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Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.96,0:00:02.98,Default,,0000,0000,0000,,Ora vi introdurrò il concetto
Dialogue: 0,0:00:02.98,0:00:05.46,Default,,0000,0000,0000,,della trasformata di Laplace
Dialogue: 0,0:00:05.46,0:00:09.93,Default,,0000,0000,0000,,E questo è certamente uno dei più utili concetti che
Dialogue: 0,0:00:09.93,0:00:13.84,Default,,0000,0000,0000,,imparerete, non soltanto nelle equazioni differenziali, ma
Dialogue: 0,0:00:13.84,0:00:15.10,Default,,0000,0000,0000,,veramente nella matematica in generale
Dialogue: 0,0:00:15.10,0:00:18.05,Default,,0000,0000,0000,,Sopratutto se siete intenzionati ad andare in una università di ingegneria
Dialogue: 0,0:00:18.05,0:00:20.61,Default,,0000,0000,0000,,scoprirete che la Trasformata di Laplace, a prescindere dall'aiutarvi
Dialogue: 0,0:00:20.61,0:00:25.48,Default,,0000,0000,0000,,a risolvere equazioni differenziali, vi aiuterà inoltre a trasformare
Dialogue: 0,0:00:25.48,0:00:30.21,Default,,0000,0000,0000,,funzioni o forme d'onda dal dominio del tempo
Dialogue: 0,0:00:30.21,0:00:33.17,Default,,0000,0000,0000,,al dominio della frequenza, e studierete e capirete
Dialogue: 0,0:00:33.17,0:00:34.74,Default,,0000,0000,0000,,un intero gruppo di fenomeni
Dialogue: 0,0:00:34.74,0:00:36.48,Default,,0000,0000,0000,,Ma non entrerò dentro a tutto questo ancora
Dialogue: 0,0:00:36.48,0:00:38.92,Default,,0000,0000,0000,,Ora vi insegnerò solo cos'è
Dialogue: 0,0:00:38.92,0:00:40.17,Default,,0000,0000,0000,,la Trasformata di Laplace
Dialogue: 0,0:00:42.96,0:00:45.10,Default,,0000,0000,0000,,Vi insegnerò cos'è, a rendervi più confortevoli con la
Dialogue: 0,0:00:45.10,0:00:48.33,Default,,0000,0000,0000,,sua matematica e successivamente, in un paio di video a partire da ora,
Dialogue: 0,0:00:48.33,0:00:52.22,Default,,0000,0000,0000,,vi farò effettivamente vedere quanto è utile per risolvere
Dialogue: 0,0:00:52.22,0:00:53.18,Default,,0000,0000,0000,,equazioni differenziali.
Dialogue: 0,0:00:53.18,0:00:55.20,Default,,0000,0000,0000,,Risolveremo alcune delle equazioni differenziali
Dialogue: 0,0:00:55.20,0:00:56.80,Default,,0000,0000,0000,,che abbiamo fatto prima, utilizzando i metodi precedenti.
Dialogue: 0,0:00:56.80,0:00:59.47,Default,,0000,0000,0000,,Ma continueremo nel farlo, e risolveremo problemi
Dialogue: 0,0:00:59.47,0:01:01.00,Default,,0000,0000,0000,,sempre più difficili.
Dialogue: 0,0:01:01.00,0:01:02.89,Default,,0000,0000,0000,,Quindi, cos'è la Trasformata di Laplace?
Dialogue: 0,0:01:02.89,0:01:08.58,Default,,0000,0000,0000,,Beh, la trasformata di Laplace, la notazione è la L come
Dialogue: 0,0:01:08.58,0:01:12.06,Default,,0000,0000,0000,,Laverne da "Laverne e Shirley" [sit-com americana n.d.t.]
Dialogue: 0,0:01:12.06,0:01:15.04,Default,,0000,0000,0000,,Questo potrebbe essere antecedente ai vostri tempi, ma
Dialogue: 0,0:01:15.04,0:01:16.86,Default,,0000,0000,0000,,io sono cresciuto con quello.
Dialogue: 0,0:01:16.86,0:01:20.69,Default,,0000,0000,0000,,In realtà, penso che ci siano state anche delle repliche quando ero un ragazzino.
Dialogue: 0,0:01:20.69,0:01:22.77,Default,,0000,0000,0000,,Quindi, la Trasformata di Laplace di alcune funzioni
Dialogue: 0,0:01:22.77,0:01:25.17,Default,,0000,0000,0000,,Ed ora, la convenzione, invece di dire "f di x"
Dialogue: 0,0:01:25.17,0:01:26.59,Default,,0000,0000,0000,,le persone dicono "f di t" [ f(t) ]
Dialogue: 0,0:01:26.59,0:01:30.12,Default,,0000,0000,0000,,E il motivo è perchè in molte
Dialogue: 0,0:01:30.12,0:01:32.19,Default,,0000,0000,0000,,equazioni differenziali o molto nell'ingegneria voi effettivamente
Dialogue: 0,0:01:32.19,0:01:34.36,Default,,0000,0000,0000,,state convertendo da una funzione del tempo
Dialogue: 0,0:01:34.36,0:01:35.63,Default,,0000,0000,0000,,ad una funzione delle frequenze
Dialogue: 0,0:01:35.63,0:01:37.30,Default,,0000,0000,0000,,E non dovete preoccuparvene ora
Dialogue: 0,0:01:37.30,0:01:40.18,Default,,0000,0000,0000,,Se vi confonde
Dialogue: 0,0:01:40.18,0:01:43.02,Default,,0000,0000,0000,,Ma la Trasformata di Laplace di una funzione di t
Dialogue: 0,0:01:43.02,0:01:47.82,Default,,0000,0000,0000,,Trasforma la funzione in una qualche altra funzione di s
Dialogue: 0,0:01:47.82,0:01:49.41,Default,,0000,0000,0000,,E lo riesce a fare?
Dialogue: 0,0:01:49.41,0:01:53.15,Default,,0000,0000,0000,,Beh in realtà, permettetemi di usare alcune notazioni matematiche
Dialogue: 0,0:01:53.15,0:01:56.46,Default,,0000,0000,0000,,che probabilmente non significheranno molto per voi.
Dialogue: 0,0:01:56.46,0:01:57.80,Default,,0000,0000,0000,,Quindi, cos'è che trasforma?
Dialogue: 0,0:01:57.80,0:01:59.63,Default,,0000,0000,0000,,Beh, il modo di pensare di questo è che una sorta di
Dialogue: 0,0:01:59.63,0:02:00.87,Default,,0000,0000,0000,,funzione di funzioni.
Dialogue: 0,0:02:00.87,0:02:05.22,Default,,0000,0000,0000,,Una funzione che vi porterà da un insieme di -- Beh, in quello che
Dialogue: 0,0:02:05.22,0:02:08.01,Default,,0000,0000,0000,,noi abbiamo avuto a che fare con-- un insieme di numeri per un altro set
Dialogue: 0,0:02:08.01,0:02:09.06,Default,,0000,0000,0000,,di numeri.
Dialogue: 0,0:02:09.06,0:02:11.99,Default,,0000,0000,0000,,Una trasformazione che vi porterà da un set di funzioni ad
Dialogue: 0,0:02:11.99,0:02:13.10,Default,,0000,0000,0000,,un altro set di funzioni.
Dialogue: 0,0:02:13.10,0:02:14.14,Default,,0000,0000,0000,,Quindi permettetemi di definire solo questo.
Dialogue: 0,0:02:14.14,0:02:23.31,Default,,0000,0000,0000,,La Trasformata di Laplace per i nostri scopi è definita come
Dialogue: 0,0:02:23.31,0:02:24.51,Default,,0000,0000,0000,,l'integrale improprio.
Dialogue: 0,0:02:24.51,0:02:27.79,Default,,0000,0000,0000,,So che in realtà non ho ancora fatto integrali impropri,
Dialogue: 0,0:02:27.79,0:02:29.89,Default,,0000,0000,0000,,ma li spiegherò in pochi secondi.
Dialogue: 0,0:02:29.89,0:02:36.43,Default,,0000,0000,0000,,L'integrale improprio da 0 all'infinito di e elevato a
Dialogue: 0,0:02:36.43,0:02:43.60,Default,,0000,0000,0000,,meno st per f (t) - così qualunque sia tra le parentesi graffe
Dialogue: 0,0:02:43.60,0:02:49.17,Default,,0000,0000,0000,,della Trasformata di Laplace - per dt.
Dialogue: 0,0:02:49.17,0:02:51.19,Default,,0000,0000,0000,,Ora so che potrebbe sembrare molto scoraggiante per voi e molto
Dialogue: 0,0:02:51.19,0:02:54.12,Default,,0000,0000,0000,,confusionario, ma ora farò un paio di esempi.
Dialogue: 0,0:02:54.12,0:02:55.66,Default,,0000,0000,0000,,Quindi cos'è la Trasformata di Laplace?
Dialogue: 0,0:02:55.66,0:02:57.95,Default,,0000,0000,0000,,Beh diciamo che f (t) è uguale a 1.
Dialogue: 0,0:02:57.95,0:03:00.30,Default,,0000,0000,0000,,Quindi qual è la Trasformata di Laplace di 1?
Dialogue: 0,0:03:04.18,0:03:07.66,Default,,0000,0000,0000,,Quindi se f (t) è uguale a 1 - è solo una funzione costante
Dialogue: 0,0:03:07.66,0:03:14.28,Default,,0000,0000,0000,,nel tempo-- Beh, in realtà, permettetemi semplicemente di sostituire
Dialogue: 0,0:03:14.28,0:03:15.13,Default,,0000,0000,0000,,nella maniera che ho scritto qui.
Dialogue: 0,0:03:15.13,0:03:18.91,Default,,0000,0000,0000,,Quindi, questo è l'integrale improprio da 0 all'infinito di
Dialogue: 0,0:03:18.91,0:03:24.64,Default,,0000,0000,0000,,e elevato a -st per 1, qui.
Dialogue: 0,0:03:24.64,0:03:29.00,Default,,0000,0000,0000,,Non devo riscriverlo qui, ma c'è un per 1 dt.
Dialogue: 0,0:03:29.00,0:03:32.27,Default,,0000,0000,0000,,E io so che l'infinito probabilmente vi sta facendo impazzire proprio
Dialogue: 0,0:03:32.27,0:03:34.48,Default,,0000,0000,0000,,adesso, ma ce ne occuperemo a breve.
Dialogue: 0,0:03:34.48,0:03:35.62,Default,,0000,0000,0000,,In realtà, occupiamocene proprio ora.
Dialogue: 0,0:03:35.62,0:03:40.66,Default,,0000,0000,0000,,Questa è la stessa cosa come il limite.
Dialogue: 0,0:03:40.66,0:03:48.87,Default,,0000,0000,0000,,E diciamo che è limite per A che tende all'infinito dell'integrale
Dialogue: 0,0:03:48.87,0:03:57.40,Default,,0000,0000,0000,,da 0 ad A moltiplicato - st per dt.
Dialogue: 0,0:03:57.40,0:03:59.41,Default,,0000,0000,0000,,Così potete sentirvi leggermente più a vostro agio con questo,
Dialogue: 0,0:03:59.41,0:04:01.64,Default,,0000,0000,0000,,potete aver immaginato che è la stessa cosa.
Dialogue: 0,0:04:01.64,0:04:04.56,Default,,0000,0000,0000,,Perché ovviamente non potete valutare l'infinito, ma potete
Dialogue: 0,0:04:04.56,0:04:07.41,Default,,0000,0000,0000,,potrebbe prendere il limite come qualcosa che tende all' infinito.
Dialogue: 0,0:04:07.41,0:04:09.88,Default,,0000,0000,0000,,Quindi, comunque, prendiamo la primitiva e valutiamo
Dialogue: 0,0:04:09.88,0:04:12.73,Default,,0000,0000,0000,,questo integrale definito improprio, o
Dialogue: 0,0:04:12.73,0:04:13.81,Default,,0000,0000,0000,,questo integrale improprio.
Dialogue: 0,0:04:13.81,0:04:17.30,Default,,0000,0000,0000,,Quindi, che cosa è la primitiva di e elevato a -st
Dialogue: 0,0:04:17.30,0:04:19.34,Default,,0000,0000,0000,,rispetto a dt?
Dialogue: 0,0:04:19.34,0:04:28.62,Default,,0000,0000,0000,,Beh è uguale a meno di 1/s per e elevato a -st , giusto?
Dialogue: 0,0:04:28.62,0:04:30.64,Default,,0000,0000,0000,,Se non mi credete, prendere la derivata di questo.
Dialogue: 0,0:04:30.64,0:04:32.07,Default,,0000,0000,0000,,Dovete prendere -s moltiplicato questo
Dialogue: 0,0:04:32.07,0:04:34.50,Default,,0000,0000,0000,,Che si annullerebbe, e voi rimarreste soltanto con
Dialogue: 0,0:04:34.50,0:04:36.46,Default,,0000,0000,0000,,e elevato a -st. Abbastanza corretto.
Dialogue: 0,0:04:39.72,0:04:42.41,Default,,0000,0000,0000,,Permettetemi di eliminare questo qui, questo segno "meno"
Dialogue: 0,0:04:42.41,0:04:45.89,Default,,0000,0000,0000,,Perchè io posso effettivamente usare questa espressione
Dialogue: 0,0:04:45.89,0:04:51.43,Default,,0000,0000,0000,,Noi andremo a prendere il limite per A che tende all'infinito
Dialogue: 0,0:04:51.43,0:04:53.33,Default,,0000,0000,0000,,Voi non dovrete farlo sempre, ma questa è la prima volta
Dialogue: 0,0:04:53.33,0:04:54.65,Default,,0000,0000,0000,,che affrontiamo gli integrali impropri.
Dialogue: 0,0:04:54.65,0:04:57.27,Default,,0000,0000,0000,,Così ho pensato che così potrei ricordarvi che
Dialogue: 0,0:04:57.27,0:04:59.34,Default,,0000,0000,0000,,stiamo prendendo un limite.
Dialogue: 0,0:04:59.34,0:05:01.03,Default,,0000,0000,0000,,Ora abbiamo preso la primitiva
Dialogue: 0,0:05:01.03,0:05:04.96,Default,,0000,0000,0000,,Ora dobbiamo valutarlo da A meno la primitiva
Dialogue: 0,0:05:04.96,0:05:06.05,Default,,0000,0000,0000,,valutata su 0
Dialogue: 0,0:05:06.05,0:05:08.74,Default,,0000,0000,0000,,e poi prendere il limite di qualunque cosa che esce da qui per
Dialogue: 0,0:05:08.74,0:05:09.71,Default,,0000,0000,0000,,A che tende all'infinito.
Dialogue: 0,0:05:09.71,0:05:17.49,Default,,0000,0000,0000,,Quindi questo è uguale al limite per A che tende all' infinito.
Dialogue: 0,0:05:17.49,0:05:17.75,Default,,0000,0000,0000,,Ok.
Dialogue: 0,0:05:17.75,0:05:24.55,Default,,0000,0000,0000,,Se sostituiamo A nella prima, otteniamo - 1/s.
Dialogue: 0,0:05:24.55,0:05:26.96,Default,,0000,0000,0000,,Ricordate che ci stiamo occupando di t.
Dialogue: 0,0:05:26.96,0:05:30.22,Default,,0000,0000,0000,,Abbiamo preso l'integrale rispetto a t
Dialogue: 0,0:05:30.22,0:05:36.63,Default,,0000,0000,0000,,e elevato a - sA, giusto?
Dialogue: 0,0:05:36.63,0:05:38.65,Default,,0000,0000,0000,,Questo è quello che succede quando metto A qui.
Dialogue: 0,0:05:38.65,0:05:41.35,Default,,0000,0000,0000,,Meno -
Dialogue: 0,0:05:41.35,0:05:44.97,Default,,0000,0000,0000,,Ora che cosa accade quando metto t uguale a 0, qui?
Dialogue: 0,0:05:44.97,0:05:47.83,Default,,0000,0000,0000,,Così quando t è uguale a 0, diventa e elevato a meno s per 0.
Dialogue: 0,0:05:47.83,0:05:49.32,Default,,0000,0000,0000,,E tutto questo diventa 1
Dialogue: 0,0:05:49.32,0:05:51.19,Default,,0000,0000,0000,,E io sono rimasto solo con - - 1/s.
Dialogue: 0,0:05:57.80,0:05:58.45,Default,,0000,0000,0000,,Abbastanza giusto.
Dialogue: 0,0:05:58.45,0:06:01.00,Default,,0000,0000,0000,,E adesso fatemi scorrere la finestra un po' in basso
Dialogue: 0,0:06:01.00,0:06:02.49,Default,,0000,0000,0000,,Ho scritto un po ' più grande di quanto volessi
Dialogue: 0,0:06:02.49,0:06:03.77,Default,,0000,0000,0000,,ma va bene così.
Dialogue: 0,0:06:03.77,0:06:10.16,Default,,0000,0000,0000,,Così questo diventerà il limite per A che tende all'infinito
Dialogue: 0,0:06:10.16,0:06:20.64,Default,,0000,0000,0000,,di meno 1/s per e elevato ad sA meno meno 1/s.
Dialogue: 0,0:06:20.64,0:06:24.78,Default,,0000,0000,0000,,Quindi + 1/s.
Dialogue: 0,0:06:24.78,0:06:26.17,Default,,0000,0000,0000,,Quindi qual è il limite di A che tende all'infinito?
Dialogue: 0,0:06:26.17,0:06:28.15,Default,,0000,0000,0000,,Bene, che cosa farà questo termine?
Dialogue: 0,0:06:28.15,0:06:34.35,Default,,0000,0000,0000,,All'avvicinarsi di A all'infinito, se noi assumiamo che s è maggiore
Dialogue: 0,0:06:34.35,0:06:37.81,Default,,0000,0000,0000,,di zero - e noi faremo questa ipotesi, per ora.
Dialogue: 0,0:06:37.81,0:06:39.00,Default,,0000,0000,0000,,In realtà, permettetemi di scriverlo in modo esplicito.
Dialogue: 0,0:06:39.00,0:06:41.95,Default,,0000,0000,0000,,Supponiamo che s è maggiore di 0.
Dialogue: 0,0:06:41.95,0:06:45.32,Default,,0000,0000,0000,,Quindi, se assumiamo che s è maggiore di 0, poi all'avvicinarsi di
Dialogue: 0,0:06:45.32,0:06:47.87,Default,,0000,0000,0000,,A all' infinito, che cosa succede?
Dialogue: 0,0:06:47.87,0:06:53.21,Default,,0000,0000,0000,,Bene questo termine sta per andare a 0, giusto? e elevato a meno
Dialogue: 0,0:06:53.21,0:06:55.64,Default,,0000,0000,0000,,un googol è un numero molto, molto piccolo.
Dialogue: 0,0:06:55.64,0:07:00.52,Default,,0000,0000,0000,,Ed un E elevato a meno googolplex meno è un numero ancora più piccolo.
Dialogue: 0,0:07:00.52,0:07:04.53,Default,,0000,0000,0000,,Così allora questo e elevato a meno infinito si avvicina a 0, quindi questa
Dialogue: 0,0:07:04.53,0:07:05.92,Default,,0000,0000,0000,,termine tende a 0.
Dialogue: 0,0:07:05.92,0:07:08.85,Default,,0000,0000,0000,,Questo termine non ne risente perché non ha nessun A dentro di sè
Dialogue: 0,0:07:08.85,0:07:12.42,Default,,0000,0000,0000,,così noi rimaniamo con 1/s
Dialogue: 0,0:07:12.42,0:07:13.40,Default,,0000,0000,0000,,Così ecco a voi.
Dialogue: 0,0:07:13.40,0:07:16.12,Default,,0000,0000,0000,,Questo è un momento significativo della vostra vita.
Dialogue: 0,0:07:16.12,0:07:21.19,Default,,0000,0000,0000,,Siete stati appena esposti alla vostra prima Trasformata di Laplace.
Dialogue: 0,0:07:21.19,0:07:23.35,Default,,0000,0000,0000,,Vi mostrerò in alcuni video, che ci sono intere tabelle
Dialogue: 0,0:07:23.35,0:07:25.30,Default,,0000,0000,0000,,di trasformate di Laplace ed eventualmente
Dialogue: 0,0:07:25.30,0:07:27.57,Default,,0000,0000,0000,,le dimostreremo tutte.
Dialogue: 0,0:07:27.57,0:07:29.44,Default,,0000,0000,0000,,Ma per ora, lavoreremo solo attraverso quelli
Dialogue: 0,0:07:29.44,0:07:30.23,Default,,0000,0000,0000,,più semplici.
Dialogue: 0,0:07:30.23,0:07:32.18,Default,,0000,0000,0000,,Ma questo può essere la nostra prima riga della nostra
Dialogue: 0,0:07:32.18,0:07:34.68,Default,,0000,0000,0000,,tabella delle Trasformate di Laplace
Dialogue: 0,0:07:34.68,0:07:39.87,Default,,0000,0000,0000,,La trasformata di f (t) che è uguale ad 1
Dialogue: 0,0:07:39.87,0:07:44.03,Default,,0000,0000,0000,,è uguale a 1/s.
Dialogue: 0,0:07:44.03,0:07:46.43,Default,,0000,0000,0000,,Notate che siamo partiti da una funzione di t - sebbene ovviamente
Dialogue: 0,0:07:46.43,0:07:50.46,Default,,0000,0000,0000,,questo 1 non dipendeva veramente da t-ad una funzione di s.
Dialogue: 0,0:07:50.46,0:07:53.52,Default,,0000,0000,0000,,Ho ancora 3 minuti, ma non penso che
Dialogue: 0,0:07:53.52,0:07:56.01,Default,,0000,0000,0000,,c'è abbastanza tempo per un'altra Trasformata di Laplace.
Dialogue: 0,0:07:56.01,0:07:59.04,Default,,0000,0000,0000,,Quindi me la riserverò per il prossimo video.
Dialogue: 0,0:07:59.04,0:08:00.66,Default,,0000,0000,0000,,A presto.