En el último video tomamos la Seríe de Maclaurin del Coseno de x
Nosotros hicimos una aproximación usando este polinomio
y vimos este interesante patrón.
Vamos a ver si podemos encontrar un patrón similar si intentamos
aproximar seno de x usando la serie de Maclaurin.
y una vez más las series de Maclaurin es realmente la misma cosa
que las series de Taylor en la que centramos nuestra aproximación
alrededor de x es igual a 0. Este es un caso especial en las series de Taylor
Vamos a decir que f de x en este caso es igual al seno de x
f de x es ahora igual al seno de x y vamos a hacer lo mismo
que hicimos con el coseno de x. Rápidamente solo vamos a tomar las diferentes
derivadas del seno de x. De este modo si tienes la primera
derivada del seno de x es justo el coseno de x. La segunda derivada
del seno de x es la derivada del cosno de x lo cual es el seno de x negativo
la tercera derivada va a ser la derivada de esto
así que solo escribiré 3 en paréntesis en vez de
poner todos los primos, primos, primos. De este modo la tercera derivada es
la derivada de esto que es el coseno de x negativo. La cuarta
derivada, la cuarta derivada es la derivada de esto
que es nuevamente el seno de x positivo. Así puedes ver que justo cmo el coseno de x
es una especie de ciclo después de que encuentras la derivada varias veces
y vamos en orden hacia las series de Maclaurin nos ocupamos
de evaluar la función y cada una de esas derivadas cuando x es igual a 0
así que vamos a hacer eso. Para ello déjame ponerlo en un
color diferente, que no sea de el mismo color azul. Lo haré en color violeta
asi que f, yo pienso que es difícil de ver, vamos a ponerlo del
otro color azul, así que f de 0 en este caso es 0 y f la
primera derivada que evaluamos en 0 es 1. El coseno de 0 es 1
el seno negativo de 0 va a ser 0 así que f prima prima
la segunda derivada evaluada en 0 es 0.
La tercera derivada evaluada en 0 es 1 negativo.
El coseno de 0 es 1 tienes un negativo de esto
y es 1 negativo y la cuarta derivada evaluada en 0 será
0 de nuevo. Podríamos volver una vez más y parece que
hay un patrón 0 1 -1 0 y luego vas a regresar
a 1 positivo y así sucesivamente. Así que vamos a
encontrar la representación polinómica usando las series de Maclaurin
sólo recordemos que ésta aquí fue una aproximación
coseno de x y te vas acercando más y más
al coseno de x no estoy mostrando que tan cerca de una manera rigurosa
y eso es exactamente la misma cosa que el coseno de x
pero te vas acercando más y mós al coseno de x
mientras vas agregando términos y si lo haces infinito
vas a estar prácticamente en el coseno de x
ahora vamos a hacer lo mismo con el seno de x, así
tomaré un color nuevo. Este verde se ve bonito. Este es nuestro
nuevo p de x así qe aproximadamente será
seno de x mientras agregamos más y más términos
y así el primer término aquí f de 0 será justamente 0
así que ni siquiera necesitamos incluír eso. El próximo término
va a ser f prima 0 lo que significa 1 por x, así que será x
luego el próximo término es f prima la segunda derivada en 0
la cual vemos que es 0. Déjame bajar un poquito
es 0 así que no tendremos el segundo término
el tercer término justo aquí es la tercera derivada del seno de x
evaluada en 0 que es 1 negativo así que ahora tendremos
un 1 negativo. Déjame bajar para que los puedas ver
1 negativo, esto es 1 negativo en este caso multiplicado por la tercera
sobre el factorial de 3, así que x negativa, la tercera sobre factorial de 3
y luego el próximo téermino lva a ser 0 porque esa
es la cuarta derivada. Esa es la cuarta derivada evaluada
en 0 que es el próximo coeficiente. Vemos que eso va a ser 0.
así que se elimina y lo que vas a ver aquí
y quizás yo no he puesto suficientes términos
para que te sienats bien acerca de esto déjame poner
un término más justo aquí arriba para que se vea más claro
f de la quinta derivada de x va a ser de nuevo el coseno de x
la quinta derivada, déjame ponerlo en el mismo color
para ser consistentes. La quinta derivada
la quinta derivada evaluada en 0 será 1
así que la cuarta derivada evaluada en 0 es 0. Luego
vas a la quinta derivada evaluada en 0 que será
1 positivo y si sigues haciendo esto será 1 positivo multiplicado
tendré que escribír 1 como un coeficiente multiplicado por x a la quinta
sobre factorial de 5 vemos que hay algo interesante que esta ocurriendo
aquí y para el cseno de x yo tenía 1 esencialmente 1
multiplicado por x a la cero entonces no tengo a x en la primera potencia
No tengo a x en potencia impar sólo
tengo a x elevado a todas las potencias pares y cualquiera que sea la potencia
estoy dividiendola por ese factorial y luego el signo
se mantiene cambiando y eso es, no debería decirlo
es una potencia par porque el 0 realmente no lo es, bien creo que
puedes verlo com lun número par por eso
no entraré en detalle pero esencialment2 0, 2, 4, 6 y así sucesivamente
esto es interesante especialmente si lo comparas
Estas son todas las potencias impares esta es x a la primera potencia
sobre factorial de 1 no lo escribí aquí
es x a la tercera potencia sobre el factorial de 3 más x a la quinta potencia
sobre el factorial de 5.Cero sería un número par de todos modos
ya casi acabo. Mi cerebro está en otro lugar ahora mismo
y tú podrías continuar haciendo esto si siguiermos este proceso
solo tendrías que ir cambiando los signos de x a la séptima
sobre el factorial de 7 más x a la novena potencia sobre el factorial de 9
así que hay algo interesante aquí una vez
másves es de naturaleza complementaria
entre el seno y el coseno, casi lo ves
como que se están llenando los baches respectivos sobre el coseno de x
es todas las potencias pares de x divididas por la potencia del factorial
seno de x cuando tomas la representación polinómica
son todas las potencias impares de x divididas por su factorial
e intercambias los signos. En el próximo video haré e elevado a la x
y lo que es realmente fascinante es que e elevado a la x comienza
a verse aquí un poco como una combinación pero no realmente
y tú realmente obtienes la combinación cuando involucras
a los números imaginarios y es ahí cuando realmente
deslumbra