Ora vi introdurrò il concetto
della trasformata di Laplace
E questo è certamente uno dei più utili concetti che
imparerete, non soltanto nelle equazioni differenziali, ma
veramente nella matematica in generale
Sopratutto se siete intenzionati ad andare in una università di ingegneria
scoprirete che la Trasformata di Laplace, a prescindere dall'aiutarvi
a risolvere equazioni differenziali, vi aiuterà inoltre a trasformare
funzioni o forme d'onda dal dominio del tempo
al dominio della frequenza, e studierete e capirete
un intero gruppo di fenomeni
Ma non entrerò dentro a tutto questo ancora
Ora vi insegnerò solo cos'è
la Trasformata di Laplace
Vi insegnerò cos'è, a rendervi più confortevoli con la
sua matematica e successivamente, in un paio di video a partire da ora,
vi farò effettivamente vedere quanto è utile per risolvere
equazioni differenziali.
Risolveremo alcune delle equazioni differenziali
che abbiamo fatto prima, utilizzando i metodi precedenti.
Ma continueremo nel farlo, e risolveremo problemi
sempre più difficili.
Quindi, cos'è la Trasformata di Laplace?
Beh, la trasformata di Laplace, la notazione è la L come
Laverne da "Laverne e Shirley" [sit-com americana n.d.t.]
Questo potrebbe essere antecedente ai vostri tempi, ma
io sono cresciuto con quello.
In realtà, penso che ci siano state anche delle repliche quando ero un ragazzino.
Quindi, la Trasformata di Laplace di alcune funzioni
Ed ora, la convenzione, invece di dire "f di x"
le persone dicono "f di t" [ f(t) ]
E il motivo è perchè in molte
equazioni differenziali o molto nell'ingegneria voi effettivamente
state convertendo da una funzione del tempo
ad una funzione delle frequenze
E non dovete preoccuparvene ora
Se vi confonde
Ma la Trasformata di Laplace di una funzione di t
Trasforma la funzione in una qualche altra funzione di s
E lo riesce a fare?
Beh in realtà, permettetemi di usare alcune notazioni matematiche
che probabilmente non significheranno molto per voi.
Quindi, cos'è che trasforma?
Beh, il modo di pensare di questo è che una sorta di
funzione di funzioni.
Una funzione che vi porterà da un insieme di -- Beh, in quello che
noi abbiamo avuto a che fare con-- un insieme di numeri per un altro set
di numeri.
Una trasformazione che vi porterà da un set di funzioni ad
un altro set di funzioni.
Quindi permettetemi di definire solo questo.
La Trasformata di Laplace per i nostri scopi è definita come
l'integrale improprio.
So che in realtà non ho ancora fatto integrali impropri,
ma li spiegherò in pochi secondi.
L'integrale improprio da 0 all'infinito di e elevato a
meno st per f (t) - così qualunque sia tra le parentesi graffe
della Trasformata di Laplace - per dt.
Ora so che potrebbe sembrare molto scoraggiante per voi e molto
confusionario, ma ora farò un paio di esempi.
Quindi cos'è la Trasformata di Laplace?
Beh diciamo che f (t) è uguale a 1.
Quindi qual è la Trasformata di Laplace di 1?
Quindi se f (t) è uguale a 1 - è solo una funzione costante
nel tempo-- Beh, in realtà, permettetemi semplicemente di sostituire
nella maniera che ho scritto qui.
Quindi, questo è l'integrale improprio da 0 all'infinito di
e elevato a -st per 1, qui.
Non devo riscriverlo qui, ma c'è un per 1 dt.
E io so che l'infinito probabilmente vi sta facendo impazzire proprio
adesso, ma ce ne occuperemo a breve.
In realtà, occupiamocene proprio ora.
Questa è la stessa cosa come il limite.
E diciamo che è limite per A che tende all'infinito dell'integrale
da 0 ad A moltiplicato - st per dt.
Così potete sentirvi leggermente più a vostro agio con questo,
potete aver immaginato che è la stessa cosa.
Perché ovviamente non potete valutare l'infinito, ma potete
potrebbe prendere il limite come qualcosa che tende all' infinito.
Quindi, comunque, prendiamo la primitiva e valutiamo
questo integrale definito improprio, o
questo integrale improprio.
Quindi, che cosa è la primitiva di e elevato a -st
rispetto a dt?
Beh è uguale a meno di 1/s per e elevato a -st , giusto?
Se non mi credete, prendere la derivata di questo.
Dovete prendere -s moltiplicato questo
Che si annullerebbe, e voi rimarreste soltanto con
e elevato a -st. Abbastanza corretto.
Permettetemi di eliminare questo qui, questo segno "meno"
Perchè io posso effettivamente usare questa espressione
Noi andremo a prendere il limite per A che tende all'infinito
Voi non dovrete farlo sempre, ma questa è la prima volta
che affrontiamo gli integrali impropri.
Così ho pensato che così potrei ricordarvi che
stiamo prendendo un limite.
Ora abbiamo preso la primitiva
Ora dobbiamo valutarlo da A meno la primitiva
valutata su 0
e poi prendere il limite di qualunque cosa che esce da qui per
A che tende all'infinito.
Quindi questo è uguale al limite per A che tende all' infinito.
Ok.
Se sostituiamo A nella prima, otteniamo - 1/s.
Ricordate che ci stiamo occupando di t.
Abbiamo preso l'integrale rispetto a t
e elevato a - sA, giusto?
Questo è quello che succede quando metto A qui.
Meno -
Ora che cosa accade quando metto t uguale a 0, qui?
Così quando t è uguale a 0, diventa e elevato a meno s per 0.
E tutto questo diventa 1
E io sono rimasto solo con - - 1/s.
Abbastanza giusto.
E adesso fatemi scorrere la finestra un po' in basso
Ho scritto un po ' più grande di quanto volessi
ma va bene così.
Così questo diventerà il limite per A che tende all'infinito
di meno 1/s per e elevato ad sA meno meno 1/s.
Quindi + 1/s.
Quindi qual è il limite di A che tende all'infinito?
Bene, che cosa farà questo termine?
All'avvicinarsi di A all'infinito, se noi assumiamo che s è maggiore
di zero - e noi faremo questa ipotesi, per ora.
In realtà, permettetemi di scriverlo in modo esplicito.
Supponiamo che s è maggiore di 0.
Quindi, se assumiamo che s è maggiore di 0, poi all'avvicinarsi di
A all' infinito, che cosa succede?
Bene questo termine sta per andare a 0, giusto? e elevato a meno
un googol è un numero molto, molto piccolo.
Ed un E elevato a meno googolplex meno è un numero ancora più piccolo.
Così allora questo e elevato a meno infinito si avvicina a 0, quindi questa
termine tende a 0.
Questo termine non ne risente perché non ha nessun A dentro di sè
così noi rimaniamo con 1/s
Così ecco a voi.
Questo è un momento significativo della vostra vita.
Siete stati appena esposti alla vostra prima Trasformata di Laplace.
Vi mostrerò in alcuni video, che ci sono intere tabelle
di trasformate di Laplace ed eventualmente
le dimostreremo tutte.
Ma per ora, lavoreremo solo attraverso quelli
più semplici.
Ma questo può essere la nostra prima riga della nostra
tabella delle Trasformate di Laplace
La trasformata di f (t) che è uguale ad 1
è uguale a 1/s.
Notate che siamo partiti da una funzione di t - sebbene ovviamente
questo 1 non dipendeva veramente da t-ad una funzione di s.
Ho ancora 3 minuti, ma non penso che
c'è abbastanza tempo per un'altra Trasformata di Laplace.
Quindi me la riserverò per il prossimo video.
A presto.