W ostatnim filmie rozwinęliśmy w szereg Maclaurin`a cosinus x
przybliżaliśmy go używając wielomianu
i zauważyliśmy dość ciekawy wzorzec.
Zobaczmy czy możemy znaleźć podobny wzorzec jeśli spróbujemy
przybliżyć sin(x) używając szeregu Maclaurin`a.
Raz jeszcze - szereg Maclaurin`a jest tym samym co
szereg Taylora, w którym ustalamy punkt przybliżenia
wokół x równego 0, zatem jest to szczególny przypadek szeregu Taylora.
Zdefiniujmy f(x) = sin(x)
f(x) jest teraz równe sin(x) i zróbmy to samo
co zrobiliśmy w przypadku cosinusa x. Bierzmy tylko kolejne
pochodne z sin(s) dużo szybciej. W przypadku pierwszej
pochodnej z sin(x) - jest ona zwyczajnie równa cos(x). Druga pochodna
sin(x) jest pochodną cox(x), która to jest równa minus sin(x)
trzecia pochodna będzie pochodną tego
napisze więc (3) zamiast pisać
te wszystkie prim, prim, prim. Zatem trzecia pochodna jest
pochodną tego, czyli jest to minus cos(x). Czwarta
pochodna, czwarta pochodna jest pochodną tego
czyli znów jest to plus sin(x). Widzisz, więc że jest tok samo jak z cos(x).
Zapętla się to - po tym jak policzysz pochodne odpowiednią ilość czasu.
Zależy nam - aby stworzyć szereg Maclauren`a - zależy nam
na wyliczeniu funkcji oraz wszystkich tych pochodnych dla x = 0
Zatem zróbmy to! Tym razem pozwól, że zrobię to innym
kolorem, nie tym samym, niebieskim. Zrobię to fioletowym kolorem.
Zatem f -ledwo go widać, weźmy jakiś
inny odcień niebieskiego, ergo f(0) w tym przypadku wynosi zero i f -
jej pierwsza pochodna w zerze jest równa 1. Cos(0)=1
minus sin(0) będzie równy 0. Wobec tego f prim prim -
druga pochodna w zerze jest równa 0.
Trzecia pochodna w zerze jest równa minus 1.
Cos(0)=1, masz minus tam, więc jest to
minus jeden i czwarta pochodna w zerze będzie
równa 0 - znów. Moglibyśmy tak kontynuować, ale znów wydaje się, że
widać schemat 0, 1, 0, -1, 0 a później wracasz do
dodatniej jedynki itd. itd.W takim razie znajdźmy
wielomianowe przedstawienie używając szeregu Maclaurina.
Tylko przypomnę - to tutaj rozpatrywaliśmy w przybliżeniu
cos(x) i będziesz coraz bliżej i bliżej
wartości cos(x), ściśle nie pokazuję Ci jak blisko
i że jest to dokładnie tym samym co cos(x)
ale będziesz coraz bliżej wartości cos(x)
w miarę jak będziesz dodawał kolejne składniki i jeśli dodasz nieskończoną ilość
będziesz nieskończenie blisko cos(x).
Zróbmy to dla sin(x) - wezmę
nowy kolor. Ten zielony będzie ładny. Zatem jest to
nasze nowe p(x) w przybliżeniu będzie równe
sin(x) - w miarę jak będziemy dodawać coraz to kolejne wyrazy
Pierwszy wyraz - tutaj- f(0) będzie po prostu równy 0
zatem nawet nie będziemy tego wliczać. Następny wyraz
będzie równy - f'(0) równe jeden - razy x, więc będzie to x
następnym wyrazem jest f'' - druga pochodna w zerze
która, jak tu widzimy jest równa zero. Przewinę trochę na dół.
To jest 0, więc nie będziemy mieć drugiego wyrazu
to jest trzeci wyraz tutaj - trzecia pochodna sin(x)
w zerze jest równa minus 1, zatem będziemy mieć
minus jedynkę. Przewinę trochę na dół, abyś mógł zobaczyć to
- to jest minus jeden, w tym przypadku, razy x^3 / 3!
Zatem x^3 / 3!
i następny wyraz będzie równy zero, ponieważ tyle jest równa
czwarta pochodna. Czwarta pochodna
w zerze jest kolejnym współczynnikiem. Widzimy, że będzie to 0
więc odpadnie i tym co tutaj zobaczymy...
właściwie to może nie wyliczyłem dostatecznie dużo przykładowych wyrazów
dla Ciebie - abyś czuł się pewniej. Pozwól mi obliczyć
jeszcze jeden wyraz do tego, żeby stało się to jasne,
piąta pochodna będzie równa cos(x) - znów.
Piąta pochodna, zrobię to tym samym kolorem
po prostu, by było konsekwentnie. Piąta pochodna
Piąta pochodna w zerze będzie równa jeden
zatem czwarta pochodna w zerze jest równa zero. Przechodząc
do piątej pochodnej będzie to
plus jeden i jeśli dalej będę to robił będzie to plus jeden
Zapisałbym jeden jako współczynnik razy x^5
przez 5!, więc dzieje się tu coś interesującego
i ponieważ cos(x) jest jedynką - w gruncie rzeczy - jeden razy
x do zerowej, następnie nie mam x do pierwszej.
Nie mam x do parzystych potęg, właściwie jeśli
mam x do jakiejkolwiek parzystej potęgi
dzielę ją przez silnie tej potęgi a znak
zmienia się za każdym razem. Nie powinienem mówić
'parzysta potęga' ponieważ zero nie jest parzyste. Myślę, że
możesz sobie wyobrazić je jako parzyste, bo ... nie będę się w to
zagłębiał, ale w gruncie rzeczy 0, 2, 4, 6 itd. itd.
zatem to jest interesujące jeśli porównasz to do tego.
To są wszystkie nieparzyste potęgi - to jest x^1
przez 1!, nie napisałem tego tu, to jest x^3
przez 3! dodać x^5 przez 5!
Yah, zero byłoby parzystą liczbą, w każdym razie,
nie - prawie. Mój umysł jest teraz gdzie indziej :)
mógł(a)byś tak kontynuować, jeśli byś to zrobił
zmienił(a)byś znak przy x^7
przez 7! dodać x^9 przez 9!
Zatem dzieję się tu coś interesującego - raz jeszcze
widzisz ten rodzaj pochlebnej natury
sinusa i cosinusa. Prawie to widzisz... one
uzupełniają siebie wzajemnie - o tutaj cos(x)
jest wszystkimi nieparzystymi potęgami x dzielonymi przez silnie z potęgi.
sin(x) -jeśli weźmiesz jego przedstawienie wielomianem
będą to wszystkie nieparzyste potęgi x dzielone przez swoje silnie -
kolejno ze zmienionymi znakami. W następnym filmie rozwinę e^x
i będzie to naprawdę fascynujące, że e^x będzie
wyglądał jak kombinacja tego. Jednak nie do końca
i tak naprawdę otrzymasz kombinację kiedy przejdziemy na
liczby zespolone, a wtedy zacznie się robić
naprawdę niesamowicie.