WEBVTT

00:00:00.960 --> 00:00:02.980
Ora vi introdurrò il concetto

00:00:02.980 --> 00:00:05.460
della trasformata di Laplace

00:00:05.460 --> 00:00:09.930
E questo è certamente uno dei più utili concetti che

00:00:09.930 --> 00:00:13.840
imparerete, non soltanto nelle equazioni differenziali, ma

00:00:13.840 --> 00:00:15.100
veramente nella matematica in generale

00:00:15.100 --> 00:00:18.050
Sopratutto se siete intenzionati ad andare in una università di ingegneria

00:00:18.050 --> 00:00:20.610
scoprirete che la Trasformata di Laplace, a prescindere dall'aiutarvi

00:00:20.610 --> 00:00:25.480
a risolvere equazioni differenziali, vi aiuterà inoltre a trasformare

00:00:25.480 --> 00:00:30.210
funzioni o forme d'onda dal dominio del tempo

00:00:30.210 --> 00:00:33.170
al dominio della frequenza, e studierete e capirete

00:00:33.170 --> 00:00:34.740
un intero gruppo di fenomeni

00:00:34.740 --> 00:00:36.480
Ma non entrerò dentro a tutto questo ancora

00:00:36.480 --> 00:00:38.920
Ora vi insegnerò solo cos'è

00:00:38.920 --> 00:00:40.170
la Trasformata di Laplace

00:00:42.960 --> 00:00:45.100
Vi insegnerò cos'è, a rendervi più confortevoli con la

00:00:45.100 --> 00:00:48.330
sua matematica e successivamente, in un paio di video a partire da ora,

00:00:48.330 --> 00:00:52.220
vi farò effettivamente vedere quanto è utile per risolvere

00:00:52.220 --> 00:00:53.180
equazioni differenziali.

00:00:53.180 --> 00:00:55.200
Risolveremo alcune delle equazioni differenziali

00:00:55.200 --> 00:00:56.800
che abbiamo fatto prima, utilizzando i metodi precedenti.

00:00:56.800 --> 00:00:59.470
Ma continueremo nel farlo, e risolveremo problemi

00:00:59.470 --> 00:01:01.000
sempre più difficili.

00:01:01.000 --> 00:01:02.890
Quindi, cos'è la Trasformata di Laplace?

00:01:02.890 --> 00:01:08.575
Beh, la trasformata di Laplace, la notazione è la L come

00:01:08.575 --> 00:01:12.056
Laverne da "Laverne e Shirley" [sit-com americana n.d.t.]

00:01:12.056 --> 00:01:15.040
Questo potrebbe essere antecedente ai vostri tempi, ma

00:01:15.040 --> 00:01:16.860
io sono cresciuto con quello.

00:01:16.860 --> 00:01:20.690
In realtà, penso che ci siano state anche delle repliche quando ero un ragazzino.

00:01:20.690 --> 00:01:22.770
Quindi, la Trasformata di Laplace di alcune funzioni

00:01:22.770 --> 00:01:25.170
Ed ora, la convenzione, invece di dire "f di x"

00:01:25.170 --> 00:01:26.590
le persone dicono "f di t" [ f(t) ]

00:01:26.590 --> 00:01:30.120
E il motivo è perchè in molte

00:01:30.120 --> 00:01:32.190
equazioni differenziali o molto nell'ingegneria voi effettivamente

00:01:32.190 --> 00:01:34.360
state convertendo da una funzione del tempo

00:01:34.360 --> 00:01:35.630
ad una funzione delle frequenze

00:01:35.630 --> 00:01:37.300
E non dovete preoccuparvene ora

00:01:37.300 --> 00:01:40.180
Se vi confonde

00:01:40.180 --> 00:01:43.020
Ma la Trasformata di Laplace di una funzione di t

00:01:43.020 --> 00:01:47.820
Trasforma la funzione in una qualche altra funzione di s

00:01:47.820 --> 00:01:49.410
E lo riesce a fare?

00:01:49.410 --> 00:01:53.150
Beh in realtà, permettetemi di usare alcune notazioni matematiche

00:01:53.150 --> 00:01:56.460
che probabilmente non significheranno molto per voi.

00:01:56.460 --> 00:01:57.800
Quindi, cos'è che trasforma?

00:01:57.800 --> 00:01:59.630
Beh, il modo di pensare di questo è che una sorta di

00:01:59.630 --> 00:02:00.870
funzione di funzioni.

00:02:00.870 --> 00:02:05.220
Una funzione che vi porterà da un insieme di -- Beh, in quello che

00:02:05.220 --> 00:02:08.009
noi abbiamo avuto a che fare con-- un insieme di numeri per un altro set

00:02:08.009 --> 00:02:09.060
di numeri.

00:02:09.060 --> 00:02:11.990
Una trasformazione che vi porterà da un set di funzioni ad

00:02:11.990 --> 00:02:13.100
un altro set di funzioni.

00:02:13.100 --> 00:02:14.140
Quindi permettetemi di definire solo questo.

00:02:14.140 --> 00:02:23.310
La Trasformata di Laplace per i nostri scopi è definita come

00:02:23.310 --> 00:02:24.510
l'integrale improprio.

00:02:24.510 --> 00:02:27.790
So che in realtà non ho ancora fatto integrali impropri,

00:02:27.790 --> 00:02:29.890
ma li spiegherò in pochi secondi.

00:02:29.890 --> 00:02:36.430
L'integrale improprio da 0 all'infinito di e elevato a

00:02:36.430 --> 00:02:43.605
meno st per f (t) - così qualunque sia tra le parentesi graffe

00:02:43.605 --> 00:02:49.170
della Trasformata di Laplace - per dt.

00:02:49.170 --> 00:02:51.190
Ora so che potrebbe sembrare molto scoraggiante per voi e molto

00:02:51.190 --> 00:02:54.120
confusionario, ma ora farò un paio di esempi.

00:02:54.120 --> 00:02:55.660
Quindi cos'è la Trasformata di Laplace?

00:02:55.660 --> 00:02:57.950
Beh diciamo che f (t) è uguale a 1.

00:02:57.950 --> 00:03:00.300
Quindi qual è la Trasformata di Laplace di 1?

00:03:04.180 --> 00:03:07.660
Quindi se f (t) è uguale a 1 - è solo una funzione costante

00:03:07.660 --> 00:03:14.280
nel tempo-- Beh, in realtà, permettetemi semplicemente di sostituire

00:03:14.280 --> 00:03:15.130
nella maniera che ho scritto qui.

00:03:15.130 --> 00:03:18.910
Quindi, questo è l'integrale improprio da 0 all'infinito di

00:03:18.910 --> 00:03:24.640
e elevato a -st per 1, qui.

00:03:24.640 --> 00:03:29.000
Non devo riscriverlo qui, ma c'è un per 1 dt.

00:03:29.000 --> 00:03:32.270
E io so che l'infinito probabilmente vi sta facendo impazzire proprio

00:03:32.270 --> 00:03:34.480
adesso, ma ce ne occuperemo a breve.

00:03:34.480 --> 00:03:35.620
In realtà, occupiamocene proprio ora.

00:03:35.620 --> 00:03:40.660
Questa è la stessa cosa come il limite.

00:03:40.660 --> 00:03:48.870
E diciamo che è limite per A che tende all'infinito dell'integrale

00:03:48.870 --> 00:03:57.400
da 0 ad A moltiplicato - st per dt.

00:03:57.400 --> 00:03:59.410
Così potete sentirvi leggermente più a vostro agio con questo,

00:03:59.410 --> 00:04:01.640
potete aver immaginato che è la stessa cosa.

00:04:01.640 --> 00:04:04.560
Perché ovviamente non potete valutare l'infinito, ma potete

00:04:04.560 --> 00:04:07.410
potrebbe prendere il limite come qualcosa che tende all' infinito.

00:04:07.410 --> 00:04:09.880
Quindi, comunque, prendiamo la primitiva e valutiamo

00:04:09.880 --> 00:04:12.730
questo integrale definito improprio, o

00:04:12.730 --> 00:04:13.810
questo integrale improprio.

00:04:13.810 --> 00:04:17.300
Quindi, che cosa è la primitiva di e elevato a -st

00:04:17.300 --> 00:04:19.339
rispetto a dt?

00:04:19.339 --> 00:04:28.625
Beh è uguale a meno di 1/s per e elevato a -st , giusto?

00:04:28.625 --> 00:04:30.640
Se non mi credete, prendere la derivata di questo.

00:04:30.640 --> 00:04:32.070
Dovete prendere -s moltiplicato questo

00:04:32.070 --> 00:04:34.500
Che si annullerebbe, e voi rimarreste soltanto con

00:04:34.500 --> 00:04:36.455
e elevato a -st. Abbastanza corretto.

00:04:39.720 --> 00:04:42.410
Permettetemi di eliminare questo qui, questo segno "meno"

00:04:42.410 --> 00:04:45.890
Perchè io posso effettivamente usare questa espressione

00:04:45.890 --> 00:04:51.430
Noi andremo a prendere il limite per A che tende all'infinito

00:04:51.430 --> 00:04:53.330
Voi non dovrete farlo sempre, ma questa è la prima volta

00:04:53.330 --> 00:04:54.650
che affrontiamo gli integrali impropri.

00:04:54.650 --> 00:04:57.270
Così ho pensato che così potrei ricordarvi che

00:04:57.270 --> 00:04:59.340
stiamo prendendo un limite.

00:04:59.340 --> 00:05:01.030
Ora abbiamo preso la primitiva

00:05:01.030 --> 00:05:04.960
Ora dobbiamo valutarlo da A meno la primitiva

00:05:04.960 --> 00:05:06.050
valutata su 0

00:05:06.050 --> 00:05:08.740
e poi prendere il limite di qualunque cosa che esce da qui per

00:05:08.740 --> 00:05:09.710
A che tende all'infinito.

00:05:09.710 --> 00:05:17.490
Quindi questo è uguale al limite per A che tende all' infinito.

00:05:17.490 --> 00:05:17.750
Ok.

00:05:17.750 --> 00:05:24.550
Se sostituiamo A nella prima, otteniamo - 1/s.

00:05:24.550 --> 00:05:26.960
Ricordate che ci stiamo occupando di t.

00:05:26.960 --> 00:05:30.220
Abbiamo preso l'integrale rispetto a t

00:05:30.220 --> 00:05:36.630
e elevato a - sA, giusto?

00:05:36.630 --> 00:05:38.650
Questo è quello che succede quando metto A qui.

00:05:38.650 --> 00:05:41.350
Meno -

00:05:41.350 --> 00:05:44.970
Ora che cosa accade quando metto t uguale a 0, qui?

00:05:44.970 --> 00:05:47.830
Così quando t è uguale a 0, diventa e elevato a meno s per 0.

00:05:47.830 --> 00:05:49.320
E tutto questo diventa 1

00:05:49.320 --> 00:05:51.190
E io sono rimasto solo con - - 1/s.

00:05:57.800 --> 00:05:58.450
Abbastanza giusto.

00:05:58.450 --> 00:06:01.000
E adesso fatemi scorrere la finestra un po' in basso

00:06:01.000 --> 00:06:02.490
Ho scritto un po ' più grande di quanto volessi

00:06:02.490 --> 00:06:03.770
ma va bene così.

00:06:03.770 --> 00:06:10.160
Così questo diventerà il limite per A che tende all'infinito

00:06:10.160 --> 00:06:20.640
di meno 1/s per e elevato ad sA meno meno 1/s.

00:06:20.640 --> 00:06:24.780
Quindi + 1/s.

00:06:24.780 --> 00:06:26.170
Quindi qual è il limite di A che tende all'infinito?

00:06:26.170 --> 00:06:28.150
Bene, che cosa farà questo termine?

00:06:28.150 --> 00:06:34.350
All'avvicinarsi di A all'infinito, se noi assumiamo che s è maggiore

00:06:34.350 --> 00:06:37.810
di zero - e noi faremo questa ipotesi, per ora.

00:06:37.810 --> 00:06:39.000
In realtà, permettetemi di scriverlo in modo esplicito.

00:06:39.000 --> 00:06:41.950
Supponiamo che s è maggiore di 0.

00:06:41.950 --> 00:06:45.320
Quindi, se assumiamo che s è maggiore di 0, poi all'avvicinarsi di

00:06:45.320 --> 00:06:47.870
A all' infinito, che cosa succede?

00:06:47.870 --> 00:06:53.210
Bene questo termine sta per andare a 0, giusto? e elevato a meno

00:06:53.210 --> 00:06:55.640
un googol è un numero molto, molto piccolo.

00:06:55.640 --> 00:07:00.520
Ed un E elevato a meno googolplex meno è un numero ancora più piccolo.

00:07:00.520 --> 00:07:04.530
Così allora questo e elevato a meno infinito si avvicina a 0, quindi questa

00:07:04.530 --> 00:07:05.920
termine tende a 0.

00:07:05.920 --> 00:07:08.850
Questo termine non ne risente perché non ha nessun A dentro di sè

00:07:08.850 --> 00:07:12.420
così noi rimaniamo con 1/s

00:07:12.420 --> 00:07:13.400
Così ecco a voi.

00:07:13.400 --> 00:07:16.120
Questo è un momento significativo della vostra vita.

00:07:16.120 --> 00:07:21.190
Siete stati appena esposti alla vostra prima Trasformata di Laplace.

00:07:21.190 --> 00:07:23.350
Vi mostrerò in alcuni video, che ci sono intere tabelle

00:07:23.350 --> 00:07:25.300
di trasformate di Laplace ed eventualmente

00:07:25.300 --> 00:07:27.570
le dimostreremo tutte.

00:07:27.570 --> 00:07:29.440
Ma per ora, lavoreremo solo attraverso quelli

00:07:29.440 --> 00:07:30.230
più semplici.

00:07:30.230 --> 00:07:32.180
Ma questo può essere la nostra prima riga della nostra

00:07:32.180 --> 00:07:34.680
tabella delle Trasformate di Laplace

00:07:34.680 --> 00:07:39.870
La trasformata di f (t) che è uguale ad 1

00:07:39.870 --> 00:07:44.030
è uguale a 1/s.

00:07:44.030 --> 00:07:46.430
Notate che siamo partiti da una funzione di t - sebbene ovviamente

00:07:46.430 --> 00:07:50.460
questo 1 non dipendeva veramente da t-ad una funzione di s.

00:07:50.460 --> 00:07:53.520
Ho ancora 3 minuti, ma non penso che

00:07:53.520 --> 00:07:56.010
c'è abbastanza tempo per un'altra Trasformata di Laplace.

00:07:56.010 --> 00:07:59.040
Quindi me la riserverò per il prossimo video.

00:07:59.040 --> 00:08:00.660
A presto.