[RKA22] Olá, tudo bem? Você vai assistir agora à mais uma aula de matemática
e, nessa aula, vamos resolver um exemplo sobre a série geométrica.
Esse exemplo diz o seguinte: “Sara realizou uma caminhada de 4 dias.
A cada dia, ela caminhava 20% a mais do que a distância que ela caminhou no dia anterior.
Ela caminhou 27 quilômetros (27 km) no total.
Qual é a distância que Sara andou no primeiro dia da viagem?
Arredonde a resposta final para o quilômetro mais próximo.
Como sempre, pause o vídeo e tente encontrar a resposta.
Okay. Tentou? Vamos fazer juntos agora?
Inicialmente, vamos chamar o valor que ela caminhou no primeiro dia de a,
e, com isso, vamos montar uma expressão para determinar o quanto ela caminhou no total.
Lembrando que, no total, ela caminhou 27 quilômetros (27 km).
Com essa expressão, vamos ver se conseguimos resolver.
Então, no primeiro dia “a” quilômetros.
E no segundo dia? Foi dito que, a cada dia, ela caminhou 20% a mais do que ela caminhou no dia anterior,
então, no dia seguinte, ela vai andar 20% a mais do que ela caminhou no dia anterior, que foi “a” quilômetros.
Então, teremos aqui 1,2 vezes a. E quanto ao dia depois disso? Ou seja, no terceiro dia?
Isso vai ser 1,2 vezes o que foi caminhado no segundo dia.
Sendo assim, teremos aqui 1,2 vezes 1,2 ou, de forma mais simples, podemos dizer 1,2 ao quadrado vezes a.
E quanto no quarto dia? Como vimos, ela realizou uma caminhada de 4 dias, então esse é o último dia.
Isso vai ser 1,2 vezes o que foi caminhado no terceiro dia.
Então isso vai ser 1,2 elevado à terceira potência vezes a.
Ótimo. Essa é uma expressão para determinar o quanto ela caminhou nos quatro dias,
e sabemos que ela caminhou um total de 27 quilômetros (27 km).
Então isso vai ser igual a 27 quilômetros (27 km).
Agora você pode resolver isso e encontrar o “a” aqui.
Para isso, você pode faturar o a, e, com isso, ter a vezes 1, mais 1,2, mais 1,2 ao quadrado,
mais 1,2 à terceira potência, e tudo isso sendo igual a 27.
Dessa forma, teremos aqui que a é igual a 27 sobre 1, mais 1,2, mais 1,2 ao quadrado, mais 1,2 à terceira potência.
Sem dúvida, precisaríamos de uma calculadora para fazer o cálculo,
mas fazendo assim chegaríamos à resposta tranquilamente.
O caso é que eu vou usar aqui uma técnica diferente, que vai funcionar mesmo quando tivermos 20 termos aqui.
Não seria muito difícil fazer o cálculo dessa forma que fiz com 20 termos, mas imagine se tivéssemos aqui 200 termos.
Isso ficaria incrivelmente mais difícil, não é?
Com a outra forma, vai ficar bem mais simples. Mas que maneira diferente é essa?
Podemos resolver esse problema através da fórmula de uma série geométrica finita e o que isso faz?
Basicamente, isso realiza a soma dos primeiros n termos, e, para fazer isso, teremos a seguinte expressão.
a, que vai ser o primeiro termo, menos “a” vezes a nossa proporção comum, que chamamos de R,
mas aí nosso caso é 1,2, já que cada termo sucessivo é igual a 1,2 vezes o termo anterior.
Sendo assim, podemos colocar aqui o R elevado à enésima potência.
Tudo isso sobre 1 menos a proporção comum, R.
Em outros vídeos, explicamos de onde vem isso,
mas, aqui, estamos apenas utilizando isso aqui para resolver um problema de aplicação.
Já sabemos o que é o nosso a, e usei isso aqui como a nossa variável.
Nossa proporção comum nessa situação vai ser igual a 1,2 e o nosso n vai ser igual a 4.
Outra forma que eu gosto de pensar sobre isso é que temos aqui o nosso primeiro termo,
que nós vemos aqui, e aí isso menos o último termo.
Se tivéssemos um quinto termo aqui, o utilizaríamos. Tudo isso sobre 1, menos a proporção comum.
Com isso, esse lado esquerdo da nossa equação pode ser reescrito da seguinte forma: a menos a vezes 1,2
elevado a quarta potência e tudo isso sobre um menos a nossa proporção comum, que é 1,2. E isso é igual a 27.
Repare que podemos simplificar isso aqui um pouco.
Aqui no denominador, teremos -0,2 e, no numerador, podemos faturar o a.
Isso vai ser igual à “a” vezes 1, menos 1,2 elevado a quarta potência.
Podemos multiplicar o numerador e o denominador por -1.
Eu vou colocar aqui o a fora da fração. Temos aqui o a vezes...
Eu vou trocar as posições para nos livrarmos do negativo.
Então teremos aqui 1,2 elevado a quarta potência menos 1 sobre 0,2. Tudo isso é igual a 27.
Novamente, tudo que eu fiz aqui foi colocar o “a” multiplicando a fração.
Então eu multipliquei o numerador e o denominador por -1.
O numerador multiplicado por -1 faz com que os sinais desses termos no numerador sejam trocados,
por isso troquei-os de posição, para ficar melhor.
E, claro, multiplicando o -0,2 por -1, obtemos 0,2 positivo.
Agora, eu posso simplesmente multiplicar os dois lados da equação pelo inverso disso aqui.
Eu vou fazer aqui. Assim, teremos 0,2 sobre 1,2 elevado a quarta potência menos 1. E do outro lado, a mesma coisa.
Multiplicamos isso por 0,2 sobre 1,2 a quarta potência menos 1.
Isso aqui cancela com isso, e isso, cancela com isso.
Foi exatamente por isso que eu fiz isso aqui.
Ficamos com a sendo igual a 27 vezes 0,2 sobre 1,2 elevado a quarta potência menos 1.
Essa expressão vai nos fornecer exatamente o mesmo valor que a expressão que acabamos de ver,
só que utilizando essa expressão, teremos maior facilidade, pois poderemos fazer isso com muito mais termos.
Enfim, vou pegar a calculadora para resolver. Vou calcular esse denominador primeiro.
Terei 1,2 elevado a quarta potência, aí, esse resultado aqui menos 1.
É isso que temos no denominador.
Agora, podemos pegar o inverso disso aqui e multiplicar por 27.
Ao encontrar esse resultado, multiplicamos por 0,2.
Pronto, chegamos a aproximadamente 5,0298. 5,0298 quilômetros (5,0298 km).
Porém, a questão está pedindo que a resposta seja arredondada para quilômetro mais próximo.
Então isso vai ser aproximadamente igual a 5 quilômetros (5 km).
Essa foi a distância percorrida pela Sara no primeiro dia de caminhada.
Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que vimos aqui
e, mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!