1
00:00:00,960 --> 00:00:02,980
Ora vi introdurrò il concetto

2
00:00:02,980 --> 00:00:05,460
della trasformata di Laplace

3
00:00:05,460 --> 00:00:09,930
E questo è certamente uno dei più utili concetti che

4
00:00:09,930 --> 00:00:13,840
imparerete, non soltanto nelle equazioni differenziali, ma

5
00:00:13,840 --> 00:00:15,100
veramente nella matematica in generale

6
00:00:15,100 --> 00:00:18,050
Sopratutto se siete intenzionati ad andare in una università di ingegneria

7
00:00:18,050 --> 00:00:20,610
scoprirete che la Trasformata di Laplace, a prescindere dall'aiutarvi

8
00:00:20,610 --> 00:00:25,480
a risolvere equazioni differenziali, vi aiuterà inoltre a trasformare

9
00:00:25,480 --> 00:00:30,210
funzioni o forme d'onda dal dominio del tempo

10
00:00:30,210 --> 00:00:33,170
al dominio della frequenza, e studierete e capirete

11
00:00:33,170 --> 00:00:34,740
un intero gruppo di fenomeni

12
00:00:34,740 --> 00:00:36,480
Ma non entrerò dentro a tutto questo ancora

13
00:00:36,480 --> 00:00:38,920
Ora vi insegnerò solo cos'è

14
00:00:38,920 --> 00:00:40,170
la Trasformata di Laplace

15
00:00:42,960 --> 00:00:45,100
Vi insegnerò cos'è, a rendervi più confortevoli con la

16
00:00:45,100 --> 00:00:48,330
sua matematica e successivamente, in un paio di video a partire da ora,

17
00:00:48,330 --> 00:00:52,220
vi farò effettivamente vedere quanto è utile per risolvere

18
00:00:52,220 --> 00:00:53,180
equazioni differenziali.

19
00:00:53,180 --> 00:00:55,200
Risolveremo alcune delle equazioni differenziali

20
00:00:55,200 --> 00:00:56,800
che abbiamo fatto prima, utilizzando i metodi precedenti.

21
00:00:56,800 --> 00:00:59,470
Ma continueremo nel farlo, e risolveremo problemi

22
00:00:59,470 --> 00:01:01,000
sempre più difficili.

23
00:01:01,000 --> 00:01:02,890
Quindi, cos'è la Trasformata di Laplace?

24
00:01:02,890 --> 00:01:08,575
Beh, la trasformata di Laplace, la notazione è la L come

25
00:01:08,575 --> 00:01:12,056
Laverne da "Laverne e Shirley" [sit-com americana n.d.t.]

26
00:01:12,056 --> 00:01:15,040
Questo potrebbe essere antecedente ai vostri tempi, ma

27
00:01:15,040 --> 00:01:16,860
io sono cresciuto con quello.

28
00:01:16,860 --> 00:01:20,690
In realtà, penso che ci siano state anche delle repliche quando ero un ragazzino.

29
00:01:20,690 --> 00:01:22,770
Quindi, la Trasformata di Laplace di alcune funzioni

30
00:01:22,770 --> 00:01:25,170
Ed ora, la convenzione, invece di dire "f di x"

31
00:01:25,170 --> 00:01:26,590
le persone dicono "f di t" [ f(t) ]

32
00:01:26,590 --> 00:01:30,120
E il motivo è perchè in molte

33
00:01:30,120 --> 00:01:32,190
equazioni differenziali o molto nell'ingegneria voi effettivamente

34
00:01:32,190 --> 00:01:34,360
state convertendo da una funzione del tempo

35
00:01:34,360 --> 00:01:35,630
ad una funzione delle frequenze

36
00:01:35,630 --> 00:01:37,300
E non dovete preoccuparvene ora

37
00:01:37,300 --> 00:01:40,180
Se vi confonde

38
00:01:40,180 --> 00:01:43,020
Ma la Trasformata di Laplace di una funzione di t

39
00:01:43,020 --> 00:01:47,820
Trasforma la funzione in una qualche altra funzione di s

40
00:01:47,820 --> 00:01:49,410
E lo riesce a fare?

41
00:01:49,410 --> 00:01:53,150
Beh in realtà, permettetemi di usare alcune notazioni matematiche

42
00:01:53,150 --> 00:01:56,460
che probabilmente non significheranno molto per voi.

43
00:01:56,460 --> 00:01:57,800
Quindi, cos'è che trasforma?

44
00:01:57,800 --> 00:01:59,630
Beh, il modo di pensare di questo è che una sorta di

45
00:01:59,630 --> 00:02:00,870
funzione di funzioni.

46
00:02:00,870 --> 00:02:05,220
Una funzione che vi porterà da un insieme di -- Beh, in quello che

47
00:02:05,220 --> 00:02:08,009
noi abbiamo avuto a che fare con-- un insieme di numeri per un altro set

48
00:02:08,009 --> 00:02:09,060
di numeri.

49
00:02:09,060 --> 00:02:11,990
Una trasformazione che vi porterà da un set di funzioni ad

50
00:02:11,990 --> 00:02:13,100
un altro set di funzioni.

51
00:02:13,100 --> 00:02:14,140
Quindi permettetemi di definire solo questo.

52
00:02:14,140 --> 00:02:23,310
La Trasformata di Laplace per i nostri scopi è definita come

53
00:02:23,310 --> 00:02:24,510
l'integrale improprio.

54
00:02:24,510 --> 00:02:27,790
So che in realtà non ho ancora fatto integrali impropri,

55
00:02:27,790 --> 00:02:29,890
ma li spiegherò in pochi secondi.

56
00:02:29,890 --> 00:02:36,430
L'integrale improprio da 0 all'infinito di e elevato a

57
00:02:36,430 --> 00:02:43,605
meno st per f (t) - così qualunque sia tra le parentesi graffe

58
00:02:43,605 --> 00:02:49,170
della Trasformata di Laplace - per dt.

59
00:02:49,170 --> 00:02:51,190
Ora so che potrebbe sembrare molto scoraggiante per voi e molto

60
00:02:51,190 --> 00:02:54,120
confusionario, ma ora farò un paio di esempi.

61
00:02:54,120 --> 00:02:55,660
Quindi cos'è la Trasformata di Laplace?

62
00:02:55,660 --> 00:02:57,950
Beh diciamo che f (t) è uguale a 1.

63
00:02:57,950 --> 00:03:00,300
Quindi qual è la Trasformata di Laplace di 1?

64
00:03:04,180 --> 00:03:07,660
Quindi se f (t) è uguale a 1 - è solo una funzione costante

65
00:03:07,660 --> 00:03:14,280
nel tempo-- Beh, in realtà, permettetemi semplicemente di sostituire

66
00:03:14,280 --> 00:03:15,130
nella maniera che ho scritto qui.

67
00:03:15,130 --> 00:03:18,910
Quindi, questo è l'integrale improprio da 0 all'infinito di

68
00:03:18,910 --> 00:03:24,640
e elevato a -st per 1, qui.

69
00:03:24,640 --> 00:03:29,000
Non devo riscriverlo qui, ma c'è un per 1 dt.

70
00:03:29,000 --> 00:03:32,270
E io so che l'infinito probabilmente vi sta facendo impazzire proprio

71
00:03:32,270 --> 00:03:34,480
adesso, ma ce ne occuperemo a breve.

72
00:03:34,480 --> 00:03:35,620
In realtà, occupiamocene proprio ora.

73
00:03:35,620 --> 00:03:40,660
Questa è la stessa cosa come il limite.

74
00:03:40,660 --> 00:03:48,870
E diciamo che è limite per A che tende all'infinito dell'integrale

75
00:03:48,870 --> 00:03:57,400
da 0 ad A moltiplicato - st per dt.

76
00:03:57,400 --> 00:03:59,410
Così potete sentirvi leggermente più a vostro agio con questo,

77
00:03:59,410 --> 00:04:01,640
potete aver immaginato che è la stessa cosa.

78
00:04:01,640 --> 00:04:04,560
Perché ovviamente non potete valutare l'infinito, ma potete

79
00:04:04,560 --> 00:04:07,410
potrebbe prendere il limite come qualcosa che tende all' infinito.

80
00:04:07,410 --> 00:04:09,880
Quindi, comunque, prendiamo la primitiva e valutiamo

81
00:04:09,880 --> 00:04:12,730
questo integrale definito improprio, o

82
00:04:12,730 --> 00:04:13,810
questo integrale improprio.

83
00:04:13,810 --> 00:04:17,300
Quindi, che cosa è la primitiva di e elevato a -st

84
00:04:17,300 --> 00:04:19,339
rispetto a dt?

85
00:04:19,339 --> 00:04:28,625
Beh è uguale a meno di 1/s per e elevato a -st , giusto?

86
00:04:28,625 --> 00:04:30,640
Se non mi credete, prendere la derivata di questo.

87
00:04:30,640 --> 00:04:32,070
Dovete prendere -s moltiplicato questo

88
00:04:32,070 --> 00:04:34,500
Che si annullerebbe, e voi rimarreste soltanto con

89
00:04:34,500 --> 00:04:36,455
e elevato a -st. Abbastanza corretto.

90
00:04:39,720 --> 00:04:42,410
Permettetemi di eliminare questo qui, questo segno "meno"

91
00:04:42,410 --> 00:04:45,890
Perchè io posso effettivamente usare questa espressione

92
00:04:45,890 --> 00:04:51,430
Noi andremo a prendere il limite per A che tende all'infinito

93
00:04:51,430 --> 00:04:53,330
Voi non dovrete farlo sempre, ma questa è la prima volta

94
00:04:53,330 --> 00:04:54,650
che affrontiamo gli integrali impropri.

95
00:04:54,650 --> 00:04:57,270
Così ho pensato che così potrei ricordarvi che

96
00:04:57,270 --> 00:04:59,340
stiamo prendendo un limite.

97
00:04:59,340 --> 00:05:01,030
Ora abbiamo preso la primitiva

98
00:05:01,030 --> 00:05:04,960
Ora dobbiamo valutarlo da A meno la primitiva

99
00:05:04,960 --> 00:05:06,050
valutata su 0

100
00:05:06,050 --> 00:05:08,740
e poi prendere il limite di qualunque cosa che esce da qui per

101
00:05:08,740 --> 00:05:09,710
A che tende all'infinito.

102
00:05:09,710 --> 00:05:17,490
Quindi questo è uguale al limite per A che tende all' infinito.

103
00:05:17,490 --> 00:05:17,750
Ok.

104
00:05:17,750 --> 00:05:24,550
Se sostituiamo A nella prima, otteniamo - 1/s.

105
00:05:24,550 --> 00:05:26,960
Ricordate che ci stiamo occupando di t.

106
00:05:26,960 --> 00:05:30,220
Abbiamo preso l'integrale rispetto a t

107
00:05:30,220 --> 00:05:36,630
e elevato a - sA, giusto?

108
00:05:36,630 --> 00:05:38,650
Questo è quello che succede quando metto A qui.

109
00:05:38,650 --> 00:05:41,350
Meno -

110
00:05:41,350 --> 00:05:44,970
Ora che cosa accade quando metto t uguale a 0, qui?

111
00:05:44,970 --> 00:05:47,830
Così quando t è uguale a 0, diventa e elevato a meno s per 0.

112
00:05:47,830 --> 00:05:49,320
E tutto questo diventa 1

113
00:05:49,320 --> 00:05:51,190
E io sono rimasto solo con - - 1/s.

114
00:05:57,800 --> 00:05:58,450
Abbastanza giusto.

115
00:05:58,450 --> 00:06:01,000
E adesso fatemi scorrere la finestra un po' in basso

116
00:06:01,000 --> 00:06:02,490
Ho scritto un po ' più grande di quanto volessi

117
00:06:02,490 --> 00:06:03,770
ma va bene così.

118
00:06:03,770 --> 00:06:10,160
Così questo diventerà il limite per A che tende all'infinito

119
00:06:10,160 --> 00:06:20,640
di meno 1/s per e elevato ad sA meno meno 1/s.

120
00:06:20,640 --> 00:06:24,780
Quindi + 1/s.

121
00:06:24,780 --> 00:06:26,170
Quindi qual è il limite di A che tende all'infinito?

122
00:06:26,170 --> 00:06:28,150
Bene, che cosa farà questo termine?

123
00:06:28,150 --> 00:06:34,350
All'avvicinarsi di A all'infinito, se noi assumiamo che s è maggiore

124
00:06:34,350 --> 00:06:37,810
di zero - e noi faremo questa ipotesi, per ora.

125
00:06:37,810 --> 00:06:39,000
In realtà, permettetemi di scriverlo in modo esplicito.

126
00:06:39,000 --> 00:06:41,950
Supponiamo che s è maggiore di 0.

127
00:06:41,950 --> 00:06:45,320
Quindi, se assumiamo che s è maggiore di 0, poi all'avvicinarsi di

128
00:06:45,320 --> 00:06:47,870
A all' infinito, che cosa succede?

129
00:06:47,870 --> 00:06:53,210
Bene questo termine sta per andare a 0, giusto? e elevato a meno

130
00:06:53,210 --> 00:06:55,640
un googol è un numero molto, molto piccolo.

131
00:06:55,640 --> 00:07:00,520
Ed un E elevato a meno googolplex meno è un numero ancora più piccolo.

132
00:07:00,520 --> 00:07:04,530
Così allora questo e elevato a meno infinito si avvicina a 0, quindi questa

133
00:07:04,530 --> 00:07:05,920
termine tende a 0.

134
00:07:05,920 --> 00:07:08,850
Questo termine non ne risente perché non ha nessun A dentro di sè

135
00:07:08,850 --> 00:07:12,420
così noi rimaniamo con 1/s

136
00:07:12,420 --> 00:07:13,400
Così ecco a voi.

137
00:07:13,400 --> 00:07:16,120
Questo è un momento significativo della vostra vita.

138
00:07:16,120 --> 00:07:21,190
Siete stati appena esposti alla vostra prima Trasformata di Laplace.

139
00:07:21,190 --> 00:07:23,350
Vi mostrerò in alcuni video, che ci sono intere tabelle

140
00:07:23,350 --> 00:07:25,300
di trasformate di Laplace ed eventualmente

141
00:07:25,300 --> 00:07:27,570
le dimostreremo tutte.

142
00:07:27,570 --> 00:07:29,440
Ma per ora, lavoreremo solo attraverso quelli

143
00:07:29,440 --> 00:07:30,230
più semplici.

144
00:07:30,230 --> 00:07:32,180
Ma questo può essere la nostra prima riga della nostra

145
00:07:32,180 --> 00:07:34,680
tabella delle Trasformate di Laplace

146
00:07:34,680 --> 00:07:39,870
La trasformata di f (t) che è uguale ad 1

147
00:07:39,870 --> 00:07:44,030
è uguale a 1/s.

148
00:07:44,030 --> 00:07:46,430
Notate che siamo partiti da una funzione di t - sebbene ovviamente

149
00:07:46,430 --> 00:07:50,460
questo 1 non dipendeva veramente da t-ad una funzione di s.

150
00:07:50,460 --> 00:07:53,520
Ho ancora 3 minuti, ma non penso che

151
00:07:53,520 --> 00:07:56,010
c'è abbastanza tempo per un'altra Trasformata di Laplace.

152
00:07:56,010 --> 00:07:59,040
Quindi me la riserverò per il prossimo video.

153
00:07:59,040 --> 00:08:00,660
A presto.