Problemas de série geométrica: caminhada

[RKA22] Olá, tudo bem? Você vai assistir agora
à mais uma aula de matemática

e, nessa aula, vamos resolver um exemplo
sobre a série geométrica.

Esse exemplo diz o seguinte: “Sara realizou
uma caminhada de 4 dias.

A cada dia, ela caminhava 20% a mais do que a distância
que ela caminhou no dia anterior.

Ela caminhou 27 quilômetros (27 km) no total.

Qual é a distância que Sara andou no primeiro dia da viagem?

Arredonde a resposta final para o quilômetro mais próximo.

Como sempre, pause o vídeo e tente encontrar a resposta.

Okay. Tentou? Vamos fazer juntos agora?

Inicialmente, vamos chamar o valor
que ela caminhou no primeiro dia de a,

e, com isso, vamos montar uma expressão
para determinar o quanto ela caminhou no total.

Lembrando que, no total, ela caminhou 27 quilômetros (27 km).

Com essa expressão, vamos ver se conseguimos resolver.

Então, no primeiro dia “a” quilômetros.

E no segundo dia? Foi dito que, a cada dia,
ela caminhou 20% a mais do que ela caminhou no dia anterior,

então, no dia seguinte, ela vai andar 20% a mais
do que ela caminhou no dia anterior, que foi “a” quilômetros.

Então, teremos aqui 1,2 vezes a. E quanto ao dia depois disso?
Ou seja, no terceiro dia?

Isso vai ser 1,2 vezes o que foi caminhado no segundo dia.

Sendo assim, teremos aqui 1,2 vezes 1,2 ou,
de forma mais simples, podemos dizer 1,2 ao quadrado vezes a.

E quanto no quarto dia? Como vimos, ela realizou
uma caminhada de 4 dias, então esse é o último dia.

Isso vai ser 1,2 vezes o que foi caminhado no terceiro dia.

Então isso vai ser 1,2 elevado à terceira potência vezes a.

Ótimo. Essa é uma expressão para determinar
o quanto ela caminhou nos quatro dias,

e sabemos que ela caminhou um total de 27 quilômetros (27 km).

Então isso vai ser igual a 27 quilômetros (27 km).

Agora você pode resolver isso e encontrar o “a” aqui.

Para isso, você pode faturar o a, e, com isso,
ter a vezes 1, mais 1,2, mais 1,2 ao quadrado,

mais 1,2 à terceira potência, e tudo isso sendo igual a 27.

Dessa forma, teremos aqui que a é igual a 27 sobre 1,
mais 1,2, mais 1,2 ao quadrado, mais 1,2 à terceira potência.

Sem dúvida, precisaríamos de uma calculadora
para fazer o cálculo,

mas fazendo assim chegaríamos à resposta tranquilamente.

O caso é que eu vou usar aqui uma técnica diferente,
que vai funcionar mesmo quando tivermos 20 termos aqui.

Não seria muito difícil fazer o cálculo dessa forma
que fiz com 20 termos, mas imagine se tivéssemos aqui 200 termos.

Isso ficaria incrivelmente mais difícil, não é?

Com a outra forma, vai ficar bem mais simples.
Mas que maneira diferente é essa?

Podemos resolver esse problema através da fórmula
de uma série geométrica finita e o que isso faz?

Basicamente, isso realiza a soma dos primeiros n termos,
e, para fazer isso, teremos a seguinte expressão.

a, que vai ser o primeiro termo,
menos “a” vezes a nossa proporção comum, que chamamos de R,

mas aí nosso caso é 1,2, já que cada termo sucessivo
é igual a 1,2 vezes o termo anterior.

Sendo assim, podemos colocar aqui o R
elevado à enésima potência.

Tudo isso sobre 1 menos a proporção comum, R.

Em outros vídeos, explicamos de onde vem isso,

mas, aqui, estamos apenas utilizando isso aqui
para resolver um problema de aplicação.

Já sabemos o que é o nosso a, e usei isso aqui
como a nossa variável.

Nossa proporção comum nessa situação vai ser igual a 1,2
e o nosso n vai ser igual a 4.

Outra forma que eu gosto de pensar sobre isso
é que temos aqui o nosso primeiro termo,

que nós vemos aqui, e aí isso menos o último termo.

Se tivéssemos um quinto termo aqui, o utilizaríamos.
Tudo isso sobre 1, menos a proporção comum.

Com isso, esse lado esquerdo da nossa equação
pode ser reescrito da seguinte forma: a menos a vezes 1,2

elevado a quarta potência e tudo isso sobre um
menos a nossa proporção comum, que é 1,2. E isso é igual a 27.

Repare que podemos simplificar isso aqui um pouco.

Aqui no denominador, teremos -0,2 e, no numerador,
podemos faturar o a.

Isso vai ser igual à “a” vezes 1, menos 1,2
elevado a quarta potência.

Podemos multiplicar o numerador e o denominador por -1.

Eu vou colocar aqui o a fora da fração.
Temos aqui o a vezes...

Eu vou trocar as posições para nos livrarmos do negativo.

Então teremos aqui 1,2 elevado a quarta potência
menos 1 sobre 0,2. Tudo isso é igual a 27.

Novamente, tudo que eu fiz aqui foi colocar
o “a” multiplicando a fração.

Então eu multipliquei o numerador e o denominador por -1.

O numerador multiplicado por -1 faz com que os sinais
desses termos no numerador sejam trocados,

por isso troquei-os de posição, para ficar melhor.

E, claro, multiplicando o -0,2 por -1, obtemos 0,2 positivo.

Agora, eu posso simplesmente multiplicar
os dois lados da equação pelo inverso disso aqui.

Eu vou fazer aqui. Assim, teremos 0,2 sobre 1,2
elevado a quarta potência menos 1. E do outro lado, a mesma coisa.

Multiplicamos isso por 0,2 sobre 1,2 a quarta potência menos 1.

Isso aqui cancela com isso, e isso, cancela com isso.

Foi exatamente por isso que eu fiz isso aqui.

Ficamos com a sendo igual a 27 vezes 0,2
sobre 1,2 elevado a quarta potência menos 1.

Essa expressão vai nos fornecer exatamente o mesmo valor
que a expressão que acabamos de ver,

só que utilizando essa expressão, teremos maior facilidade,
pois poderemos fazer isso com muito mais termos.

Enfim, vou pegar a calculadora para resolver.

Vou calcular esse denominador primeiro.

Terei 1,2 elevado a quarta potência,
aí, esse resultado aqui menos 1.

É isso que temos no denominador.

Agora, podemos pegar o inverso disso aqui
e multiplicar por 27.

Ao encontrar esse resultado, multiplicamos por 0,2.

Pronto, chegamos a aproximadamente 5,0298.
5,0298 quilômetros (5,0298 km).

Porém, a questão está pedindo que a resposta seja arredondada
para quilômetro mais próximo.

Então isso vai ser aproximadamente igual a 5 quilômetros (5 km).

Essa foi a distância percorrida pela Sara
no primeiro dia de caminhada.

Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho
o que vimos aqui

e, mais uma vez, eu quero deixar para você
um grande abraço e até a próxima!