WEBVTT

00:00:00.122 --> 00:00:04.184
En el último video tomamos la Seríe de Maclaurin del Coseno de x

00:00:04.184 --> 00:00:06.738
Nosotros hicimos una aproximación usando este polinomio

00:00:06.738 --> 00:00:08.334
y vimos este interesante patrón.

00:00:08.334 --> 00:00:10.782
Vamos a ver si podemos encontrar un patrón similar si intentamos

00:00:10.782 --> 00:00:14.384
aproximar seno de x usando la serie de Maclaurin.

00:00:14.384 --> 00:00:17.293
y una vez más las series de Maclaurin es realmente la misma cosa

00:00:17.293 --> 00:00:21.595
que las series de Taylor en la que centramos nuestra aproximación

00:00:21.595 --> 00:00:27.108
alrededor de x es igual a 0. Este es un caso especial en las series de Taylor

00:00:27.108 --> 00:00:32.762
Vamos a decir que f de x en este caso es igual al seno de x

00:00:32.808 --> 00:00:37.877
f de x es ahora igual al seno de x y vamos a hacer lo mismo

00:00:37.877 --> 00:00:40.256
que hicimos con el coseno de x. Rápidamente solo vamos a tomar las diferentes

00:00:40.256 --> 00:00:44.754
derivadas del seno de x. De este modo si tienes la primera

00:00:44.754 --> 00:00:50.348
derivada del seno de x es justo el coseno de x. La segunda derivada

00:00:50.348 --> 00:00:56.441
del seno de x es la derivada del cosno de x lo cual es el seno de x negativo

00:00:56.441 --> 00:00:59.302
la tercera derivada va a ser la derivada de esto

00:00:59.302 --> 00:01:01.098
así que solo escribiré 3 en paréntesis en vez de

00:01:01.098 --> 00:01:04.231
poner todos los primos, primos, primos. De este modo la tercera derivada es

00:01:04.231 --> 00:01:09.021
la derivada de esto que es el coseno de x negativo. La cuarta

00:01:09.021 --> 00:01:12.975
derivada, la cuarta derivada es la derivada de esto

00:01:12.975 --> 00:01:17.467
que es nuevamente el seno de x positivo. Así puedes ver que justo cmo el coseno de x

00:01:17.467 --> 00:01:20.436
es una especie de ciclo después de que encuentras la derivada varias veces

00:01:20.436 --> 00:01:23.252
y vamos en orden hacia las series de Maclaurin nos ocupamos

00:01:23.252 --> 00:01:29.169
de evaluar la función y cada una de esas derivadas cuando x es igual a 0

00:01:29.169 --> 00:01:32.215
así que vamos a hacer eso. Para ello déjame ponerlo en un

00:01:32.215 --> 00:01:37.800
color diferente, que no sea de el mismo color azul. Lo haré en color violeta

00:01:37.800 --> 00:01:40.329
asi que f, yo pienso que es difícil de ver, vamos a ponerlo del

00:01:40.329 --> 00:01:47.733
otro color azul, así que f de 0 en este caso es 0 y f la

00:01:47.733 --> 00:01:51.938
primera derivada que evaluamos en 0 es 1. El coseno de 0 es 1

00:01:52.846 --> 00:01:59.267
el seno negativo de 0 va a ser 0 así que f prima prima

00:01:59.267 --> 00:02:01.652
la segunda derivada evaluada en 0 es 0.

00:02:01.652 --> 00:02:06.944
La tercera derivada evaluada en 0 es 1 negativo.

00:02:06.944 --> 00:02:10.800
El coseno de 0 es 1 tienes un negativo de esto

00:02:10.800 --> 00:02:15.421
y es 1 negativo y la cuarta derivada evaluada en 0 será

00:02:15.421 --> 00:02:19.733
0 de nuevo. Podríamos volver una vez más y parece que

00:02:19.733 --> 00:02:22.169
hay un patrón 0 1 -1 0 y luego vas a regresar

00:02:22.169 --> 00:02:27.000
a 1 positivo y así sucesivamente. Así que vamos a

00:02:27.000 --> 00:02:30.001
encontrar la representación polinómica usando las series de Maclaurin

00:02:30.001 --> 00:02:33.995
sólo recordemos que ésta aquí fue una aproximación

00:02:33.995 --> 00:02:36.148
coseno de x y te vas acercando más y más

00:02:36.148 --> 00:02:38.615
al coseno de x no estoy mostrando que tan cerca de una manera rigurosa

00:02:38.615 --> 00:02:41.843
y eso es exactamente la misma cosa que el coseno de x

00:02:41.843 --> 00:02:43.441
pero te vas acercando más y mós al coseno de x

00:02:43.441 --> 00:02:46.046
mientras vas agregando términos y si lo haces infinito

00:02:46.046 --> 00:02:49.179
vas a estar prácticamente en el coseno de x

00:02:49.179 --> 00:02:52.435
ahora vamos a hacer lo mismo con el seno de x, así

00:02:52.435 --> 00:02:56.518
tomaré un color nuevo. Este verde se ve bonito. Este es nuestro

00:02:56.518 --> 00:02:58.827
nuevo p de x así qe aproximadamente será

00:02:58.827 --> 00:03:02.067
seno de x mientras agregamos más y más términos

00:03:02.067 --> 00:03:07.133
y así el primer término aquí f de 0 será justamente 0

00:03:07.133 --> 00:03:10.467
así que ni siquiera necesitamos incluír eso. El próximo término

00:03:10.467 --> 00:03:15.333
va a ser f prima 0 lo que significa 1 por x, así que será x

00:03:15.841 --> 00:03:19.901
luego el próximo término es f prima la segunda derivada en 0

00:03:19.901 --> 00:03:23.436
la cual vemos que es 0. Déjame bajar un poquito

00:03:23.436 --> 00:03:27.133
es 0 así que no tendremos el segundo término

00:03:27.133 --> 00:03:30.862
el tercer término justo aquí es la tercera derivada del seno de x

00:03:30.862 --> 00:03:34.831
evaluada en 0 que es 1 negativo así que ahora tendremos

00:03:34.831 --> 00:03:40.333
un 1 negativo. Déjame bajar para que los puedas ver

00:03:40.333 --> 00:03:44.877
1 negativo, esto es 1 negativo en este caso multiplicado por la tercera

00:03:44.877 --> 00:03:50.836
sobre el factorial de 3, así que x negativa, la tercera sobre factorial de 3

00:03:50.836 --> 00:03:54.446
y luego el próximo téermino lva a ser 0 porque esa

00:03:54.446 --> 00:03:57.748
es la cuarta derivada. Esa es la cuarta derivada evaluada

00:03:57.748 --> 00:04:01.892
en 0 que es el próximo coeficiente. Vemos que eso va a ser 0.

00:04:01.892 --> 00:04:04.712
así que se elimina y lo que vas a ver aquí

00:04:04.712 --> 00:04:06.823
y quizás yo no he puesto suficientes términos

00:04:06.823 --> 00:04:08.917
para que te sienats bien acerca de esto déjame poner

00:04:08.963 --> 00:04:13.379
un término más justo aquí arriba para que se vea más claro

00:04:13.379 --> 00:04:17.067
f de la quinta derivada de x va a ser de nuevo el coseno de x

00:04:17.067 --> 00:04:20.249
la quinta derivada, déjame ponerlo en el mismo color

00:04:20.249 --> 00:04:23.200
para ser consistentes. La quinta derivada

00:04:23.492 --> 00:04:28.608
la quinta derivada evaluada en 0 será 1

00:04:29.685 --> 00:04:34.148
así que la cuarta derivada evaluada en 0 es 0. Luego

00:04:34.148 --> 00:04:38.133
vas a la quinta derivada evaluada en 0 que será

00:04:38.133 --> 00:04:41.923
1 positivo y si sigues haciendo esto será 1 positivo multiplicado

00:04:41.923 --> 00:04:47.184
tendré que escribír 1 como un coeficiente multiplicado por x a la quinta

00:04:47.184 --> 00:04:49.867
sobre factorial de 5 vemos que hay algo interesante que esta ocurriendo

00:04:49.867 --> 00:04:54.475
aquí y para el cseno de x yo tenía 1 esencialmente 1

00:04:54.475 --> 00:04:58.890
multiplicado por x a la cero entonces no tengo a x en la primera potencia

00:04:58.890 --> 00:05:01.349
No tengo a x en potencia impar sólo

00:05:01.349 --> 00:05:04.089
tengo a x elevado a todas las potencias pares y cualquiera que sea la potencia

00:05:04.089 --> 00:05:07.339
estoy dividiendola por ese factorial y luego el signo

00:05:07.339 --> 00:05:10.590
se mantiene cambiando y eso es, no debería decirlo

00:05:10.590 --> 00:05:13.562
es una potencia par porque el 0 realmente no lo es, bien creo que

00:05:13.562 --> 00:05:16.333
puedes verlo com lun número par por eso

00:05:16.333 --> 00:05:21.733
no entraré en detalle pero esencialment2 0, 2, 4, 6 y así sucesivamente

00:05:21.733 --> 00:05:25.451
esto es interesante especialmente si lo comparas

00:05:25.451 --> 00:05:28.619
Estas son todas las potencias impares esta es x a la primera potencia

00:05:28.619 --> 00:05:31.387
sobre factorial de 1 no lo escribí aquí

00:05:31.387 --> 00:05:34.385
es x a la tercera potencia sobre el factorial de 3 más x a la quinta potencia

00:05:34.385 --> 00:05:36.831
sobre el factorial de 5.Cero sería un número par de todos modos

00:05:36.831 --> 00:05:40.033
ya casi acabo. Mi cerebro está en otro lugar ahora mismo

00:05:40.033 --> 00:05:42.866
y tú podrías continuar haciendo esto si siguiermos este proceso

00:05:42.866 --> 00:05:45.672
solo tendrías que ir cambiando los signos de x a la séptima

00:05:45.672 --> 00:05:49.460
sobre el factorial de 7 más x a la novena potencia sobre el factorial de 9

00:05:49.460 --> 00:05:51.067
así que hay algo interesante aquí una vez

00:05:51.067 --> 00:05:56.400
másves es de naturaleza complementaria

00:05:56.400 --> 00:05:59.467
entre el seno y el coseno, casi lo ves

00:05:59.467 --> 00:06:01.395
como que se están llenando los baches respectivos sobre el coseno de x

00:06:01.395 --> 00:06:05.714
es todas las potencias pares de x divididas por la potencia del factorial

00:06:05.714 --> 00:06:09.133
seno de x cuando tomas la representación polinómica

00:06:09.133 --> 00:06:12.867
son todas las potencias impares de x divididas por su factorial

00:06:12.867 --> 00:06:17.195
e intercambias los signos. En el próximo video haré e elevado a la x

00:06:17.195 --> 00:06:20.477
y lo que es realmente fascinante es que e elevado a la x comienza

00:06:20.477 --> 00:06:24.430
a verse aquí un poco como una combinación pero no realmente

00:06:24.430 --> 00:06:27.462
y tú realmente obtienes la combinación cuando involucras

00:06:27.462 --> 00:06:30.333
a los números imaginarios y es ahí cuando realmente

00:06:30.333 --> 99:59:59.999
deslumbra