Trasformata di Laplace 1

Introduction to the Laplace Transform

Ora vi introdurrò il concetto

della trasformata di Laplace

E questo è certamente uno dei più utili concetti che

imparerete, non soltanto nelle equazioni differenziali, ma

veramente nella matematica in generale

Sopratutto se siete intenzionati ad andare in una università di ingegneria

scoprirete che la Trasformata di Laplace, a prescindere dall'aiutarvi

a risolvere equazioni differenziali, vi aiuterà inoltre a trasformare

funzioni o forme d'onda dal dominio del tempo

al dominio della frequenza, e studierete e capirete

un intero gruppo di fenomeni

Ma non entrerò dentro a tutto questo ancora

Ora vi insegnerò solo cos'è

la Trasformata di Laplace

Vi insegnerò cos'è, a rendervi più confortevoli con la

sua matematica e successivamente, in un paio di video a partire da ora,

vi farò effettivamente vedere quanto è utile per risolvere

equazioni differenziali.

Risolveremo alcune delle equazioni differenziali

che abbiamo fatto prima, utilizzando i metodi precedenti.

Ma continueremo nel farlo, e risolveremo problemi

sempre più difficili.

Quindi, cos'è la Trasformata di Laplace?

Beh, la trasformata di Laplace, la notazione è la L come

Laverne da "Laverne e Shirley" [sit-com americana n.d.t.]

Questo potrebbe essere antecedente ai vostri tempi, ma

io sono cresciuto con quello.

In realtà, penso che ci siano state anche delle repliche quando ero un ragazzino.

Quindi, la Trasformata di Laplace di alcune funzioni

Ed ora, la convenzione, invece di dire "f di x"

le persone dicono "f di t" [ f(t) ]

E il motivo è perchè in molte

equazioni differenziali o molto nell'ingegneria voi effettivamente

state convertendo da una funzione del tempo

ad una funzione delle frequenze

E non dovete preoccuparvene ora

Se vi confonde

Ma la Trasformata di Laplace di una funzione di t

Trasforma la funzione in una qualche altra funzione di s

E lo riesce a fare?

Beh in realtà, permettetemi di usare alcune notazioni matematiche

che probabilmente non significheranno molto per voi.

Quindi, cos'è che trasforma?

Beh, il modo di pensare di questo è che una sorta di

funzione di funzioni.

Una funzione che vi porterà da un insieme di -- Beh, in quello che

noi abbiamo avuto a che fare con-- un insieme di numeri per un altro set

di numeri.

Una trasformazione che vi porterà da un set di funzioni ad

un altro set di funzioni.

Quindi permettetemi di definire solo questo.

La Trasformata di Laplace per i nostri scopi è definita come

l'integrale improprio.

So che in realtà non ho ancora fatto integrali impropri,

ma li spiegherò in pochi secondi.

L'integrale improprio da 0 all'infinito di e elevato a

meno st per f (t) - così qualunque sia tra le parentesi graffe

della Trasformata di Laplace - per dt.

Ora so che potrebbe sembrare molto scoraggiante per voi e molto

confusionario, ma ora farò un paio di esempi.

Quindi cos'è la Trasformata di Laplace?

Beh diciamo che f (t) è uguale a 1.

Quindi qual è la Trasformata di Laplace di 1?

Quindi se f (t) è uguale a 1 - è solo una funzione costante

nel tempo-- Beh, in realtà, permettetemi semplicemente di sostituire

nella maniera che ho scritto qui.

Quindi, questo è l'integrale improprio da 0 all'infinito di

e elevato a -st per 1, qui.

Non devo riscriverlo qui, ma c'è un per 1 dt.

E io so che l'infinito probabilmente vi sta facendo impazzire proprio

adesso, ma ce ne occuperemo a breve.

In realtà, occupiamocene proprio ora.

Questa è la stessa cosa come il limite.

E diciamo che è limite per A che tende all'infinito dell'integrale

da 0 ad A moltiplicato - st per dt.

Così potete sentirvi leggermente più a vostro agio con questo,

potete aver immaginato che è la stessa cosa.

Perché ovviamente non potete valutare l'infinito, ma potete

potrebbe prendere il limite come qualcosa che tende all' infinito.

Quindi, comunque, prendiamo la primitiva e valutiamo

questo integrale definito improprio, o

questo integrale improprio.

Quindi, che cosa è la primitiva di e elevato a -st

rispetto a dt?

Beh è uguale a meno di 1/s per e elevato a -st , giusto?

Se non mi credete, prendere la derivata di questo.

Dovete prendere -s moltiplicato questo

Che si annullerebbe, e voi rimarreste soltanto con

e elevato a -st. Abbastanza corretto.

Permettetemi di eliminare questo qui, questo segno "meno"

Perchè io posso effettivamente usare questa espressione

Noi andremo a prendere il limite per A che tende all'infinito

Voi non dovrete farlo sempre, ma questa è la prima volta

che affrontiamo gli integrali impropri.

Così ho pensato che così potrei ricordarvi che

stiamo prendendo un limite.

Ora abbiamo preso la primitiva

Ora dobbiamo valutarlo da A meno la primitiva

valutata su 0

e poi prendere il limite di qualunque cosa che esce da qui per

A che tende all'infinito.

Quindi questo è uguale al limite per A che tende all' infinito.

Ok.

Se sostituiamo A nella prima, otteniamo - 1/s.

Ricordate che ci stiamo occupando di t.

Abbiamo preso l'integrale rispetto a t

e elevato a - sA, giusto?

Questo è quello che succede quando metto A qui.

Meno -

Ora che cosa accade quando metto t uguale a 0, qui?

Così quando t è uguale a 0, diventa e elevato a meno s per 0.

E tutto questo diventa 1

E io sono rimasto solo con - - 1/s.

Abbastanza giusto.

E adesso fatemi scorrere la finestra un po' in basso

Ho scritto un po ' più grande di quanto volessi

ma va bene così.

Così questo diventerà il limite per A che tende all'infinito

di meno 1/s per e elevato ad sA meno meno 1/s.

Quindi + 1/s.

Quindi qual è il limite di A che tende all'infinito?

Bene, che cosa farà questo termine?

All'avvicinarsi di A all'infinito, se noi assumiamo che s è maggiore

di zero - e noi faremo questa ipotesi, per ora.

In realtà, permettetemi di scriverlo in modo esplicito.

Supponiamo che s è maggiore di 0.

Quindi, se assumiamo che s è maggiore di 0, poi all'avvicinarsi di

A all' infinito, che cosa succede?

Bene questo termine sta per andare a 0, giusto? e elevato a meno

un googol è un numero molto, molto piccolo.

Ed un E elevato a meno googolplex meno è un numero ancora più piccolo.

Così allora questo e elevato a meno infinito si avvicina a 0, quindi questa

termine tende a 0.

Questo termine non ne risente perché non ha nessun A dentro di sè

così noi rimaniamo con 1/s

Così ecco a voi.

Questo è un momento significativo della vostra vita.

Siete stati appena esposti alla vostra prima Trasformata di Laplace.

Vi mostrerò in alcuni video, che ci sono intere tabelle

di trasformate di Laplace ed eventualmente

le dimostreremo tutte.

Ma per ora, lavoreremo solo attraverso quelli

più semplici.

Ma questo può essere la nostra prima riga della nostra

tabella delle Trasformate di Laplace

La trasformata di f (t) che è uguale ad 1

è uguale a 1/s.

Notate che siamo partiti da una funzione di t - sebbene ovviamente

questo 1 non dipendeva veramente da t-ad una funzione di s.

Ho ancora 3 minuti, ma non penso che

c'è abbastanza tempo per un'altra Trasformata di Laplace.

Quindi me la riserverò per il prossimo video.

A presto.