-
Als we bezig zijn met simpele getaltheorie
-
zien we daar de concrete getallen.
-
We zien 23 + 5.
-
We weten wat deze getallen zijn
-
en we kunnen ze berekenen.
-
Dit wordt 28.
-
We kunnen 2 x 7 zeggen.
-
We kunnen 3 / 4 zeggen.
-
In al deze gevallen weten we precies
-
met welke getallen we bezig zijn.
-
Als we de algebraïsche wereld binnengaan
-
en je hebt hier waarschijnlijk al iets van gezien,
-
beginnen we met het idee van variabelen.
-
Er zijn meerdere manieren
-
om over variabelen te denken,
-
maar het zijn eigenlijk waarden en uitdrukkingen
-
die kunnen veranderen.
-
De waarden in deze uitdrukkingen kunnen veranderen.
-
Dus ik schrijf bijvoorbeeld
-
x + 5
-
en dat is een uitdrukking.
-
Deze kan een waarde aannemen,
-
afhankelijk van de waarde van x.
-
Als x gelijk is aan 1,
-
dan in x + 5, onze vergelijking hier,
-
is x gelijk aan 1,
-
want x is nu 1.
-
Het wordt 1 + 5.
-
Dus x + 5 zal gelijk zijn aan 6.
-
Als x gelijk is aan, zeg, -7,
-
dan zal x + 5 uitkomen op...
-
Nu x -7 is
-
wordt het -7 + 5, wat uitkomt op -2.
-
Dus let op.
-
x is hier een variabele
-
en zijn waarde verandert, afhankelijk van de context.
-
En dit is in de context van een uitdrukking.
-
Je zult dit ook zien in de context van een vergelijking.
-
Het is belangrijk om het verschil te begrijpen
-
tussen een uitdrukking en een vergelijking.
-
Een uitdrukking is simpelweg een weergave van waarde,
-
een weergave van een soort hoeveelheid.
-
Dus dit is een uitdrukking.
-
Een uitdrukking zou iets zijn als,
-
als wat we hier zagen.
-
x + 5
-
De waarde van deze uitdrukking zal veranderen,
-
afhankelijk van de waarde van deze variabele.
-
Je kunt dit berekenen voor verschillende waarden van x.
-
Een andere uitdrukking zou iets kunnen zijn als
-
y + z, bijvoorbeeld.
-
Nu is alles een variabele.
-
Als y 1 is en z is 2,
-
dan wordt dit 1 + 2.
-
Als y 0 is en z is -1,
-
dan wordt dit 0 + -1.
-
Dit kan allemaal worden berekend
-
en ze zullen je een waarde geven
-
die afhankelijk is van de waarde van de variabelen
-
die in de uitdrukking staan.
-
In een vergelijking worden twee uitdrukkingen
-
aan elkaar gelijk gesteld,
-
daarom heten ze 'vergelijkingen'.
-
Je vergelijkt twee dingen.
-
In een vergelijking wordt een uitdrukking
-
gelijkgesteld aan een andere uitdrukking.
-
Dus het zou iets kunnen zijn als...
-
x + 3 = 1
-
In deze situatie, waar je een uitdrukking hebt,
-
waar je één uitdrukking hebt met maar één onbekende,
-
kun je uitrekenen
-
wat x moet zijn in dit scenario
-
en je kunt het misschien zelfs uit je hoofd doen.
-
Wat plus 3 is gelijk aan 1?
-
Je kunt dat uit je hoofd doen.
-
Als x -2 is, is -2 + 3 gelijk aan 1.
-
Dus in deze context beperkt een vergelijking
-
welke waarde deze variabele aan kan nemen,
-
maar het beperkt niet altijd zo sterk.
-
Je kunt een vergelijking hebben als
-
x + y + z = 5
-
Nu heb je deze uitdrukking,
-
die gelijk is aan deze uitdrukking.
-
5, hier, is een uitdrukking.
-
En er zijn een paar beperkingen.
-
Als iemand je vertelt waar y en z voor staan,
-
dan kun je x berekenen.
-
Als iemand je vertelt waar x en y voor staan,
-
dan beperkt dat de waarde van z.
-
Maar het hangt af van deze verschillende waarden.
-
Dus, bijvoorbeeld,
-
we zeggen dat y 3 is en z is 2.
-
Wat zou x zijn in dit geval?
-
Dus als y 3 is en z is 2,
-
dan krijg je,
-
de linkeruitdrukking wordt dan
-
x + 3 + 2,
-
dat is x + 5,
-
want dit hier wordt 5.
-
Dus x + 5 = 5.
-
En wat + 5 = 5?
-
Nu we dit zo beperkt hebben
-
moet x wel...
-
moet x gelijk staan aan 0.
-
Belangrijk hier
-
is het verschil tussen
-
een uitdrukking en een vergelijking.
-
Een vergelijking is simpelweg
-
het vergelijken van twee uitdrukkingen.
-
Wat belangrijk is,
-
is dat een variabele verschillende waarden aan kan nemen,
-
afhankelijk van de context.
-
Om dit door te laten dringen
-
gaan we een aantal uitdrukkingen berekenen,
-
voor verschillende waarden van de variabelen.
-
Dus, als we bijvoorbeeld
-
de volgende uitdrukking hebben:
-
x tot de macht y
-
Als x dan gelijk is aan 5
-
en y is gelijk aan 2,
-
y is gelijk aan 2,
-
dan is de uitkomst van deze uitdrukking...
-
Als x hier 5 is,
-
x is 5,
-
y is 2,
-
dan wordt dit 5 tot de tweede.
-
En dat komt neer op
-
25.
-
Als we de waarden veranderen,
-
als we voor de waarde van x,
-
even dezelfde kleur pakken,
-
als we x gelijkstellen aan -2
-
en y aan 3
-
dan zou deze uitdrukking neerkomen op,
-
weer even de juiste kleur pakken,
-
dat zou neerkomen op,
-
-2, dat vullen we in voor x
-
in deze context
-
en y is 3.
-
-2 tot de derde macht,
-
dat is -2 x -2 x -2
-
dat is -8
-
-2 x -2 = +4
-
4 x -2 is -8.
-
is -8.
-
Dus afhankelijk van deze waarden...
-
We kunnen nog complexere dingen doen.
-
We kunnen een uitdrukking hebben als
-
de vierkantswortel van x + y min x.
-
Als x gelijk is aan 1
-
en y is gelijk aan 8,
-
dan zou deze uitdrukking neerkomen op...
-
Voor elke x vullen we een 1 in,
-
dus hier staat dan een 1
-
en hier staat dan een 1.
-
En voor elke y
-
vullen we een 8 in.
-
In deze context zetten we de variabelen
-
zo dat hier een 8 staat.
-
Dus onder het wortelteken staat 1 + 8.
-
Dus de vierkantswortel van 9, dat is 3.
-
Dus in deze context wordt dit gemakkelijker.
-
Als we deze waarden toewijzen aan de variabelen,
-
kun je dit vereenvoudigen tot 3.
-
1 + 8 is 9,
-
de wortel daarvan is 3
-
en dan krijg je 3 - 1
-
wat gelijk is aan 2.
