem x^3 / 3! 00:03:50.836 --> 00:03:54.446 i następny wyraz będzie równy zero, ponieważ tyle jest równa 00:03:54.446 --> 00:03:57.748 czwarta pochodna. Czwarta pochodna 00:03:57.748 --> 00:04:01.892 w zerze jest kolejnym współczynnikiem. Widzimy, że będzie to 0 00:04:01.892 --> 00:04:04.712 więc odpadnie i tym co tutaj zobaczymy... 00:04:04.712 --> 00:04:06.823 właściwie to może nie wyliczyłem dostatecznie dużo przykładowych wyrazów 00:04:06.823 --> 00:04:08.917 dla Ciebie - abyś czuł się pewniej. Pozwól mi obliczyć 00:04:08.963 --> 00:04:13.379 jeszcze jeden wyraz do tego, żeby stało się to jasne, 00:04:13.379 --> 00:04:17.067 piąta pochodna będzie równa cos(x) - znów. 00:04:17.067 --> 00:04:20.249 Piąta pochodna, zrobię to tym samym kolorem 00:04:20.249 --> 00:04:23.200 po prostu, by było konsekwentnie. Piąta pochodna 00:04:23.492 --> 00:04:28.608 Piąta pochodna w zerze będzie równa jeden 00:04:29.685 --> 00:04:34.148 zatem czwarta pochodna w zerze jest równa zero. Przechodząc 00:04:34.148 --> 00:04:38.133 do piątej pochodnej będzie to 00:04:38.133 --> 00:04:41.923 plus jeden i jeśli dalej będę to robił będzie to plus jeden 00:04:41.923 --> 00:04:47.184 Zapisałbym jeden jako współczynnik razy x^5 00:04:47.184 --> 00:04:49.867 przez 5!, więc dzieje się tu coś interesującego 00:04:49.867 --> 00:04:54.475 i ponieważ cos(x) jest jedynką - w gruncie rzeczy - jeden razy 00:04:54.475 --> 00:04:58.890 x do zerowej, następnie nie mam x do pierwszej. 00:04:58.890 --> 00:05:01.349 Nie mam x do parzystych potęg, właściwie jeśli 00:05:01.349 --> 00:05:04.089 mam x do jakiejkolwiek parzystej potęgi 00:05:04.089 --> 00:05:07.339 dzielę ją przez silnie tej potęgi a znak 00:05:07.339 --> 00:05:10.590 zmienia się za każdym razem. Nie powinienem mówić 00:05:10.590 --> 00:05:13.562 'parzysta potęga' ponieważ zero nie jest parzyste. Myślę, że 00:05:13.562 --> 00:05:16.333 możesz sobie wyobrazić je jako parzyste, bo ... nie będę się w to 00:05:16.333 --> 00:05:21.733 zagłębiał, ale w gruncie rzeczy 0, 2, 4, 6 itd. itd. 00:05:21.733 --> 00:05:25.451 zatem to jest interesujące jeśli porównasz to do tego. 00:05:25.451 --> 00:05:28.619 To są wszystkie nieparzyste potęgi - to jest x^1 00:05:28.619 --> 00:05:31.387 przez 1!, nie napisałem tego tu, to jest x^3 00:05:31.387 --> 00:05:34.385 przez 3! dodać x^5 przez 5! 00:05:34.385 --> 00:05:36.831 Yah, zero byłoby parzystą liczbą, w każdym razie, 00:05:36.831 --> 00:05:40.033 nie - prawie. Mój umysł jest teraz gdzie indziej :) 00:05:40.033 --> 00:05:42.866 mógł(a)byś tak kontynuować, jeśli byś to zrobił 00:05:42.866 --> 00:05:45.672 zmienił(a)byś znak przy x^7 00:05:45.672 --> 00:05:49.460 przez 7! dodać x^9 przez 9! 00:05:49.460 --> 00:05:51.067 Zatem dzieję się tu coś interesującego - raz jeszcze 00:05:51.067 --> 00:05:56.400 widzisz ten rodzaj pochlebnej natury 00:05:56.400 --> 00:05:59.467 sinusa i cosinusa. Prawie to widzisz... one 00:05:59.467 --> 00:06:01.395 uzupełniają siebie wzajemnie - o tutaj cos(x) 00:06:01.395 --> 00:06:05.714 jest wszystkimi nieparzystymi potęgami x dzielonymi przez silnie z potęgi. 00:06:05.714 --> 00:06:09.133 sin(x) -jeśli weźmiesz jego przedstawienie wielomianem 00:06:09.133 --> 00:06:12.867 będą to wszystkie nieparzyste potęgi x dzielone przez swoje silnie - 00:06:12.867 --> 00:06:17.195 kolejno ze zmienionymi znakami. W następnym filmie rozwinę e^x 00:06:17.195 --> 00:06:20.477 i będzie to naprawdę fascynujące, że e^x będzie 00:06:20.477 --> 00:06:24.430 wyglądał jak kombinacja tego. Jednak nie do końca 00:06:24.430 --> 00:06:27.462 i tak naprawdę otrzymasz kombinację kiedy przejdziemy na 00:06:27.462 --> 00:06:30.333 liczby zespolone, a wtedy zacznie się robić 00:06:30.333 --> 99:59:59.999 naprawdę niesamowicie.