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[RKA22] Olá, tudo bem? Você vai assistir agora
à mais uma aula de matemática 

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e, nessa aula, vamos resolver um exemplo 
sobre a série geométrica. 

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Esse exemplo diz o seguinte: “Sara realizou 
uma caminhada de 4 dias. 

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A cada dia, ela caminhava 20% a mais do que a distância 
que ela caminhou no dia anterior. 

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Ela caminhou 27 quilômetros (27 km) no total. 

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Qual é a distância que Sara andou no primeiro dia da viagem?

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Arredonde a resposta final para o quilômetro mais próximo. 

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Como sempre, pause o vídeo e tente encontrar a resposta. 

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Okay. Tentou?  Vamos fazer juntos agora? 

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Inicialmente, vamos chamar o valor 
que ela caminhou no primeiro dia de a, 

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e, com isso, vamos montar uma expressão 
para determinar o quanto ela caminhou no total. 

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Lembrando que, no total, ela caminhou 27 quilômetros (27 km). 

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Com essa expressão, vamos ver se conseguimos resolver. 

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Então, no primeiro dia “a” quilômetros.

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E no segundo dia? Foi dito que, a cada dia, 
ela caminhou 20% a mais do que ela caminhou no dia anterior, 

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então, no dia seguinte, ela vai andar 20% a mais 
do que ela caminhou no dia anterior, que foi “a” quilômetros. 

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Então, teremos aqui 1,2 vezes a. E quanto ao dia depois disso? 
Ou seja, no terceiro dia?

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Isso vai ser 1,2 vezes o que foi caminhado no segundo dia. 

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Sendo assim, teremos aqui 1,2 vezes 1,2 ou, 
de forma mais simples, podemos dizer 1,2 ao quadrado vezes a. 

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E quanto no quarto dia? Como vimos, ela realizou 
uma caminhada de 4 dias, então esse é o último dia. 

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Isso vai ser 1,2 vezes o que foi caminhado no terceiro dia. 

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Então isso vai ser 1,2 elevado à terceira potência vezes a. 

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Ótimo. Essa é uma expressão para determinar 
o quanto ela caminhou nos quatro dias,

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e sabemos que ela caminhou um total de 27 quilômetros (27 km). 

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Então isso vai ser igual a 27 quilômetros (27 km). 

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Agora você pode resolver isso e encontrar o “a” aqui. 

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Para isso, você pode faturar o a, e, com isso, 
ter a vezes 1, mais 1,2, mais 1,2 ao quadrado,

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mais 1,2 à terceira potência, e tudo isso sendo igual a 27. 

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Dessa forma, teremos aqui que a é igual a 27 sobre 1, 
mais 1,2, mais 1,2 ao quadrado, mais 1,2 à terceira potência. 

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Sem dúvida, precisaríamos de uma calculadora
para fazer o cálculo, 

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mas fazendo assim chegaríamos à resposta tranquilamente. 

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O caso é que eu vou usar aqui uma técnica diferente, 
que vai funcionar mesmo quando tivermos 20 termos aqui. 

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Não seria muito difícil fazer o cálculo dessa forma 
que fiz com 20 termos, mas imagine se tivéssemos aqui 200 termos. 

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Isso ficaria incrivelmente mais difícil, não é? 

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Com a outra forma, vai ficar bem mais simples.
Mas que maneira diferente é essa? 

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Podemos resolver esse problema através da fórmula 
de uma série geométrica finita e o que isso faz? 

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Basicamente, isso realiza a soma dos primeiros n termos, 
e, para fazer isso, teremos a seguinte expressão.

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a, que vai ser o primeiro termo,
menos “a” vezes a nossa proporção comum, que chamamos de R, 

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mas aí nosso caso é 1,2, já que cada termo sucessivo 
é igual a 1,2 vezes o termo anterior. 

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Sendo assim, podemos colocar aqui o R 
elevado à enésima potência. 

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Tudo isso sobre 1 menos a proporção comum, R. 

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Em outros vídeos, explicamos de onde vem isso, 

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mas, aqui, estamos apenas utilizando isso aqui 
para resolver um problema de aplicação. 

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Já sabemos o que é o nosso a, e usei isso aqui 
como a nossa variável. 

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Nossa proporção comum nessa situação vai ser igual a 1,2 
e o nosso n vai ser igual a 4. 

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Outra forma que eu gosto de pensar sobre isso 
é que temos aqui o nosso primeiro termo, 

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que nós vemos aqui, e aí isso menos o último termo. 

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Se tivéssemos um quinto termo aqui, o utilizaríamos. 
Tudo isso sobre 1, menos a proporção comum. 

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Com isso, esse lado esquerdo da nossa equação
pode ser reescrito da seguinte forma: a menos a vezes 1,2 

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elevado a quarta potência e tudo isso sobre um 
menos a nossa proporção comum, que é 1,2. E isso é igual a 27. 

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Repare que podemos simplificar isso aqui um pouco. 

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Aqui no denominador, teremos -0,2 e, no numerador, 
podemos faturar o a. 

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Isso vai ser igual à “a” vezes 1, menos 1,2 
elevado a quarta potência. 

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Podemos multiplicar o numerador e o denominador por -1.

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Eu vou colocar aqui o a fora da fração. 
Temos aqui o a vezes...

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Eu vou trocar as posições para nos livrarmos do negativo. 

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Então teremos aqui 1,2 elevado a quarta potência 
menos 1 sobre 0,2. Tudo isso é igual a 27. 

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Novamente, tudo que eu fiz aqui foi colocar 
o “a” multiplicando a fração.

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Então eu multipliquei o numerador e o denominador por -1. 

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O numerador multiplicado por -1 faz com que os sinais
desses termos no numerador sejam trocados, 

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por isso troquei-os de posição, para ficar melhor. 

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E, claro, multiplicando o -0,2 por -1, obtemos 0,2 positivo. 

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Agora, eu posso simplesmente multiplicar 
os dois lados da equação pelo inverso disso aqui. 

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Eu vou fazer aqui. Assim, teremos 0,2 sobre 1,2 
elevado a quarta potência menos 1. E do outro lado, a mesma coisa.

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Multiplicamos isso por 0,2 sobre 1,2 a quarta potência menos 1.

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Isso aqui cancela com isso, e isso, cancela com isso. 

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Foi exatamente por isso que eu fiz isso aqui.

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Ficamos com a sendo igual a 27 vezes 0,2
sobre 1,2 elevado a quarta potência menos 1. 

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Essa expressão vai nos fornecer exatamente o mesmo valor 
que a expressão que acabamos de ver, 

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só que utilizando essa expressão, teremos maior facilidade,
pois poderemos fazer isso com muito mais termos. 

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Enfim, vou pegar a calculadora para resolver.
 
Vou calcular esse denominador primeiro. 

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Terei 1,2 elevado a quarta potência, 
aí, esse resultado aqui menos 1. 

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É isso que temos no denominador. 

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Agora, podemos pegar o inverso disso aqui 
e multiplicar por 27. 

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Ao encontrar esse resultado, multiplicamos por 0,2. 

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Pronto, chegamos a aproximadamente 5,0298. 
5,0298 quilômetros (5,0298 km).

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Porém, a questão está pedindo que a resposta seja arredondada 
para quilômetro mais próximo. 

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Então isso vai ser aproximadamente igual a 5 quilômetros (5 km). 

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Essa foi a distância percorrida pela Sara 
no primeiro dia de caminhada. 

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Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho 
o que vimos aqui 

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e, mais uma vez, eu quero deixar para você 
um grande abraço e até a próxima!