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En el último video tomamos la Seríe de Maclaurin del Coseno de x
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Nosotros hicimos una aproximación usando este polinomio
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y vimos este interesante patrón.
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Vamos a ver si podemos encontrar un patrón similar si intentamos
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aproximar seno de x usando la serie de Maclaurin.
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y una vez más las series de Maclaurin es realmente la misma cosa
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que las series de Taylor en la que centramos nuestra aproximación
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alrededor de x es igual a 0. Este es un caso especial en las series de Taylor
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Vamos a decir que f de x en este caso es igual al seno de x
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f de x es ahora igual al seno de x y vamos a hacer lo mismo
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que hicimos con el coseno de x. Rápidamente solo vamos a tomar las diferentes
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derivadas del seno de x. De este modo si tienes la primera
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derivada del seno de x es justo el coseno de x. La segunda derivada
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del seno de x es la derivada del cosno de x lo cual es el seno de x negativo
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la tercera derivada va a ser la derivada de esto
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así que solo escribiré 3 en paréntesis en vez de
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poner todos los primos, primos, primos. De este modo la tercera derivada es
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la derivada de esto que es el coseno de x negativo. La cuarta
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derivada, la cuarta derivada es la derivada de esto
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que es nuevamente el seno de x positivo. Así puedes ver que justo cmo el coseno de x
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es una especie de ciclo después de que encuentras la derivada varias veces
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y vamos en orden hacia las series de Maclaurin nos ocupamos
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de evaluar la función y cada una de esas derivadas cuando x es igual a 0
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así que vamos a hacer eso. Para ello déjame ponerlo en un
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color diferente, que no sea de el mismo color azul. Lo haré en color violeta
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asi que f, yo pienso que es difícil de ver, vamos a ponerlo del
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otro color azul, así que f de 0 en este caso es 0 y f la
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primera derivada que evaluamos en 0 es 1. El coseno de 0 es 1
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el seno negativo de 0 va a ser 0 así que f prima prima
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la segunda derivada evaluada en 0 es 0.
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La tercera derivada evaluada en 0 es 1 negativo.
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El coseno de 0 es 1 tienes un negativo de esto
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y es 1 negativo y la cuarta derivada evaluada en 0 será
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0 de nuevo. Podríamos volver una vez más y parece que
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hay un patrón 0 1 -1 0 y luego vas a regresar
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a 1 positivo y así sucesivamente. Así que vamos a
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encontrar la representación polinómica usando las series de Maclaurin
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sólo recordemos que ésta aquí fue una aproximación
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coseno de x y te vas acercando más y más
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al coseno de x no estoy mostrando que tan cerca de una manera rigurosa
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y eso es exactamente la misma cosa que el coseno de x
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pero te vas acercando más y mós al coseno de x
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mientras vas agregando términos y si lo haces infinito
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vas a estar prácticamente en el coseno de x
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ahora vamos a hacer lo mismo con el seno de x, así
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tomaré un color nuevo. Este verde se ve bonito. Este es nuestro
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nuevo p de x así qe aproximadamente será
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seno de x mientras agregamos más y más términos
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y así el primer término aquí f de 0 será justamente 0
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así que ni siquiera necesitamos incluír eso. El próximo término
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va a ser f prima 0 lo que significa 1 por x, así que será x
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luego el próximo término es f prima la segunda derivada en 0
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la cual vemos que es 0. Déjame bajar un poquito
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es 0 así que no tendremos el segundo término
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el tercer término justo aquí es la tercera derivada del seno de x
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evaluada en 0 que es 1 negativo así que ahora tendremos
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un 1 negativo. Déjame bajar para que los puedas ver
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1 negativo, esto es 1 negativo en este caso multiplicado por la tercera
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sobre el factorial de 3, así que x negativa, la tercera sobre factorial de 3
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y luego el próximo téermino lva a ser 0 porque esa
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es la cuarta derivada. Esa es la cuarta derivada evaluada
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en 0 que es el próximo coeficiente. Vemos que eso va a ser 0.
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así que se elimina y lo que vas a ver aquí
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y quizás yo no he puesto suficientes términos
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para que te sienats bien acerca de esto déjame poner
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un término más justo aquí arriba para que se vea más claro
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f de la quinta derivada de x va a ser de nuevo el coseno de x
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la quinta derivada, déjame ponerlo en el mismo color
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para ser consistentes. La quinta derivada
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la quinta derivada evaluada en 0 será 1
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así que la cuarta derivada evaluada en 0 es 0. Luego
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vas a la quinta derivada evaluada en 0 que será
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1 positivo y si sigues haciendo esto será 1 positivo multiplicado
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tendré que escribír 1 como un coeficiente multiplicado por x a la quinta
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sobre factorial de 5 vemos que hay algo interesante que esta ocurriendo
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aquí y para el cseno de x yo tenía 1 esencialmente 1
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multiplicado por x a la cero entonces no tengo a x en la primera potencia
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No tengo a x en potencia impar sólo
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tengo a x elevado a todas las potencias pares y cualquiera que sea la potencia
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estoy dividiendola por ese factorial y luego el signo
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se mantiene cambiando y eso es, no debería decirlo
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es una potencia par porque el 0 realmente no lo es, bien creo que
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puedes verlo com lun número par por eso
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no entraré en detalle pero esencialment2 0, 2, 4, 6 y así sucesivamente
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esto es interesante especialmente si lo comparas
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Estas son todas las potencias impares esta es x a la primera potencia
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sobre factorial de 1 no lo escribí aquí
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es x a la tercera potencia sobre el factorial de 3 más x a la quinta potencia
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sobre el factorial de 5.Cero sería un número par de todos modos
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ya casi acabo. Mi cerebro está en otro lugar ahora mismo
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y tú podrías continuar haciendo esto si siguiermos este proceso
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solo tendrías que ir cambiando los signos de x a la séptima
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sobre el factorial de 7 más x a la novena potencia sobre el factorial de 9
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así que hay algo interesante aquí una vez
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másves es de naturaleza complementaria
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entre el seno y el coseno, casi lo ves
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como que se están llenando los baches respectivos sobre el coseno de x
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es todas las potencias pares de x divididas por la potencia del factorial
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seno de x cuando tomas la representación polinómica
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son todas las potencias impares de x divididas por su factorial
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e intercambias los signos. En el próximo video haré e elevado a la x
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y lo que es realmente fascinante es que e elevado a la x comienza
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a verse aquí un poco como una combinación pero no realmente
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y tú realmente obtienes la combinación cuando involucras
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a los números imaginarios y es ahí cuando realmente
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