0:00:00.816,0:00:02.341
Als we bezig zijn met simpele getaltheorie

0:00:02.341,0:00:04.592
zien we daar de concrete getallen.

0:00:04.592,0:00:07.514
We zien 23 + 5.

0:00:07.514,0:00:08.715
We weten wat deze getallen zijn

0:00:08.715,0:00:10.005
en we kunnen ze berekenen.

0:00:10.005,0:00:11.661
Dit wordt 28.

0:00:11.661,0:00:13.898
We kunnen 2 x 7 zeggen.

0:00:13.898,0:00:17.476
We kunnen 3 / 4 zeggen.

0:00:17.476,0:00:19.059
In al deze gevallen weten we precies

0:00:19.059,0:00:20.872
met welke getallen we bezig zijn.

0:00:20.872,0:00:23.776
Als we de algebraïsche wereld binnengaan

0:00:23.776,0:00:25.873
en je hebt hier waarschijnlijk al iets van gezien,

0:00:25.873,0:00:30.051
beginnen we met het idee van variabelen.

0:00:30.051,0:00:31.533
Er zijn meerdere manieren

0:00:31.533,0:00:32.283
om over variabelen te denken,

0:00:32.283,0:00:34.502
maar het zijn eigenlijk waarden en uitdrukkingen

0:00:34.502,0:00:36.252
die kunnen veranderen.

0:00:36.252,0:00:38.145
De waarden in deze uitdrukkingen kunnen veranderen.

0:00:38.145,0:00:42.201
Dus ik schrijf bijvoorbeeld

0:00:42.201,0:00:44.781
x + 5

0:00:44.781,0:00:46.647
en dat is een uitdrukking.

0:00:46.647,0:00:48.305
Deze kan een waarde aannemen,

0:00:48.305,0:00:51.466
afhankelijk van de waarde van x.

0:00:51.466,0:00:56.656
Als x gelijk is aan 1,

0:00:56.656,0:01:01.723
dan in x + 5, onze vergelijking hier,

0:01:01.723,0:01:06.049
is x gelijk aan 1,

0:01:06.049,0:01:07.070
want x is nu 1.

0:01:07.070,0:01:08.321
Het wordt 1 + 5.

0:01:08.321,0:01:11.101
Dus x + 5 zal gelijk zijn aan 6.

0:01:11.101,0:01:16.821
Als x gelijk is aan, zeg, -7,

0:01:16.821,0:01:22.183
dan zal x + 5 uitkomen op...

0:01:22.183,0:01:24.120
Nu x -7 is

0:01:24.120,0:01:28.842
wordt het -7 + 5, wat uitkomt op -2.

0:01:28.842,0:01:29.441
Dus let op.

0:01:29.441,0:01:34.019
x is hier een variabele

0:01:34.019,0:01:37.705
en zijn waarde verandert, afhankelijk van de context.

0:01:37.705,0:01:39.946
En dit is in de context van een uitdrukking.

0:01:39.946,0:01:42.174
Je zult dit ook zien in de context van een vergelijking.

0:01:42.174,0:01:44.299
Het is belangrijk om het verschil te begrijpen

0:01:44.299,0:01:46.897
tussen een uitdrukking en een vergelijking.

0:01:46.897,0:01:49.827
Een uitdrukking is simpelweg een weergave van waarde,

0:01:49.827,0:01:51.734
een weergave van een soort hoeveelheid.

0:01:51.734,0:01:54.327
Dus dit is een uitdrukking.

0:01:54.327,0:01:56.639
Een uitdrukking zou iets zijn als,

0:01:56.639,0:01:57.976
als wat we hier zagen.

0:01:57.976,0:01:59.260
x + 5

0:01:59.260,0:02:01.052
De waarde van deze uitdrukking zal veranderen,

0:02:01.052,0:02:05.745
afhankelijk van de waarde van deze variabele.

0:02:05.745,0:02:09.058
Je kunt dit berekenen voor verschillende waarden van x.

0:02:09.058,0:02:11.270
Een andere uitdrukking zou iets kunnen zijn als

0:02:11.270,0:02:13.150
y + z, bijvoorbeeld.

0:02:13.150,0:02:14.340
Nu is alles een variabele.

0:02:14.340,0:02:16.554
Als y 1 is en z is 2,

0:02:16.554,0:02:18.560
dan wordt dit 1 + 2.

0:02:18.560,0:02:21.392
Als y 0 is en z is -1,

0:02:21.392,0:02:24.068
dan wordt dit 0 + -1.

0:02:24.068,0:02:25.897
Dit kan allemaal worden berekend

0:02:25.897,0:02:27.416
en ze zullen je een waarde geven

0:02:27.416,0:02:30.811
die afhankelijk is van de waarde van de variabelen

0:02:30.811,0:02:32.327
die in de uitdrukking staan.

0:02:32.327,0:02:34.285
In een vergelijking worden twee uitdrukkingen

0:02:34.285,0:02:35.472
aan elkaar gelijk gesteld,

0:02:35.472,0:02:38.100
daarom heten ze 'vergelijkingen'.

0:02:38.100,0:02:40.122
Je vergelijkt twee dingen.

0:02:40.122,0:02:42.919
In een vergelijking wordt een uitdrukking

0:02:42.919,0:02:44.643
gelijkgesteld aan een andere uitdrukking.

0:02:44.643,0:02:47.869
Dus het zou iets kunnen zijn als...

0:02:47.869,0:02:52.062
x + 3 = 1

0:02:52.062,0:02:54.459
In deze situatie, waar je een uitdrukking hebt,

0:02:54.459,0:02:57.883
waar je één uitdrukking hebt met maar één onbekende,

0:02:57.883,0:02:59.273
kun je uitrekenen

0:02:59.273,0:03:01.622
wat x moet zijn in dit scenario

0:03:01.622,0:03:03.210
en je kunt het misschien zelfs uit je hoofd doen.

0:03:03.210,0:03:05.327
Wat plus 3 is gelijk aan 1?

0:03:05.327,0:03:06.432
Je kunt dat uit je hoofd doen.

0:03:06.432,0:03:08.871
Als x -2 is, is -2 + 3 gelijk aan 1.

0:03:08.871,0:03:12.033
Dus in deze context beperkt een vergelijking

0:03:12.033,0:03:15.134
welke waarde deze variabele aan kan nemen,

0:03:15.134,0:03:17.411
maar het beperkt niet altijd zo sterk.

0:03:17.411,0:03:18.932
Je kunt een vergelijking hebben als

0:03:18.932,0:03:25.734
x + y + z = 5

0:03:25.734,0:03:27.784
Nu heb je deze uitdrukking,

0:03:27.784,0:03:29.368
die gelijk is aan deze uitdrukking.

0:03:29.368,0:03:31.645
5, hier, is een uitdrukking.

0:03:31.645,0:03:32.901
En er zijn een paar beperkingen.

0:03:32.901,0:03:35.004
Als iemand je vertelt waar y en z voor staan,

0:03:35.004,0:03:36.314
dan kun je x berekenen.

0:03:36.314,0:03:38.226
Als iemand je vertelt waar x en y voor staan,

0:03:38.226,0:03:39.925
dan beperkt dat de waarde van z.

0:03:39.925,0:03:42.381
Maar het hangt af van deze verschillende waarden.

0:03:42.381,0:03:44.060
Dus, bijvoorbeeld,

0:03:44.060,0:03:51.637
we zeggen dat y 3 is en z is 2.

0:03:51.637,0:03:53.393
Wat zou x zijn in dit geval?

0:03:53.393,0:03:58.102
Dus als y 3 is en z is 2,

0:03:58.102,0:03:58.608
dan krijg je,

0:03:58.608,0:04:00.487
de linkeruitdrukking wordt dan

0:04:00.487,0:04:02.148
x + 3 + 2,

0:04:02.148,0:04:04.998
dat is x + 5,

0:04:04.998,0:04:06.813
want dit hier wordt 5.

0:04:06.813,0:04:08.975
Dus x + 5 = 5.

0:04:08.975,0:04:11.198
En wat + 5 = 5?

0:04:11.198,0:04:12.632
Nu we dit zo beperkt hebben

0:04:12.632,0:04:14.378
moet x wel...

0:04:14.378,0:04:16.938
moet x gelijk staan aan 0.

0:04:16.938,0:04:18.235
Belangrijk hier

0:04:18.235,0:04:19.789
is het verschil tussen

0:04:19.789,0:04:20.803
een uitdrukking en een vergelijking.

0:04:20.803,0:04:21.850
Een vergelijking is simpelweg

0:04:21.850,0:04:23.669
het vergelijken van twee uitdrukkingen.

0:04:23.669,0:04:25.370
Wat belangrijk is,

0:04:25.370,0:04:27.994
is dat een variabele verschillende waarden aan kan nemen,

0:04:27.994,0:04:31.365
afhankelijk van de context.

0:04:31.365,0:04:32.778
Om dit door te laten dringen

0:04:32.778,0:04:35.218
gaan we een aantal uitdrukkingen berekenen,

0:04:35.218,0:04:38.056
voor verschillende waarden van de variabelen.

0:04:38.056,0:04:41.595
Dus, als we bijvoorbeeld

0:04:41.595,0:04:43.309
de volgende uitdrukking hebben:

0:04:43.309,0:04:47.799
x tot de macht y

0:04:47.799,0:04:51.955
Als x dan gelijk is aan 5

0:04:51.955,0:04:54.311
en y is gelijk aan 2,

0:04:54.311,0:04:55.791
y is gelijk aan 2,

0:04:55.791,0:04:58.908
dan is de uitkomst van deze uitdrukking...

0:04:58.908,0:05:01.506
Als x hier 5 is,

0:05:01.506,0:05:02.888
x is 5,

0:05:02.888,0:05:04.363
y is 2,

0:05:04.363,0:05:06.612
dan wordt dit 5 tot de tweede.

0:05:06.612,0:05:08.154
En dat komt neer op

0:05:08.154,0:05:09.785
25.

0:05:09.785,0:05:11.633
Als we de waarden veranderen,

0:05:11.633,0:05:14.360
als we voor de waarde van x,

0:05:14.360,0:05:16.292
even dezelfde kleur pakken,

0:05:16.292,0:05:20.965
als we x gelijkstellen aan -2

0:05:20.965,0:05:24.772
en y aan 3

0:05:24.772,0:05:27.839
dan zou deze uitdrukking neerkomen op,

0:05:27.839,0:05:30.469
weer even de juiste kleur pakken,

0:05:30.469,0:05:32.386
dat zou neerkomen op,

0:05:32.386,0:05:35.376
-2, dat vullen we in voor x

0:05:35.376,0:05:36.705
in deze context

0:05:36.705,0:05:38.172
en y is 3.

0:05:38.172,0:05:42.080
-2 tot de derde macht,

0:05:42.080,0:05:44.577
dat is -2 x -2 x -2

0:05:44.577,0:05:46.895
dat is -8

0:05:46.895,0:05:48.567
-2 x -2 = +4

0:05:48.567,0:05:52.154
4 x -2 is -8.

0:05:52.154,0:05:53.367
is -8.

0:05:53.367,0:05:55.713
Dus afhankelijk van deze waarden...

0:05:55.713,0:05:58.280
We kunnen nog complexere dingen doen.

0:05:58.280,0:05:59.681
We kunnen een uitdrukking hebben als

0:05:59.681,0:06:06.609
de vierkantswortel van x + y min x.

0:06:06.609,0:06:11.878
Als x gelijk is aan 1

0:06:11.878,0:06:16.013
en y is gelijk aan 8,

0:06:16.013,0:06:18.571
dan zou deze uitdrukking neerkomen op...

0:06:18.571,0:06:21.422
Voor elke x vullen we een 1 in,

0:06:21.422,0:06:23.008
dus hier staat dan een 1

0:06:23.008,0:06:24.812
en hier staat dan een 1.

0:06:24.812,0:06:26.746
En voor elke y

0:06:26.746,0:06:28.413
vullen we een 8 in.

0:06:28.413,0:06:30.819
In deze context zetten we de variabelen

0:06:30.819,0:06:32.087
zo dat hier een 8 staat.

0:06:32.087,0:06:34.611
Dus onder het wortelteken staat 1 + 8.

0:06:34.611,0:06:37.821
Dus de vierkantswortel van 9, dat is 3.

0:06:37.821,0:06:40.974
Dus in deze context wordt dit gemakkelijker.

0:06:40.974,0:06:43.119
Als we deze waarden toewijzen aan de variabelen,

0:06:43.119,0:06:45.586
kun je dit vereenvoudigen tot 3.

0:06:45.586,0:06:46.503
1 + 8 is 9,

0:06:46.503,0:06:48.685
de wortel daarvan is 3

0:06:48.685,0:06:50.769
en dan krijg je 3 - 1

0:06:50.769,9:59:59.000
wat gelijk is aan 2.