黎曼和与积分

定积分代表了给定曲线下的确切面积，而黎曼和是用于估计同一个区域的面积的。然而，如果我们取宽度为无穷小的无限个矩形的黎曼和（使用极限），我们将会得到确切的面积，即定积分！

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之前出过几个视频

来估计曲线下的面积，

利用将面积分为几个矩形，

然后对这几个矩形的面积求和

来进行估计的方法。

这是我们看过的第一个例子，

其中每一个矩形

都有同样的宽度。

也就是我们将

a和b之间的区域等分了。

而矩形的高度就是

矩形左端点处的函数值。

我们使用∑(sigma)符号将它写为式子，

看起来是这样的。

这只是一个例子。

之后，我们也研究了

矩形的高度是

右端点或者中点的情况。

甚至我们还构造了梯形。

这些都是黎曼和的实例。

这里的式子就代表了黎曼和。

当人们讨论黎曼和时，

他们所说的是比较宽泛的定义。

你并不是必须以这个方式，

也可以用梯形。

你甚至都不需要等间距的分割。

我使用了等分的分割，

因为这样概念上简单一些。

黎曼和就是以

这张照片里的人的名字命名的。

他的名字是波恩哈德·黎曼(Bernhard Riemann)。

他对数学做出了很多的贡献，

其中最著名的

-如果你在修读第一年的微积分课程-

就是黎曼和，

以及这是如何用来定义黎曼积分的。

牛顿和莱布尼茨

创立微积分是，都提出了

微积分的概念，

但是黎曼积分是积分最主流，

或者我会说是最严格

的定义。

就像你想的，这就是黎曼和的一种。

这里我们有n，

n的值越大，估计就越准确。

他对于积分的定义，

也就是曲线下的精确面积，

或者说是他对于定积分的定义，

--也就是在a和b之间，曲线下的面积--

是取这个黎曼和，也不一定是这一个，

取任何一个黎曼和，然后取

n趋向无穷大时的极限。

在这里明确一下，

当n趋向无穷大时会发生什么？

让我在这里再画一个图。

这是我的y轴，

这是我的x轴。

这是我的函数曲线。

当n趋向无穷大时，

--这是a，这是b-- 你将会有很多很多矩形。

在这里会有很多个矩形。

它们将越来越

接近实际的面积。

曲线下的实际面积

是由从a到b的定积分f(x)乘以dx来表示。

你可以看到是如何得到它的，

以及这些符号相近的地方。

至少在我的脑海中它们是如何互相联系起来的。

Δx 是每个部分的宽度。

这里是Δx。

这是一个Δx，

这是另一个Δx，

再有一个Δx。

理解dx的一个方法是，

或者说理解微分的方法是，如果

Δx变得无限小，它接近于什么。

所以你可以将它这样理解，

虽然这不是一个严谨的思考方式。

它是一个无限小的，但不是0的Δx

这是理解它的一种方式。

再一次的，这里是你的函数

乘以一个很小很小的Δx的变化。

然后你要求和，

从a到b之间对无限个求和。

那么我将在这里结束讲解，

这里只是让你看到它们之间的联系。

你知道这些部分的名字了。

再一次的，这里的例子

不是唯一的黎曼和。

事实上来说，如果你使用矩形，

这就叫作左黎曼和。

你也可以做右黎曼和。

或者也可以使用中点，

或者是梯形。

但是如果你取任何一个黎曼和的极限，

在当n趋向无穷大的时候，

那么你得到的就是黎曼积分的定义。

到此，我们还没有讨论如何

对它求值，

现在还只是一个定义。

我们会在未来的视频里进行讲解。