Triangle inqequality theorem

Нека построим един триъгълник.

Да кажем, че тази страна, синята,
е с дължина 6,

розовата да бъде с дължина 10,

а зелената да бъде с дължина х.

Това, за което искам да помисля, е

колко голямо или колко малко
може да е х.

Колко голяма или колко малка
може да е тази зелена страна.

Първият въпрос е:
"Колко малка може да е тя?"

Ако искаме да я направим малка, ще трябва
да погледнем този ъгъл тук, зеления,

и да го направим по-малък.

Така че нека направим този ъгъл
колкото е възможно по-малък.

Имаме дължината – 10,
и ще направя този ъгъл

наистина много, много малък,
близо до 0.

Ако този ъгъл стане 0, вече няма да имаме
нормален триъгълник.

Той става едномерен,
изгубваме двуимерността.

Като достигаме 0, тази страна започва да съвпада

или да се приближава все повече и повече
до страната с дължина 10.

И човек може да си представи случая,
при който има съвпадение между двете,

и вече нямаме нормален триъгълник.

Ако искаме точката откъм
страната с дължина 10

да се доближи максимално до точката
откъм страната дълга 6,

като определено намаляваме
дължината на х...

най-добрият начин е като направим ъгъла
навсякъде да е равен на 0.

Нека го покажа чрез прогресия.
Ъгълът става все по-малък,

тази страна, синята, е с дължина 6,

х става все по-малко,

и затова продължаваме да смаляваме и
смаляваме все повече този ъгъл,

докато накрая вече нямаме
нормален триъгълник.

Така че имаме (розовата) страна
с дължина 10.

Сега ъгълът, който ни интересува,
е всъщност 0.

Тази (синята) страна
е с дължина 6.

Така че каква е разликата между
тази точка и тази точка?

Това разстояние е с дължина х.

И в случая на ъгъл 0
тази (зелена) дължина тук е х,

и знаем, че 6 + х ще е равно на 10.

Когато ъгълът е нула,
х ще е равно на 4.

И ако искаме това да е един
нормален триъгълник...

при х = 4 тези точки са
възможно най-близки

и триъгълникът се превръща в отсечка.

Ако искаме това да е триъгълник,
х трябва да е по-голямо от 4.

Нека сега помислим за това
по другия начин.

Колко голямо може да е х?

За да имаме по-големи и и по-големи стойности на х,
трябва да увеличим този ъгъл, зеления.

Нека се опитаме да го направим.

Отново чертаем страната с дължина 10.
Ето я тази страна,

и увеличаваме този ъгъл
все повече и повече.

Нека сега взема страната с дължина 6
и я поставя така.

Ъгълът става есе по-голям и по-голям.
Приближава 180 градуса.

При 180 градуса нашият триъгълник
пак ще се превърне в отсечка,

престава да бъде триъгълник.

Нека начертая страната с дължина х.

Увеличаваме разстоянието между тази точка
(откъм страната, дълга 10)

и тази точка (откъм страната, дълга 6).

Това е страната с дължина х.

Нека изминем пътя до превръщането
на триъгълника в отсечка.

А този случай, при ъгъл 180 градуса,

страната с дължина 6 оформя
една права със страната, дълга 10.

Това е начинът, по който можем
да раздалечим тези точки

колкото се може повече една от друга.

В тази ситуация какво е разстоянието между
тази точка (откъм страната дълга 6)

и тази точка (откъм страната, дълга 10)?

Кое е разстоянието,
което ще е нашето х?

В тази ситуация
х ще е 6 + 10 = 16.

Ако х е 16, то нямаме нормален
триъгълник.

Ако искаме нормален триъгълник, тогава
х ще трябва да е по-малко от 16.

А целият принцип, върху който работим тук,
се нарича теорема за неравенства в триъгълника.

Представлява една основна идея.

Дължината на всяка страна в триъгълника
е по-малка

от сбора на дължините
на другите две страни.

Така че дължината на една страна
трябва да е

по-малка от сбора от
дължините на другите две страни.

Ако искаме да си имаме работа с триъгълници,

които по същество са отсечки, представляват
фигури с едно измерение,

тогава можем да използваме
израза "по-малко или равно",

но ще се придържаме към
нормални триъгълници.

Така че дължината на една страна трябва да е по-малка от сумата на дължините на другите две страни.

И като използваме този принцип, можем
да направим същото заключение.

Можеше да кажем: "Виж, х е една от страните,

и тя трябва да е по-малка от 6 + 10, или
х трябва да е по-малка от 16".

Същия резултат получихме като представихме
това нагледно по този начин.

Ако попитаме "Колко голямо може да е х?",
можем да отговорим:

"10 трябва да е по-малко от 6 + х,
сумата от дължините на другите две страни."

Ако извадим 6 от двете страни тук,
получаваме, че 4 < х, или х > 4.

Така че това е един вид основна идея.

Но е нещо, което определено
ще видим в геометрията,

след което ще отидем в други клонове на математиката
и ще видим други версии

на т.нар. "Теорема за неравенство в триъгълника".