En el último video tomamos la Seríe de Maclaurin del Coseno de x Nosotros hicimos una aproximación usando este polinomio y vimos este interesante patrón. Vamos a ver si podemos encontrar un patrón similar si intentamos aproximar seno de x usando la serie de Maclaurin. y una vez más las series de Maclaurin es realmente la misma cosa que las series de Taylor en la que centramos nuestra aproximación alrededor de x es igual a 0. Este es un caso especial en las series de Taylor Vamos a decir que f de x en este caso es igual al seno de x f de x es ahora igual al seno de x y vamos a hacer lo mismo que hicimos con el coseno de x. Rápidamente solo vamos a tomar las diferentes derivadas del seno de x. De este modo si tienes la primera derivada del seno de x es justo el coseno de x. La segunda derivada del seno de x es la derivada del cosno de x lo cual es el seno de x negativo la tercera derivada va a ser la derivada de esto así que solo escribiré 3 en paréntesis en vez de poner todos los primos, primos, primos. De este modo la tercera derivada es la derivada de esto que es el coseno de x negativo. La cuarta derivada, la cuarta derivada es la derivada de esto que es nuevamente el seno de x positivo. Así puedes ver que justo cmo el coseno de x es una especie de ciclo después de que encuentras la derivada varias veces y vamos en orden hacia las series de Maclaurin nos ocupamos de evaluar la función y cada una de esas derivadas cuando x es igual a 0 así que vamos a hacer eso. Para ello déjame ponerlo en un color diferente, que no sea de el mismo color azul. Lo haré en color violeta asi que f, yo pienso que es difícil de ver, vamos a ponerlo del otro color azul, así que f de 0 en este caso es 0 y f la primera derivada que evaluamos en 0 es 1. El coseno de 0 es 1 el seno negativo de 0 va a ser 0 así que f prima prima la segunda derivada evaluada en 0 es 0. La tercera derivada evaluada en 0 es 1 negativo. El coseno de 0 es 1 tienes un negativo de esto y es 1 negativo y la cuarta derivada evaluada en 0 será 0 de nuevo. Podríamos volver una vez más y parece que hay un patrón 0 1 -1 0 y luego vas a regresar a 1 positivo y así sucesivamente. Así que vamos a encontrar la representación polinómica usando las series de Maclaurin sólo recordemos que ésta aquí fue una aproximación coseno de x y te vas acercando más y más al coseno de x no estoy mostrando que tan cerca de una manera rigurosa y eso es exactamente la misma cosa que el coseno de x pero te vas acercando más y mós al coseno de x mientras vas agregando términos y si lo haces infinito vas a estar prácticamente en el coseno de x ahora vamos a hacer lo mismo con el seno de x, así tomaré un color nuevo. Este verde se ve bonito. Este es nuestro nuevo p de x así qe aproximadamente será seno de x mientras agregamos más y más términos y así el primer término aquí f de 0 será justamente 0 así que ni siquiera necesitamos incluír eso. El próximo término va a ser f prima 0 lo que significa 1 por x, así que será x luego el próximo término es f prima la segunda derivada en 0 la cual vemos que es 0. Déjame bajar un poquito es 0 así que no tendremos el segundo término el tercer término justo aquí es la tercera derivada del seno de x evaluada en 0 que es 1 negativo así que ahora tendremos un 1 negativo. Déjame bajar para que los puedas ver 1 negativo, esto es 1 negativo en este caso multiplicado por la tercera sobre el factorial de 3, así que x negativa, la tercera sobre factorial de 3 y luego el próximo téermino lva a ser 0 porque esa es la cuarta derivada. Esa es la cuarta derivada evaluada en 0 que es el próximo coeficiente. Vemos que eso va a ser 0. así que se elimina y lo que vas a ver aquí y quizás yo no he puesto suficientes términos para que te sienats bien acerca de esto déjame poner un término más justo aquí arriba para que se vea más claro f de la quinta derivada de x va a ser de nuevo el coseno de x la quinta derivada, déjame ponerlo en el mismo color para ser consistentes. La quinta derivada la quinta derivada evaluada en 0 será 1 así que la cuarta derivada evaluada en 0 es 0. Luego vas a la quinta derivada evaluada en 0 que será 1 positivo y si sigues haciendo esto será 1 positivo multiplicado tendré que escribír 1 como un coeficiente multiplicado por x a la quinta sobre factorial de 5 vemos que hay algo interesante que esta ocurriendo aquí y para el cseno de x yo tenía 1 esencialmente 1 multiplicado por x a la cero entonces no tengo a x en la primera potencia No tengo a x en potencia impar sólo tengo a x elevado a todas las potencias pares y cualquiera que sea la potencia estoy dividiendola por ese factorial y luego el signo se mantiene cambiando y eso es, no debería decirlo es una potencia par porque el 0 realmente no lo es, bien creo que puedes verlo com lun número par por eso no entraré en detalle pero esencialment2 0, 2, 4, 6 y así sucesivamente esto es interesante especialmente si lo comparas Estas son todas las potencias impares esta es x a la primera potencia sobre factorial de 1 no lo escribí aquí es x a la tercera potencia sobre el factorial de 3 más x a la quinta potencia sobre el factorial de 5.Cero sería un número par de todos modos ya casi acabo. Mi cerebro está en otro lugar ahora mismo y tú podrías continuar haciendo esto si siguiermos este proceso solo tendrías que ir cambiando los signos de x a la séptima sobre el factorial de 7 más x a la novena potencia sobre el factorial de 9 así que hay algo interesante aquí una vez másves es de naturaleza complementaria entre el seno y el coseno, casi lo ves como que se están llenando los baches respectivos sobre el coseno de x es todas las potencias pares de x divididas por la potencia del factorial seno de x cuando tomas la representación polinómica son todas las potencias impares de x divididas por su factorial e intercambias los signos. En el próximo video haré e elevado a la x y lo que es realmente fascinante es que e elevado a la x comienza a verse aquí un poco como una combinación pero no realmente y tú realmente obtienes la combinación cuando involucras a los números imaginarios y es ahí cuando realmente deslumbra